Bonjour à tous,
J'ai trois points quelconques dans l'espace (que l'on va appeler A, B et C) dont on connaît les coordonnées, et je cherche à vérifier une formule permettant de calculer la distance de C à (AB).
En appelant P le demi-périmètre du triangle ABC et S le projeté orthogonal de C sur (AB), on m'a donné cette formule :
J'ai voulu la vérifier de la façon suivante :
- J'ai "découpé" ABC en deux triangles rectangles : ASC et BSC, tous deux rectangles en S ;
- Via Pythagore, j'obtiens pour un triangle et pour l'autre ;
- Je somme les deux et je passe par une identité remarquable pour aboutir à ;
- Je remplace AS par (Pythagore) et BS par ;
- Je développe le calcul, après la multiplication des racines, j'élève l'ensemble au carré, je réarrange et j'en prends la racine.
J'obtiens une formule (beaucoup moins sympa) :
Et... Je suis bloqué là. Je ne vois pas comment continuer pour obtenir la formule précédente (bien plus commode à utiliser), dont je ne suis d'ailleurs pas certain (c'est l'objet de ma vérification). En application numérique, les deux formules donnent des résultats différents.
J'ai le bon degré (puisque la quadruple occurrence de P sous la racine y impose du , et ); en revanche je ne relie pas les autres termes du numérateur au reste de la racine. Concernant le dénominateur, je trouve cela étrange d'obtenir du AC² + BC² à la place de AB², sachant qu'il n'y a évidemment aucune raison pour que AC et BC soient perpendiculaires. Aussi, il y a ce 2 qui ne se trouve pas au même endroit, mais une partie s'en cache probablement dans les multiples occurrences de P (qui, encore une fois, est le demi-périmètre donc .
Quelque chose m'échappe forcément... Un coup de main, s'il vous plaît ?
Merci d'avance
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