Projection orthogonale d'un point sur une droite

[invitef50036e9]

Salut,

J'ai un petit problème de géométrie analytique que je n'arrive pas à résoudre dans R^3:

Projection orthogonale de p(2,-1,3) sur la droite x=3t
y=5t-7
z=2t+2
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[phys4]

Bonjour,

Parmi diverses méthodes, je ferais le produit scalaire du vecteur P(t) qui joint P au point courant de la droite, par le vecteur directeur de la droite:
l'annulation du produit me donnera le pied de la projection orthogonale et le vecteur projection.
Bonne suite.

[invitef50036e9]

J'ai pas vraiment compris comment il fallait faire mais j'ai un autre problème qui est à peu près la même chose: Equation de la médiane et de la hauteur issues du somment b du triangle a(1,-2,-4) b(3,1,-3) c(5,-1,7). Voila pour la médiane il y a pas de souci mais je comprend pas comment faire pour la hauteur.

Merci

[phys4]

Bonjour,
Pour votre premier problème, vous pouvez aussi calculer le minimum de la distance, c'est seulement un peu plus long.

Par le produit scalaire vous faites vecteur P(t) = (3t - 2, 5t - 6, 2t - 1) (3,5,2)
Le second vecteur représente la direction de la droite, ce produit vaut donc 38t - 38
Réponse immédiate.

Pour votre triangle, vous pouvez remarquer que le produit scalaire de deux cotés est égal au produit scalaire d'un coté par la distance du pied de la hauteur issu de l'autre sommet. Faire un dessin, si cela ne vous semble pas évident.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef50036e9]

J'ai tout à fait compris pour le premier problème mais j'ai trouvé une autre méthode: si p' est la projection orthogonale de p sur la droite, il me suffit de trouver le plan qui est perpendiculaire à la droite et qui passe par pp'. Ca veut dire que le vecteur directeur de la droite est vecteur normal du plan donc l'équation de celui-ci est très facile à trouver: 3x+5x+2z-7=0. ensuite je fais l'intersection du plan et de la droite et j'obtiens comme vous 38t-38=0. Donc p'(3,-2,4).

Je vais procéder de la même façon pour le triangle

Merci pour votre aide phys4