Ensemble de définition

[LeNainConnu]

Bonjour,

J'aimerai définir l'ensemble de définition d'une fonction pour plusieurs variables et je ne sais pas si j'ai bien défini la fonction, je vous résume ma pensée.

"Soit une fonction f(x) définie sur N et pour tout x>0, par f(x) = 2x+7"

Si on modifie la fonction f(x) en remplaçant les entiers naturels 2 et 7 par des lettres, on obtient :

"Soit une fonction f(x) définie sur N et pour tout x>0 par f(x) = ax+b"

Et voilà ma question, est-ce que a et b sont inclus dans l'ensemble de définition (N) de la fonction initiale ou je dois également définir l'ensemble de définition des variables a et b si je veux définir une fonction dans un cadre plus global ?

Par exemple, est-ce que je peux écrire {a, b, x ∈ N | a=1, x>0 et b≥0} ?
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[Merlin95]

"Soit une fonction f(x) définie sur N et pour tout x>0 par f(x) = ax+b"

C'est un raccourci, pour :
Soit E un ensemble de fonctions tel que f appartient à E, si et seulement si, il existe a et b tel que f(x)=ax+b.

Mais a c'est juste un lettre ca represente rien, c'est juste des pixels qui sont vaguement formés et sui sont de forme vague.

Pire :
Même cela :

"Soit une fonction f(x) définie sur N et pour tout x>0, par f(x) = 2x+7"

Est-il bien formé ?

Je parle du 2 pas du deux.
[QUOTE]

Par exemple, est-ce que je peux écrire {a, b, x ∈ N | a=1, x>0 et b≥0} ?

Oui tu peux d'ailleurs tu l'as fait.

Tu peux écrire aussi « f appartient à l'ensemble E définit par les fonctions de N de la forme ax+b (à savoir : 1x+1, 2x+1,...,2x+2,2x+3,2x+4,..., (nx+m),((n+1)x+m,...) qui inclus l'ensemble {x->2x+7}.

PS : si tu dis que l'ensemble d'arrivée est IN, cela ne veut pas dire que a et b soit dans IN (exemple : a=2 et b=-1). Mais tu peux aussi définir l'ensemble d'arrivée, pour déterminer, l'ensemble auquel appartient a et b (ce n'est pas l'ensemble de définition qui lui porte sur la variable x).

Tu peux même écrire {f(x, a, b) = ax + b | (x, a, b) appartient à INxIN*xZ\{0}.

[gg0]

Bonjour.

Je ne vois pas le rapport entre définir une nouvelle fonction par des lettres et l'ensemble de définition de la fonction initiale. l'ensemble de définition concerne ici les valeurs de x.
Donc tu fais ce que tu veux !! Suivant les circonstances, évidemment.

"Par exemple, est-ce que je peux écrire {a, b, x ∈ N | a=1, x>0 et b≥0} ? " Inutile de parler de a, s'il vaut 1 et b étant un entier naturel, inutile de dire qu'il est positif. Surtout, cette écriture n'a pas de sens, on ne sait pas qui sont les éléments de l'ensemble, tu ne le dis pas (*). Sinon, à partir du moment où tu définis correctement un ensemble (*), tu peux effectivement l'écrire !!

Pourquoi fais-tu tout ça ? "l'ensemble de définition d'une fonction [pour] à plusieurs variables" est parfaitement défini comme étant l'ensemble de définition de la fonction. Ce qui n'est pas très clair pour toi, c'est apparemment ce qu'est une fonction de plusieurs variables. Si tu ne sais pas vraiment, je peux expliquer.

Cordialement.

(*) Les deux notations basiques d'ensembles sont {liste des éléments} et {nom générique d'élément/ propriété sur ce nom}; ainsi que la notation de sous-ensemble {"nom" appartient à "ensemble"/ propriété sur "nom"}. {2,5,7}, {x/x est réel et x²<1},{(x,y,z)∈ NxNxN | x>0, y pair et z-5≥0} sont des notations correctes

[LeNainConnu]

Hm petit erratum, je voulais écrire à la base N0 et je n'ai pas précisé que c'était l'ensemble des entiers strictement positifs incluant 0, et à la base je voulais étudier la parité de la fonction.

Soit une fonction f(x) définie sur N0 et pour tout x>0, par f(x) = 2x+7. Et dans ce cas-là, la fonction est impair puisque 2x est toujours égal à un nombre pair quelque soit x et on ajoute 7 pour donner pair+impair=impair etc... C'est pour cela que j'ai mis par la suite la fonction sous la forme f(x) = ax+b pour pouvoir étudier dans quel cas la fonction est paire ou impaire.

Oui, par rapport à une fonction de plusieurs variables, j'ai fait un grossier amalgame car il me semble qu'une fonction à plusieurs variables est de la forme f(x,y) définie sur N et pour tout x>0 et y>0 par f(x,y) = ax+by.

Mettons que je veuille étudier la parité de la fonction f(x)=ax+b dans un cas général, donc la fonction f(x)=ax+b est définie par {a, b, x ∈ N0 | a>0, x>0 et b≥0} et on a plusieurs possibilités tel que :

- si a>1, b=0 alors pour tout x, la fonction f(x) est paire, si et seulement si, a est un entier naturel pair n. A l'inverse, la fonction f(x) est impair, si et seulement si a est un entier naturel impair.
- si a=1, b=0 alors pour tout x, la fonction f(x) est paire si x est un entier pair, ou la fonction f(x) est impair si x est un entier impair.
- si a>1, b>0 alors pour tout x, la fonction f(x) est paire si et seulement si a+b est égal à un entier naturel pair, ou la fonction f(x) est impaire, si et seulement si a+b est égal à un entier naturel impair.

Je pense que c'est mieux que je vous explique ce que je faisais concrètement pour que ça soit plus terre-à-terre, et dans ce cas-là je suis bien obligé de dire que a et b appartiennent bien à N0, non ?

Je vous remercie d'ailleurs pour vos réponses,

Cordialement LeNainConnu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

"des entiers strictement positifs incluant 0" Il faut savoir, soit on prend strictement positif ce qui exclut 0, soit on inclut 0, pas les deux en même temps.

Attention, pour les fonctions, la parité est une propriété différente de la parité des images par la fonction. Donc on parlera de la parité du nombre 2x+7 pour x entier (il est impair) et pas de celle de la fonction.

"il me semble qu'une fonction à plusieurs variables est de la forme f(x,y) définie sur N et pour tout x>0 et y>0 par f(x,y) = ax+by. " absolument pas ! Où es-tu allé chercher ça ? f(x,y)=xy est bien une fonction à deux variables.

"et dans ce cas-là je suis bien obligé de dire que a et b appartiennent bien à N0, non ?" Obligé, je ne vois pas pourquoi, c'est toi qui as décidé ça. Je ne sais pas pourquoi tu as décidé d'exclure a=0 ou b=0, mais c'est ton choix (rappel 0 est un entier pair).

Je reviens à ce qui précède :
"si a>1, b=0 alors pour tout x, [la fonction] le nombre f(x) est pair[e], si et seulement si, a est un entier naturel pair " faux !! Si a=3, alors f(2) est pair. La suite ne vaut pas mieux, sauf a=1, b=0, c'est à dire que tu t'intéresses à la parité de x et tu dis qu'il es pair s'il est par et impair s'il est impair. Ce qui est irréfutable, mais sans intérêt.

Finalement, à quoi joues-tu ? Tu fais un exercice ?

Cordialement.