a puissance x

[Monta99]

salut comment peut t on isoler x
3^(x+1)+2*3^(2-x)=29
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[jacknicklaus]

Salut,
on ne peut pas, mais solution évidente : x = 2

[Merlin95]

Si on peut et il y a 2 solutions une positive (2) et une négative.

Il suffit de tout passer d'un côté et de factoriser (il y a une petite astuce mais essayez de la trouver).

Aprés l'astuce (assez simple), moyennant un changement de variable, on devrait alors voir apparaître un polynôme du second degrés qu'on sait factoriser facilement. Les solutions découleront en revenant du changement de variables qui confirme la solution 2 et l'autre ((ln(2)/ln(3)) -1).

[jacknicklaus]

Si on peut et il y a 2 solutions une positive (2) et une négative.

conclusion que je vais méditer : jamais poster à 1h30 du matin de retour d'une soirée bien arrosée...

[A voir en vidéo sur Futura]

[CARAC8B10]

Bonsoir Merlin95,
De passage, je n’arrive pas à une solution simple.
En développant en et en posant , j’arrive à :

Ai-je manqué quelque-chose ?
Merci.

[jacknicklaus]

L'idée est de changer de variable en posant z = 3^x. Ca donne une équation polynomiale de degré 2.

[Merlin95]

Puisque le primoposteur n'est pas revenu ;

3^(x+1)+2*3^(2-x)=29
3^(x+1)+2*3^(2-x)-29=0
3*3^x+18*3^(-x)-29=0
3^x (3 + 18*3^(-2x)-29*3^(-x))=0
3^x (3 + 18*(3^(-x))²-29*3^(-x))=0

3^x n'est jamais nul donc ça équivaut à
(3 + 18*(3^(-x))²-29*3^(-x))=0
(18*(3^(-x))²-29*3^(-x)+3)=0

En posant u=3^(-x), on a donc :

18*u²-29*u+3=0

Le déterminant vaut 25² d'où deux racines réelles :
u=(29±25)/36=54/36=27/18=9/6=3/2
u=4/36=2/18=1/9
u=54/36=

[Merlin95]

ooooups...

En posant u=3^(-x), on a donc :

18*u²-29*u+3=0

Le déterminant vaut 25² d'où deux racines réelles :
u=(29±25)/36=54/36=27/18=9/6=3/2
u=4/36=2/18=1/9

Or u=3^(-x) donc
3^(-x)=3/2
ou
3^(-x)=1/9

-x=ln(1/9)/ln(3)
-x=ln(3/2)/ln(3)

x=2ln(3)/ln(3)=2
x=(ln(2)-ln(3))/ln(3)

x=2
Ou
x=ln(2)/ln(3)-1

[CARAC8B10]

J’étais parti dans des complications au lieu de garder inchangés les coefficients.
Donc avec , j’obtiens dont les racines sont et soit 2 et pour x.

[Merlin95]

On pourrait factoriser par 3^(-x) (au lieu de 3^x) aussi, c'est plus simple même je pense.

Édit :

j’obtiens dont les racines sont 9 et 2/3

Non 1/9 et 3/2 plutôt

[gg0]

Non, les racines sont bien 9 et 2/3, et il trouve bien comme toi. Il n'a pas le même changement de variable.

Cordialement.

[Merlin95]

Ha oui merci, sans faire exprès j'ai pris un autre changement de variable que celui que j'avais fait il y a 2 jours.