Analyse sur les nombres premiers

[Liet Kynes]

Bonjour,

Rappel : mon niveau de maths est hétéroclite, mais globalement vers la 5ème.

Je suis parti dans l'analyse d'une question portant (sans autres prétentions que de trouver matière à réfléchir) sur une relation entre nombres premiers et paires.

L'idée (venue dans le dernier post sur les premiers) :

Soit un nombre "d" paire , il existe, si Goldbach est vraie, a+b premiers tel que a+b=d..
Soit un nombre "c" premier, il existe, si cette conjecture est vraie (je ne sais pas s'il y a un nom), (2*a)+b=c (-> me semble vraie pour l'instant <=> pas encore trouvé de contre exemples avec mes piètres moyens).
Une petite remarque concernant la formule qui peut s'écrire k*a+b avec k pair et défini par une liberté infinie (merci Merlin95 pour l'idée de l'infinité de l'univers des calculs) dans cette unique limite de parité (par exemple l'écart entre n premiers).

La première question, avec a+b tel que a+b=d, existe t-il toujours une solution dans N pour que (2*a)+b=c -> non avec 28 comme premier contre exemple.

La seconde question en élargissant tel que a puisse être élément de Z (je crois que l'on ne parle plus de "premiers" mais d'"irreductibles" -> je fais quelques recherches pour comprendre cette différence en ce moment) il existe toujours une solution dans N pour que (2*a)+b=c -> là cela se corse car il fauderait tout tester un peu comme dans Syracuse? mon premier contre exemple est 52 pour environs 1000 premiers testés en tant que valeurs de b.

Ce que je ne comprends pas, c'est cette absence de résultats dans Z puisque ces calculs sont liés à la fois aux écarts entre premiers et leur raréfaction, se pourait-il que ces vides (de résultats) indiquent quelque chose qui ne soit en fait que très simple ..mais quoi?

Je met une PJ, il suffit de selectionner la partie jaune et copier coller vers le bas jusqu'à "BU997" pour reconstituer un tableau fonctionnel. Les solutions dans Z et N sont indiquées en bleu et en vert. sur las case orange il faut tapper un nombre paire (qui correspond à d) pour voir les résultats dans Z ou N. J'upload avec le nombre 60 qui est très interessant dans ses solutions.

Cordialement et impatient de vos éclairecissements bienveillants, L.K.

Pièce jointe 442445
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[gg0]

Bonjour.

Comme tu ne demandes rien à a et b, ça se démontre très facilement :
* 2 = 2*1 + 0 (ou =2*0 +2)
* 3 = 2*1 + 1
* etc. pour c>2, c-1 est pair, donc il existe a tel que c-1 = 2a; donc c=2a + b avec b=1.

Cordialement.

NB : ta pièce jointe n'est pas lisible

[Liet Kynes]

Pour la PJ je ne sais pas si un modérateur peut la valider, je l'ai dimensionné à la bonne taille en octets ?
Pour a,b et c la contrainte initiale est qu'ils soient tous toujours premiers et non égaux (chose que je n'ai pas précisé) donc exit 0 et 1 et 2 par la relation a+b=d avec d paire (si a ou b =2 alors d est impair).
Ce n'est pas simple pour moi d'énoncer sans grandes capacités de rédaction mon questionnement, désolé pour le côté brouillon.
La PJ pourra aider fortement..

[Liet Kynes]

Correctif à mon post de départ :

"La seconde question en élargissant tel que a puisse être élément de Z (je crois que l'on ne parle plus de "premiers" mais d'"irreductibles" -> je fais quelques recherches pour comprendre cette différence en ce moment) il existe toujours une solution dans Z pour que (2*a)+b=c -> là cela se corse car il fauderait tout tester un peu comme dans Syracuse? mon premier contre exemple est 52 pour environs 1000 premiers testés en tant que valeurs de b."

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Elle n'est pas valide, et pas validable (je l'aurais validée). Revois les conditions sur les pièces jointes.

Je n'ai rien compris à ce que tu demandes, finalement : De quoi tu pars et ce que tu cherches. Ça ne doit pas être très clair dans ta tête, ce "ce qui se conçoit bien s'exprime clairement, et les mots pour le dire viennent aisément".

[Liet Kynes]

Elle n'est pas valide, et pas validable (je l'aurais validée). Revois les conditions sur les pièces jointes.

Je n'ai rien compris à ce que tu demandes, finalement : De quoi tu pars et ce que tu cherches. Ça ne doit pas être très clair dans ta tête, ce "ce qui se conçoit bien s'exprime clairement, et les mots pour le dire viennent aisément".

Oui on s'est croisé.. j'ai rédigé au mieux je remet la Pj (37ko en ods) :tr abcd.ods

[Liet Kynes]

Je ne trouve vraiment pas, j'obtiens en creusant un peu la conjecture suivante (vérifiée sur les 10000 premiers avec les valeurs de d suivantes 52,58,62,74,82,88,112,118,122, 128,136):

Si pour un nombre paire d, aucune des solutions a+b=d avec a et b premiers ne permet d'obtenir (2*a)+b=c avec c premier, alors pour d, pour tout b premier et a premier tel que a=d-(b*-1), c=(2*a)+(b*-1) n'est pas premier.

[gg0]

Un fichier de tableur sans explication n'est pas lisible sans un effort important. Je ne le ferai pas.

"Si pour un nombre paire d, aucune des solutions a+b=d avec a et b premiers ne permet d'obtenir (2*a)+b=c avec c premier, alors pour d, pour tout b premier et a premier tel que a=d-(b*-1), c=(2*a)+(b*-1) n'est pas premier. "
Que signifie b*-1 ?? si c'est b*(-1), alors ça donne -b et les règles de calcul vues en cinquième permettent d'écrire a=d+b et c=2a-b, ce qui est absurde !!

Sérieusement, tu passes du temps à parler de maths, tu ne pourrais pas au moins apprendre les programmes du collège ????

[Liet Kynes]

Oui, j'ai écrit en reprenant des formules du tableur ce qui n'est pas très malin de ma part…

Je vais essayer de faire quelque chose de plus claire y compris avec le fichier Calc.

[gg0]

Alors, si je comprends bien, tu considères un nombre pair d tel que toutes ses décompositions d=a+b en somme de deux premiers sont telles que 2a+b n'est pas premier, et ensuite tu fais quoi ? Car la phrase "pour d, pour tout b premier et a premier tel que a=d-(b*-1), c=(2*a)+(b*-1) n'est pas premier. " n'a pas de sens

[Liet Kynes]

Oui je ne suis pas doué, je vais essayer d'être plus rigoureux avec un exemple :

Je considère d, un nombre pair. -> exemple 52
Je soustrais à d les nombres premiers b (3,5,7,11,13...) pour obtenir un nombre a. Donc je considère a=d-b.

-> j'obtiens pour 52:
52-3=49, 52-5=47, 52-7=45, ...,52-53=-1, 52-59=-7.. donc les couples (a;b) sont (49;3),(47;5),(45,7),...,(-1;53),(-7;59)..parmi ces couples les couples formés par a et b positifs et premiers sont solutions de la conjecture de Goldbach.
En continuant à soustraire à d un nombre premier b tel que b>d j'obtiens des couples parmi lesquels se trouvent des valeurs de a qui sont des nombres premiers multipliés par -1: pour 52-59=-7 le couple est (-1*7);59

Je cherche ensuite un nombre c tel que c=2*a+b et je considère les triplets tel que a b et c soient premiers (b l'est toujours): si a et b sont premiers, ils sont solution dans G mais il ne leur correspond un nombre c premier que pour certains nombres pairs et ce que j'ai testé est le fait que si parmis les résultats avec a et b premiers il n'y a pas de nombre c premier tel que c=2a+b alors parmi les couples (a;b) formés avec b>d avec comme résultat a = un nombre premier*-1 le calcul de c n'amène pas de nombre premier non plus.

Pour certaines valeurs de d j'obtiens un nombre fini de solutions avec c premier et pour d'autres (d multiple de 30) un nombre de solutions qui semble infini.

J'espère que je me suis mieux expliqué car ce problème pique ma curiosité dans le sens ou je m'attendais à toujours trouver des solutions c premier en élargissant avec b>d.

En illustration pour d = 30 et d=52 avec prenant b les valeurs des 10000 nombre premiers >3:
30.jpg
52.JPG.

[Liet Kynes]

En pj les résultats pour d = 2 à 130 et b=3 à 1213 (197 premiers nombres premiers) : ce fichier est un copié collé, car l'original est bien trop lourd, il permet de visualiser les différents concepts que j'ai décris, j'espère que cette fois cela serra un peu plus clair.
Pour faire simple ce que je ne comprends pas pour ces valeurs d sans résultats, c’est le fait que cela me semble coller avec la répartition des nombres premiers étant donné que leurs écarts entrent dans le calcul avec les formules utilisées -> c'est là que je me dit que j'ai du rater un truc simple dans l'analyse des résultats sinon quel sens donner à cela ?

[Liet Kynes]

Bon, je me suis relu et j'ai écrit n'importe quoi y compris dans mes tableaux, il n'y a pas d'erreur de calcul par contre je sabote mon truc en le présentant de travers (écrire "inverse d'un premier" à la place de "négatif d'un nombre premier", désigner dans ma dernière PJ "a" à la place de "c" par exemple), il y a des erreurs d'interprétation aussi dans ce que j'ai écrit jusqu'à présent.
C'est pourtant intéressant comme problème -> je vais prendre mon temps et faire quelque chose de propre et compréhensible.

[gg0]

Ce n'est ni l'inverse, ni le "négatif", mais l'opposé.

[Liet Kynes]

Ce n'est ni l'inverse, ni le "négatif", mais l'opposé.

Merci j'ai éviter soigneusement "nombre premier négatif", utilisé passagèrement sur "inverse d'un premier" qui est une erreur (1/3,1/5 etc.. ne sont pas négatifs) et je n'avais trouvé que "négatif d'un nombre premier" qui ne me semblait pas très correct..

L'opposé donc est le terme à utiliser: le fait de n'avoir pas le mot exact en tête m'a posé des problèmes de rédaction.

[albanxiii]

Pour la PJ je ne sais pas si un modérateur peut la valider, je l'ai dimensionné à la bonne taille en octets ?

A priori tout est bon, mais le forum bug parfois sur les pièces jointes (entre autres...). Le plus simple est de la reposter.

[Liet Kynes]

Bonjour,

Voilà une nouvelle mise en forme peut-être plus simple:

Si a et b sont premiers alors ils forment une partition de Goldbach tel que d=a+b.

Existe t-il toujours un nombre (c) premier ou opposé d’un premier, de la forme 2*a+b, avec a et b premiers et/ou opposés de premiers ?

En prenant plusieurs valeurs de (d) la réponse est non avec d=28 comme contre exemple par exemple ceci des valeurs de a et b positives. La réponse est non également lorsque a prends des valeurs négatives avec d=52 comme premier contre exemple. Pour a et b négatifs ou a positif et b négatif même constat.

Là où je ne comprends pas c’est qu’il existe des contre-exemples lorsque (a) et/ou (b) sont négatifs.

Ci dessous un fichier avec d=2 à 130 et (b) servant à établir (a) tel que (b) soit toujours premier.


Il faut sélectionner J2:ABK2 , copier, coller en J2:J199 et masquer les colonnes de J à WD pour reconstituer les tableaux.

Il est possible de changer la colonne des valeurs de b en prenant les opposés de b pour voir que les contre exemples existent toujours .

En espérant que c’est plus clair, cordialement.

[Liet Kynes]

Petit rajout de grande importance j'ai testé pour les 10000 nombres premiers, mon questionnement peut donc être considéré comme une conjecture mais je pense qu'il y a une explication basique qui m'échappe.

[Liet Kynes]

Re-petit-édit; le dernier tableau donne les valeurs de (a) pour lesquelles il existe une solution (c) premier ou opposé de premier.

[Merlin95]

Là où je ne comprends pas c’est qu’il existe des contre-exemples lorsque (a) et/ou (b) sont négatifs.

Pour a et b négatifs tu as trouvé un contre exemple, je crois.
Pour a positif et b négatif aussi.
Il reste a négatif et b positif.

Qu'est-ce qui t'empêche de trouver un contre exemple.

d n'a pas d'importance ou alors je n'ai pas compris tu peux te restreindre à partir de a et b, je pense.

Mais tu n'arrives pas à trouver de contre-exemple sur 10 000 tests d'après ce que j'ai compris ?

[Liet Kynes]

Pour un nombre pair d, je cherche les couples (a;b) qui sont partitions de Goldbach (premier;premier) ou de la forme (premier; opposé d'un premier), puis je cherche à savoir si pour ce nombre (d) il existe un nombre c=(2*a)+b qui soit premier.

Pour d=52.

Cas 1 : Je commence par soustraire tout les nombres premiers, cela revient à selectionner b premier, j'obtiens: 52-3,52-5,52-7,52-11... de ces résultats je ne conserve que ceux qui sont premiers ou opposé d'un premier pour obtenir (a): dans ce cas (b) est toujours positif et (a) positif ou négatif (quand (a) est positif c'est une partition de Goldbach).

Cas 2 : Si j'aditionne 52+3,52+5,52+7,52+11.. cela revient à soustraire à 52 l'opposé d'un premier, b est toujours négatif a toujours positif.

Je cherche ensuite si c=(2*a)+b existe tel que (c) soit premier dans les 2 configurations décrites ci dessus: pour 52 je n'ai pas trouvé de solution donnant (c) premier. 52 est donc un contre exemple de l'assertion qui dit pour un nombre d pair il existe c=2*a+b tel que (c) est premier avec (b) premier et (a) premier ou opposé d'un premier ou tel que (c) est premier avec (b) opposé d'un premier et a premier.

Dans ces opérations la suite de soustractions est irrégulière pourtant puisque effectuée avec (b) premier ou opposé d'un premier.

[Merlin95]

Cas 1 : Je commence par soustraire tout les nombres premiers, cela revient à selectionner b premier, j'obtiens: 52-3,52-5,52-7,52-11... de ces résultats je ne conserve que ceux qui sont premiers ou opposé d'un premier pour obtenir (a): dans ce cas (b) est toujours positif et (a) positif ou négatif (quand (a) est positif c'est une partition de Goldbach).

Je pense que c'est plus simple de parler de soustraction que d'opposé à des nombres premiers.

Cas 2 : Si j'aditionne 52+3,52+5,52+7,52+11.. cela revient à soustraire à 52 l'opposé d'un premier, b est toujours négatif a toujours positif.

Vous auriez un exemple ?

Si vous vous restreignez aux premiers positifs, le nombres de tests à effectuer est fini. J'ai peur que si vous étendiez ça aux nombres négatifs ou à des soustractions le nombre de tests soit infini et votre conjecture impossible à vérifier pour ne serait-ce que quelques cas.

Par exemple 52 = 5+47 (ou 11+41)
Si votre conjecture est que tout nombre s'écrit comme la soustraction de 2 premiers alors vous ne pourrez jamais l'illustrer quels sont ces nombres premiers en questions sur quelques nombres même pas trés grands genre 52.
Donc le fait de passer aux soustractions complexifie énormément le problème. C'est juste un exemple, je ne sais pas si ça correspond à votre recherche.

Je cherche ensuite si c=(2*a)+b existe tel que (c) soit premier dans les 2 configurations décrites ci dessus

Heuuu vous auriez un exemple concret ? j'ai du mal à voir.

[Liet Kynes]

"Si j'aditionne 52+3,52+5,52+7,52+11.. cela revient à soustraire à 52 l'opposé d'un premier, b est toujours négatif a toujours positif. "

Vous auriez un exemple ?

C'est la remarque que m'a faite gg0 : d=a+b si b est négatif alors d=a-b

"Je cherche ensuite si c=(2*a)+b existe tel que (c) soit premier dans les 2 configurations décrites ci dessus "
Heuuu vous auriez un exemple concret ? j'ai du mal à voir.

Pour 52 les couples de partition de Golbach sont : (47,5),(41,11), (29,23)

Le calcul de (c) est :
47*2+5=99
5*2+47=57
41*2+11=93
11*2+41=63
29*2+23= 75
23*2+29 = 81

c n'est pas premier.

[Liet Kynes]

Rmq: Pour la seconde question les résultats de calculs sont la colonne SE de la dernière pièce jointe.

[Merlin95]

Desole je ne peux ouvrir votre fichier étant sur telephone. Et je pense que c'est mieux de comprendre dans le forum sans d voir aller ouvrir un fichier (a comprendre aussi de toute façon).

[gg0]

Attention, LK,

52 n'est pas un contre-exemple, à cause des 52 = a-b avec a et b premiers, dont tu ne risques pas de faire la liste (Excel ne travaille qu'avec de petits nombres entiers, il ne testera pas des a et b de 25 chiffres). Donc ne parle pas de "contre-exemple", mais du fait que tu ne trouves rien sur les essais incomplets.
Pour 52 = a+b, c'est plus simple, il y a un nombre fini de a et b possibles, il suffit de tester les premiers jusqu'à 52/2=26.

Cordialement.

[Merlin95]

C'est la remarque que m'a faite gg0 : d=a+b si b est négatif alors d=a-b

si d=a+b alors a-b=d-2b et d=d-2b ssi b=0.

Si vous voulez dire que 2+3=2-(-3) c'est vrai de toute addition et ça complique inutilement les choses. Vaut mieux conserver d'écrire 5 sous la forme 3+2 par exemple c'est équivalent à 3-(-2)de toute façon.

Pour 52 les couples de partition de Golbach sont : (47,5),(41,11), (29,23)

Le calcul de (c) est :
47*2+5=99
5*2+47=57
41*2+11=93
11*2+41=63
29*2+23= 75
23*2+29 = 81

c n'est pas premier.

Oui mais c'est le cas 2 que je ne comprends pas.

[gg0]

Bonjour.

Je viens de prendre le temps de regarder l'idée : si d=a+b où a et b sont des nombres premiers impairs, alors 2a+b est non premier.
En tapant au hasard avec un petit programme, je suis tombé au troisième essai sur d=1524, qui se décompose de nombreuses façons en somme de deux premiers, par exemple 43+1481, et 2*43+1481 = 1567 qui est premier. Il y a même 14 autres décompositions pour a<b et encore 11 pour b<a, soit au total 26 contre exemples rien que pour 1524.

Donc inutile d'aller chercher des décompositions d=a-b.

Cordialement.

NB : Illustration de l'erreur de travailler avec des petits nombres.

[Merlin95]

d=2a+b non ?

[gg0]

Oui, c'est ce que j'ai testé; mais LK, ne trouvant pas de contre-exemple, essayait aussi des 2a-b (ce qu'il appelle des premiers négatifs).