Projeté orthogonal d'un point sur une droite

[Tomswweks]

Bonjour à tous,

J'ai trois points quelconques dans l'espace (que l'on va appeler A, B et C) dont on connaît les coordonnées, et je cherche à vérifier une formule permettant de calculer la distance de C à (AB).
En appelant P le demi-périmètre du triangle ABC et S le projeté orthogonal de C sur (AB), on m'a donné cette formule :

J'ai voulu la vérifier de la façon suivante :
- J'ai "découpé" ABC en deux triangles rectangles : ASC et BSC, tous deux rectangles en S ;
- Via Pythagore, j'obtiens pour un triangle et pour l'autre ;
- Je somme les deux et je passe par une identité remarquable pour aboutir à ;
- Je remplace AS par (Pythagore) et BS par ;
- Je développe le calcul, après la multiplication des racines, j'élève l'ensemble au carré, je réarrange et j'en prends la racine.
J'obtiens une formule (beaucoup moins sympa) :

Et... Je suis bloqué là. Je ne vois pas comment continuer pour obtenir la formule précédente (bien plus commode à utiliser), dont je ne suis d'ailleurs pas certain (c'est l'objet de ma vérification). En application numérique, les deux formules donnent des résultats différents.
J'ai le bon degré (puisque la quadruple occurrence de P sous la racine y impose du , et ); en revanche je ne relie pas les autres termes du numérateur au reste de la racine. Concernant le dénominateur, je trouve cela étrange d'obtenir du AC² + BC² à la place de AB², sachant qu'il n'y a évidemment aucune raison pour que AC et BC soient perpendiculaires. Aussi, il y a ce 2 qui ne se trouve pas au même endroit, mais une partie s'en cache probablement dans les multiples occurrences de P (qui, encore une fois, est le demi-périmètre donc .

Quelque chose m'échappe forcément... Un coup de main, s'il vous plaît ?
Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas si ton calcul peut aboutir. Ta formule est simplement tirée de la formule de Héron, combinée avec le classique aire = base * hauteur / 2.

Cordialement.

[Tomswweks]

Bonjour gg0, merci pour ta réponse c'est effectivement ça ! J'ai dû passer à coté de cette formule, qui ne me rappelle vraiment rien...

[gg0]

Elle est rarement enseignée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[epiKx]

Bonjour, le calcul aboutit (je l'ai déjà fait) ton expression finale ne peut être correcte il faut quelque chose de symétrique pour les côtés du triangle. La formule doit donc être la même si on remplace AB par AC ou BC

[gg0]

Bonsoir EpiKx.

Pour la distance de C à (AB), AC et BC jouent des rôles équivalents, mais il n'y a aucune raison de mettre AB dans le même sac.

Cordialement.

[epiKx]

Bonsoir EpiKx.

Pour la distance de C à (AB), AC et BC jouent des rôles équivalents, mais il n'y a aucune raison de mettre AB dans le même sac.

Cordialement.

Bonjour gg0, non gg0 je parlais de l'écart entre les deux formules présentées l'une est symétrique (la formule de héron), l'autre ne l'est pas. Sauf erreur de ma part...

[gg0]

Heu .. dans la formule initiale, on ne peut pas parler de symétrie, AB joue un rôle particulier. Dans la formule trouvée par Tomswweks, Ac et BC jouent le même rôle (on peut les échanger, et AB un rôle particulier. Donc pas de problème !

[epiKx]

C'est le produit base*hauteur qui doit être symétrique. Je ne pense pas que ce soit le cas ici...

[gg0]

Comment savoir ? Même en multipliant par AB, on obtient une expression trop compliquée pour pouvoir étudier sa symétrie. Et les égalités habituelle base x hauteur n'ont rien de symétriques.

En tout cas, en faisant ce qu'il dit, de tête, j'obtiens comme lui.

Cordialement.