Exercice ; factorielles, inégalités, démonstrations par récurrence

[maoaoao]

Bonjour ! j'ai un exercice qui m'a donné du fil à retordre, je suis venue à bout de toutes les questions sauf la dernière ! J'ai tout fait, mais je ne vois pas comment faire le lien et la résoudre.
Le but de cet exercice est de démontrer que,pour tout entier positif k,il existe un entier n indice k tel que,pour tout n≥n indice k,n!>kn.Pour chaque question,il est indiqué clairement lorsque celle-ci doit être abordée via une démonstration par récurrence.
1.Montrez par récurrence que,pour tout n≥4,n!>2^n.
2.Montrez par récurrence que,pour tout n≥7,n!>3^n.
3.(a)On considère la suite u définie sur N∗de terme général un=(1+1/n)^n.Rappelez la limite de la suite u.
(b)On admet que la suite u croît strictement vers cette limite.Déduisez-en que,pour tout n≥1n+1)^(n+1)^2/n^n^2<e^n(n+1)^2n+1
(c)Montrez que,pour tout n≥1n+1)^2)!(n^2)!>n^4n+2
(d)Montrez que,pour tout n≥4:e^n(1+1/n)2n+1<(5/4)e^3n
(e)Déduisez-en que,pour tout n≥4n+1)^(n+1)2/n^n^2)×(n^2)!((n+1)^2)!<5e^3n/4n^2n+1
(f)Montrez par récurrence que,pour tout n≥45e^3n)/4n^2n+1<1
(g)Déduisez-en par récurrence que pour tout n≥4,(n^2)!>n^n^2.
(h)Déduisez-en par récurrence que,pour tout k∈N,il existe un entier n indice k tel que,pour tout n≥n indice k,n!>kn.

Je ne sais pas si il est pertinent que j'écrive toute ma réponse ici, s'il est nécessaire je le ferai; en tout cas, pour cette question h, je n'ai aucune idée de comment faire le lien avec précédemment, la moindre indication me serait très précieuse,
Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

J'ai du mal à trouver un lien (*), d'autant que ton texte n'est pas lisible à cause des smiley parasites. L'énoncé est aussi peu fiable, faute de parenthèses suffisantes : n^4n+2 est-il bien ? Ou ? idem pour 5e^3n/4n^2n+1 ou n^n^2.

Cordialement.

(*) mais une démonstration directe, sans récurrence, est simple, puisque ça revient à trouver une condition pour que (n-1)! > k.

[maoaoao]

Mince ! Je ne les avais pas repérés ces smileys. Excusez-moi, même en me relisant tout à l'heure, certaines fautes importantes et grossières m'ont échappées; j'ai tout recopié ci-dessous en prenant bien garde cette fois-ci, je n'avais pas vu que l'on pouvait prévisualiser le message, j'y ferai désormais plus attention.
1.Montrez par récurrence que,pour tout n≥4, n!>2^n.
2.Montrez par récurrence que,pour tout n≥7, n!>3^n.
3.(a)On considère la suite u définie sur N∗ de terme général un=(1+(1/n))^n.Rappelez la limite de la suite u.
(b)On admet que la suite u croît strictement vers cette limite. Déduisez-en que,pour tout n≥1, ((n+1)^(n+1)^2)/(n^n^2)<(e^(n))*(n+1)^(2n+1)
(c)Montrez que,pour tout n≥1, ((n+1)^2)!(n^2)!>n^(4n+2)
(d)Montrez que,pour tout n≥4: (e^n)*(1+(1/n))^(2n+1)<(5/4)(e^(3n))
(e)Déduisez-en que,pour tout n≥4, ((n+1)^(n+1)^2)/(n^n^2))×((n^2)!)/((n+1)^2))!<(5e^(3n))/(4n^(2n+1))
(f)Montrez par récurrence que,pour tout n≥4, (5e^3n)/ (4n^(2n+1))<1
(g)Déduisez-en par récurrence que pour tout n≥4,(n^2)!>(n^n^2).
(h)Déduisez-en par récurrence que,pour tout k∈N,il existe un entier n indice k tel que,pour tout n≥n indice k, n!>k^n.
Je connais la méthode pour la démonstration par récurrence -encore heureux peut-être- mais je ne vois pas même comment initialiser pour cette dernière démonstration alors qu'on implique ce k, j'ai repéré toutes les similarités avec les questions 1 et 2 cependant je n'entends rien à ce qu'on veut me faire déduire. Je demande à nouveau pardon pour mon énoncé.
Cordialement

[gg0]

Bonjour.

L'initialisation ne pose pas de problème à priori, puisque pour k=0 on peut prendre n_k = 0 : pour tout n≥ 0, n!>0^k. (*)
Et s'il faut démarrer la récurrence plus tard, on trouvera facilement (voir questions 1 et 2)

Par contre, je ne vois pas non plus le "en déduire". On peut construire une preuve directe par récurrence (même si c'est inutilement compliqué) en comparant (k+1)ⁿ à kⁿ, mais je ne vois pas de rapport avec les questions précédentes.
L'auteur de l'énoncé a peut-être une idée en tête, mais ce n'est pas très pédagogique : Apprendre les maths, ce n'est pas apprendre à essayer de deviner ce que les autres ont en tête, c'est apprendre à trouver son propre chemin. ici, avec n!=n(n-1)!, on est ramené à prouver que pour n assez grand, (n-1)! dépasse k, ce qui est facile !!

Cordialement.

(*) les indices et puissances s'obtiennent avec les bascules x₂ et x² avec "répondre" ou "mode avancé".

[A voir en vidéo sur Futura]