Question arithmétique nombres premiers

[Malefix]

Bonjour,

J'ai découvert quelque chose d'assez amusant et j'aimerais votre avis.
Soit un nombre premier commençant par 1 et finissant par 9, notons-le p. Si p-2 est aussi premier alors on calcule le reste de la division euclidienne de p lu de droite à gauche par p lu de gauche à droite. On obtient donc un reste et si on lit ce reste de droite à gauche et qu'on le décompose on tombera toujours sur p-2 dans la décomposition en facteurs premiers.

Je donne deux exemples pour appuyer mes propos.

19 commence par un 1 et finit par un 9 et est premier. 17 est aussi premier (17 joue le rôle de p-2 ici).
Le reste de la division euclidienne de 91 (19 lu de droite à gauche) par 19 est 15. Si on lit 15 de droite à gauche et qu'on le décompose on a 51=3*17. Or 17 c'est exactement p-2.

Un autre exemple avec 1999 et 1997.
Le reste de la division euclidienne de 9991 par 1999 est 1995. Et 5991=3*1997.

Voilà ça doit être simple à démontrer je pense, j'aimerais juste votre avis.

Cordialement.
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[Médiat]

Avez-vous essayé avec 139 ?

[Malefix]

Effectivement ça ne marche pas avec 139 mais c'est moi qui ai obligé de poser une condition supplémentaire dans mon énoncé. Il faut que le nombre premier commence par un 1 et ensuite qu'il n'y ait que des 9 derrière. Comme 19, 199 ou 1999. Et que p-2 soit aussi premier évidemment.

[Deedee81]

Salut,

C'est tout de suite plus vraisemblable d'autant qu'il n'y a ps énormément de nombres premiers de cette forme. Suffit de le vérifier tous (je laisse faire) Et encore mieux le démontrer (ce n'est probablement pas difficile, du moins si c'est juste)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Jusqu'à 2^200-1 (1 suivi de deux cents 9), il n'y a aucun couple de premiers de ce type ... Donc finalement, c'est une remarque sur 19, 199 et 1999. C'est tout. A moins que Malefix soit capable d'en exhiber d'autres ...

Cordialement

[Médiat]

En fait cela n'a rien à voir avec les nombres pemiers, c'est juste une propriété des nombres de la forme 10ⁿ - 9

[Deedee81]

Ah je n'avais pas vérifié les p-2. C'est encore plus court. Merci gg0

Ceci dit une démo (autre qu'en essayant) reste peut-être possible pour les trois cas montrant pourquoi on a ce résultat amusant.

EDIT croisement avec Médiat. C'est marrant on avait eut une autre conjecture ainsi récemment où il s'est avéré que ça marchait aussi sur les non premiers. Toujours essayer les non premiers... au cas où

[Malefix]

Merci pour vos réponses.
En effet je ne trouve pas d'autres exemples autre que 19, 199 ou 1999. Je conjecture que s'il existe d'autres nombres premiers de cette formule alors la propriété reste vraie. Mais encore faudrait-il trouver un autre exemple.

@Médiat : j'ai essayé avec 10^n-9 ça ne marche pas à tous les coups mais uniquement pour 19, 199 et 1999. Ou alors j'ai mal compris le message.

[Deedee81]

J'ai pas essayé non plus. Qu'est ce que ça donne par exemple (les inversions et modulo) sur 19999 par exemple (plus le temps d'essayer, je suis parti. A demain )

[Malefix]

Ah bah pour 19999 ça marche, on tombe sur 3*19997. Par contre 19999 n'est pas premier. Bizarre.

[pm42]

Ah bah pour 19999 ça marche, on tombe sur 3*19997. Par contre 19999 n'est pas premier. Bizarre.

Tu as lu la réponse 6 à ton fil ?

[Malefix]

@pm42 : oui mais je ne l'ai pas comprise. J'ai testé et je ne retombe pas sur le résultat annoncé par Médiat.

[Médiat]

Si on part de 10ⁿ⁺¹- 9, écrit à l'envers on a 2.10ⁿ - 1
10ⁿ⁺¹- 9 = 4*(2.10ⁿ - 1) + 2.10ⁿ - 5

or 2.10ⁿ - 5 écrit à l'envers donne 6.10n - 9 = 3 (2.10ⁿ - 3) cqfd

[Malefix]

C'est tout de suite plus clair, merci.

Sujet résolu donc.

[Deedee81]

Salut,

Je reviens ce matin pour voir que c'est résolu. Merci Médiat.