Exercice suites et fonctions terminale

[Marmus1021]

Bonsoir ! Je bloque sur certaines questions d'un examen que l'on a eu il y a pas longtemps (je suis en terminale).



Je n'arrive pas la question 1(e), la question 2(b) et la question 2(d).
Pour la 1(e), j'ai essayé de poser une fonction g(x) = f(x) - x, puis d'étudier sa monotonie pour pouvoir utiliser le TVI, mais la dérivée est très longue et je n'aboutis pas pour l'étude du signe. Je suppose qu'il y a une méthode bien plus astucieuse. Et pour les deux autres, je ne vois pas du tout comment débuter...
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[gg0]

Bonjour.

Pour la question 1 e), la question précédente justifie le signe de la dérivée (inutile de faire des calculs, (f(x)-x)'=f'(x)-1.
Pour la 2 b), une fois établi le fait que tous les termes de la suite sont dans [0;1], c'est une application du théorème des accroissements finis (on le voit en terminale ?) u_n+1 -l= f(u_n)-f(l).
Pour la 2 d), utiliser le résultat de 2 b) et une récurrence pour majorer |u_n -l| en fonction de |u₀ -l|.

Cordialement.

[Marmus1021]

Bonjour. Merci beaucoup, j'aurai dû me douter que la question 1d) servait pour la suite..
Et oui certes je n'avais pas pensé à utiliser le théorème des accroissements finis, je crois que j'ai réussi avec votre indication.
Pour la 2 d), la solution que vous me proposez ne serait-elle pas plutôt celle de la 2c) ? C'est ce que j'avais fait pour montrer la convergence, mais je n'arrive toujours pas la 2d).

[gg0]

Pourtant ça te donne bien , où décroît géométriquement vers 0, donc tu peux trouver n tel que .

[A voir en vidéo sur Futura]