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Projection orthogonale d'un point su un plan



  1. #1
    moel

    Projection orthogonale d'un point su un plan


    ------

    Bonjour à tous

    N'ayant qu'un vague souvenir des calculs dans l'espace géométrique, j'espère que vous pourrez m'aider.
    Je suis confronté un problème de calcul de coordonnées d'un point résultant de la projection d'un autre point sur un plan.

    Voici ce que j'ai:
    Plan ABC défini par les coordonnes des 3 points.
    Point A (3,318 8,521 7,044)
    Point B (7,414 6,733 6,869)
    Point C (4,608 12,593 7,061)

    Point D (2,634 10,039 4,089)
    Point F ( x y z) c'est ce point que je cherche à calculer ces coordonnée, ce point est la projection du Point D sur le Plan ABC.

    Je commence donc par calculer les vecteurs
    Vec AB (4,096 -1,788 -0,175)
    Vec AC (1,29 4,072 0,017)
    Vec BC (-2,806 5,86 0,192)

    En suite je calcul le Vecteur DF
    Vec DF (x-2,634 y-10,039 z-4,089)

    Maintenant pour trouver les 3 inconnues, j'ai besoin de 3 équations, avec DF normal au plan ABC et donc:
    Vec AB * Vec DF = 0 ce qui me donne: 4,096x - 1,788y - 0,175z = -7,876
    Vec AC * Vec DF = 0 ce qui me donne: 1,29x + 4,072Y + 0,017z = 56,346
    Vec BC * Vec DF = 0 ce qui me donne: -2,806x + 5,86y + 0,192z = -50,652


    Mais je ne trouve pas de solution?

    Pouvez vous m'aider, me corriger ou m'orienter s'il vous plait?

    PS: Je cherche à pouvoir trouver les coordonnées en utilisant Excel, où je donne les 4 points (A,B,C et D) et j'ai comme retour les coordonnées du F, mais ca c'est une autre problème

    D'avance merci

    MoEl

    -----

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  4. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Projection orthogonale d'un point su un plan

    Bonjour.

    C'est normal que tu ne trouves pas de solution. En fait, sans les approximations, tu devrais trouver une infinité de solutions; le -7,876 est en fait un -7,876443. Ça suffit à tout faire dérailler.
    Ton système, dont la troisième équation est une conséquence des autres, donne seulement l'ensemble des points qui sont sur la perpendiculaire au plan passant par D. C'est une droite dont une équation est donnée par le système des deux premières équations.
    En fait, dès qu'une droite est perpendiculaire à deux sécantes d'un plan, elle est perpendiculaire à toutes les droites du plan. C'est pourquoi la troisième équation n'apporte rien.
    Mais tu as oublié une condition évidente sur D, je te laisse trouver et te donner des claques pour l'avoir oubliée

    Cordialement

  5. #3
    moel

    Re : Projection orthogonale d'un point su un plan

    Merci beaucoup pour ton retour,
    Je ne comprends pas très bien tes remarques, je me suis basé sur cette vidéo de Monsieur Yvan Monka https://www.youtube.com/watch?v=1b9FtX4sCmQ,
    Et pour trouver mes 3 inconnues, j'ai bien besoin de 3 équations?
    Pour la condition évidente su D, je l'ai retourné la feuille plusieurs fois, mais je ne trouve pas cette condition

    Ca fait bientôt 17 ans que j'ai quitté l'école après mon bts, j'ai donc que de vagues souvenirs de mes cours.

    Merci encore

  6. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Projection orthogonale d'un point su un plan

    Ta difficulté vient d'un manque de connaissances en géométrie dans l'espace : deux conditions suffisent (la troisième est une conséquence des deux premières). Et trois équations ne donnent pas toujours une seule solution.
    Ce qui manque, c'est de dire que F est dans le plan (ABC). Finalement, c'est assez classique que tu ne l'aies pas vu : tu étais tellement content de tes trois équations que tu n'es pas allé plus loin.
    La suite : tu conserves deux équations, tu traduis l'appartenance de F au plan, ce qui te donnera une troisième équation indépendante, etc.

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    moel

    Re : Projection orthogonale d'un point su un plan

    je commence à comprendre, en fin, j'espère

    Donc ma troisième équation devrait être plutôt Vec BF * Vec DF = 0 à la place de Vec BC * Vec DF = 0, est ce bien ça?

    Merci

  9. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Projection orthogonale d'un point su un plan

    Ah non, pas du tout ! Cette condition dirait que les droites (BC) et (DF) sont parallèles; on les veut perpendiculaires. La troisième équation dit simplement que (x,y,z) vérifie l'équation du plan. Il te suffit d'écrire l'équation du plan.

    Cordialement

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  11. #7
    moel

    Re : Projection orthogonale d'un point su un plan

    Merci gg0, mais je ne comprend pas quant tu dis que cela dirait que les droites (BC) et (DF),
    Pour vérifier la orthogonalité de deux vecteur, il faut bien que leur produit scalaire soit = 0?
    Si non, j'ai bien l'équation du Plan ABC qui est:

    0,682203999999998x - 0,295382000000001y + 18,985432z - 133,479985858=0,



    Il me reste donc qu'à résoudre le système suivant?

    4,096x - 1,788y - 0,175z = -7,876
    1,29x + 4,072Y + 0,017z = 56,346
    0,682x - 0,295y + 18,985z = 133,480

    c'est bien ca?

    Merci encore

  12. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Projection orthogonale d'un point su un plan

    Oui, c'est bien ça.

    Pour le début de ton message, j'ai lu "produit vectoriel", alors que tu parlais de vecteurs; et en plus, j'ai pris la mauvaise formule !!. Mais c'est la même chose, dire que Vec BF * Vec DF = 0 revient à dire que (BF) et (DF) sont perpendiculaire, ce qui n'apporte rien, ça ne dit toujours pas que F est dans le plan, et c'est une conséquence des deux premières équations (toujours la même raison).

  13. #9
    moel

    Re : Projection orthogonale d'un point su un plan

    Merci beaucoup gg0.
    Question résolu,

    pour la prochaine étape, la question se complique un peu,
    je vais donc ouvrir un autre sujet,

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