Exercice avec des valeurs absolues en seconde

[jpigrec]

Bonsoir,
Ma petite fille en 2nd a l'exercice ci dessous à résoudre :
(Ce n'est pas précisé mais il faut évidemment a et b différents de zéro).
Je suis parti bille en tête en multipliant par la quantité conjuguée les 2 membres de l'égalité mais je ne débouche sur rien ; idem en élevant au carré chaque membre.
Comme b/a = l'inverse de a/b j'ai fait un changement de variable (déjà en seconde un changement de variable ...) X=sqrt(a/b) et l'équation devient alors X+1/X=sqrt(5)
soit X²-sqrt(5).X+1=0 qui a 2 racines distinctes, chacune d'elles vérifiant bien la propriété à démontrer.
Le seul petit problème c'est que la résolution générale de l'équation du 2nd degré n'est vue qu'en 1ere si ce n'est en terminale!
Je me dis qu'il y a donc quelque chose de plus simple et en tout cas du programme de seconde que j'ai du rater ....
Alors ''qu'est ce que j'peux faire, j'sais pas quoi faire'' (PIERROT LE FOU_JL.Gdard).
Bonne soirée.
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[Merlin95]

Posons a/b=x, x <> 0

Alors l'équation de départ s'écrit :

sqrt(x) + sqrt(1/x) = sqrt(5)
(sqrt(x) + sqrt(1/x))² = 5
x + 1/x + 2 = 5
x + 1/x = 3

Or :
(sqrt(x) - sqrt(1/x))² = ...

 Cliquez pour afficher

= x + 1/x - 2 = 3 - 2 = 1
Donc
(sqrt(x) - sqrt(1/x))² = 1
|(sqrt(x) - sqrt(1/x)| = 1
Or x = a/b donc

|(sqrt(a/b) - sqrt(b/a)| = 1

[danyvio]

la résolution générale de l'équation du 2nd degré n'est vue qu'en 1ere si ce n'est en terminale!

Ha bon ? Le niveau a bien changé ? A confirmer svp

[danyvio]

Le seul petit problème c'est que la résolution générale de l'équation du 2nd degré n'est vue qu'en 1ere si ce n'est en terminale!

Ha bon ? Le niveau a bien changé ! A confirmer svp...

NB : c'es effectivement inutile de passer par la résolution d'une équation du second degré

[A voir en vidéo sur Futura]

[jpigrec]

Bonjour Merlin95,
Merci de ta subtile réponse.
J’ai une question indiscrète n’étant pas habitué à ce forum :
Pourquoi y a-t-il un bouton ''Cliquer pour afficher'' pour voir la fin de ta démonstration ?
Bonne journée

[Deedee81]

Salut,

Pourquoi y a-t-il un bouton ''Cliquer pour afficher'' pour voir la fin de ta démonstration ?

Il a mis une balise "spoiler" mais lui dira pourquoi il a choisi ça

[jpigrec]

Bonjour danyvio,
Annexe du bulletin officiel du programme de maths en seconde -> https://www.education.gouv.fr/bo/19/...NE1901631A.htm
La décomposition du trinôme du second degré avec la forme canonique n'est vue qu'en 1ere générale .... alors qu'avec une heure de plus on pourrait terminer la résolution de l'équation du second degré, mais ceci pourrait faire l'objet d'une autre discussion (houleuse?).
Bonne journée.

[Merlin95]

Pourquoi y a-t-il un bouton ''Cliquer pour afficher'' pour voir la fin de ta démonstration ?

J'ai mis un spoiler pour laisser le choix aux lecteurs de comprendre la démarche par eux-mêmes sans leur servir la solution "toute faite".

[gg0]

Bonjour.

La méthode du discriminant pour résoudre les équations du second degré ne se voit plus en seconde depuis plus de trente ans.

Cordialement.

[Deedee81]

La méthode du discriminant pour résoudre les équations du second degré ne se voit plus en seconde depuis plus de trente ans.

!!!! Ils voient ça comment alors ???

[Lil00]

!!!! Ils voient ça comment alors ???

De mon temps (bac en 1991), c'était un des tout premiers chapitres de 1e S.

[jiherve]

bonjour,
les ravages des math modernes, le désespoir des prof de physique.
je pressens des réactions!
JR

[Deedee81]

Ah d'accord, on le voit après. Y a de quoi pleurer.

[jpigrec]

!!!! Ils voient ça comment alors ???

En seconde pas de miracle : soit c'est une des identités remarquables, soit on peut factoriser (ax²+bx=0).
Sinon les petits génies ... peuvent avoir des idées géniales. Par exemple dans x²+2x-3 on voit immédiatement (?) que -3 = 1-4.
Bref ''je vous demande de vous arrêter (E.B.)" à propos des programmes des maths au lycée, surtout depuis la dernière réforme, je commence déjà à avoir de l'urticaire .

[gg0]

Oui, la méthode du discriminant est vue en première. A l'époque où j'étais prof de lycée (avant 95) on faisait beaucoup de résolutions d'équations du second degré par factorisation , y compris en retrouvant la "forme canonique". Puis en première, on voyait les formules et les élèves les apprenaient immédiatement, car elles leur simplifiaient la vie. Ce n'est sans doute plus possible aujourd'hui où les identités remarquables et la factorisation ne sont vraiment traitées qu'en seconde.

Je ne sais pas ce qui se fait en Belgique, mais en France l'enseignement des maths s'est fortement délité.

Cordialement.

[Deedee81]

Je ne sais pas ce qui se fait en Belgique, mais en France l'enseignement des maths s'est fortement délité.

Mes neveux et nièces ayant quitté l'enseignement depuis longtemps, difficile à dire (pour la Belgique) mais j'ai déjà vu plusieurs profs râler (sur un forum de math) !!!!

[Tengri]

Je n'ai pas cliqué pour essayer de faire la démonstration par moi même, mais ici :

sqrt(x) + sqrt(1/x) = sqrt(5)
(sqrt(x) + sqrt(1/x))² = 5
x + 1/x + 2 = 5
x + 1/x = 3

je ne comprends pas l’apparition de +2... La suppression des racines et d'un carré l'exigent?

[albanxiii]

je ne comprends pas l’apparition de +2... La suppression des racines et d'un carré l'exigent?

Rappel : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

[Tengri]

merci,

Donc c'est un exercice non faisable sans connaitre les identités remarquables; d'ailleurs j'ai du tout détailler sur une feuille pour voir ce qui s'annulait et constater qu'il restait 2 seul.

j'ai donc essayé de mon côté de faire la démonstration: j'ai assez vite calé et dû regarder la solution. Cela parait assez facile quand on regarde, on suit parfaitement les étapes montrées par Merlin95.

Mais ça m'a l'air d'être un vrai exercice de seconde, dans l'esprit de ce qui s'y faisait il y a 20 ans. On ne peut pas réussir si on ne repère pas la clé qui sous tend la logique de l'exercice: pourquoi faut il démarrer avec élévation au carré? Je n'aurais pas spontanément pensé à utiliser les IR...

Cela ressemble aux exercices de seconde de mon époque, assez orientés première S

[Merlin95]

En effet, c'est pas magique :

Déjà :
Sqrt((trucmuch)²) = |trucmuch|
Donc on sait qu'on va certainement élever au carré, pour prendre la racine carré et donc obtenir une valeur absolue. Ici trucmuch égal juste sqrt(a/b) - sqrt(b/a).

Par ailleurs, on remarque que le produit des 2 termes (a/b)*(b/a) se simplifie pour donner 1.

Et un produit de termes (avec le 2 *... ou -2 * ... devant), ca fait penser à l'élévation au carré d'une somme de deux termes, ca tombe bien, c'est ce qu'on a ici.

Par ailleurs, on sait qu'en élevant au carré (x+y) ou (x-y), les deux premiers termes seront les mêmes, car :
(x + y)²=x² + y² + 2 x * y
(x - y)²=x² + y² - 2 x * y

On part de x+y=sqrt(5) donc on va obtenir x² + y², l'autre terme se simplifie (puisqu'en l'occurrence ici x*y=1).

Et comme on cherche |x-y|, alors on sait que notre (x-y)² va servir, comme on a déjà obtenu le x² + y², et que le (-2 * x * y) se simplifie toujours en (-2), on donc tout pour ne plus avoir de x et y dans (x-y)², ensuite comme déjà dit, comme on recherche la valeur absolue, reste plus qu'à prendre la racine carrée (sqrt(1)=1, et ca démontre le résultat.