Minorer sqrt(exp(1))

[Alphasaft]

Bonjour,

J'ai un petit problème concernant un petit exo en apparence tout bête sur la convexité.
Soit .

On a les résultats suivants (obtenus par les précédentes questions) :
*
*
* f est concave sur ]0;e[ et convexe sur ]e;+oo[, avec un point d'inflexion en e.

La question qui me pose problème est la suivante :

"Montrer que puis que "

Pour la première partie, on utilise la concavité de f sur [e;+oo] pour la tangente au point e qui donne soit , et après simplifications on obtient le résultat voulu.

Pour la deuxième je tente depuis 3h (je n'exagère malheureusement pas, mais bon il y a des jours comme ça où le cerveau est en pause...) de trouver la réponse, mais je vous avoue que je suis à cours d'options : mon prof de maths avait l'air de sous-entendre un usage de la concavité sur [0;e] avec le bon antécédant (autrement dit on utilise ), mais j'ai essayé avec plus ou moins tous les antécédants "logiques" (de sorte à obtenir un des deux membres de l'inéquation recherchée d'un coté et un résultat utile de l'autre), en transformant éventuellement l'équation (mise au carré, prise de la racine...) mais rien. Je suis tombé sur des trucs du style , mais il me manquait (et manque toujours) l'élément final pour conclure (Ici par exemple ).

Je terminerai donc avec un cri du coeur : à l'aide !
Merci d'avance !
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[Merlin95]

Il faut bien partir de :

Ensuite tu poses et tu déroules (avec une petite astuce à la fin) :

 Cliquez pour afficher

D'où

Pour l'interêt de la chose faut voir la suite, car c'est pas la meilleure inégalité qu'on peut avoir (bizarre...).

[Merlin95]

Edit : encore plus bizarre, l'inégalité de départ que j'ai utilisé, c'est pour x > e, or j'ai pris x=sqrt(e) < e et j'obtiens le bon resultat sauf erreur... Erreur dans l'énoncé ?

[gg0]

Bonjour.

Je ne vois pas trop comment arriver directement à ce 8/5=1,6, d'autant qu'un calcul simple donne une minoration plus intéressante (qui prouve le résultat demandé !
On prend et on remplace




Je ne trouve pas cette méthode de résolution de l'exercice très satisfaisante, mais l'exercice non plus n'est pas très interressant, ainsi posé.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Merlin95]

Oups grâce à gg0 j'ai vu que j'ai pris pas x = sqrt(x), mais x=x^(3/2)>e, donc ce que j'ai ecrit au 1er message est bon. Même remarque que gg0 sur l'intérêt de l'exercice.

[gg0]

Trop tard !

Merlin,

tu as pris x=exp(1/2) mais tu as calculé avec x=exp(3/2) !!

Cordialement.

[Merlin95]

Yep croisement. Simple faute de frappe.

[Alphasaft]

Merci pour vos réponses !

C'est plus clair du coup... Mais j'avoue que je ne saisis pas très bien pourquoi je n'y ai pas pensé, étant donné que j'ai vu passer plusieurs fois dans mes calculs des et que ça n'avait au final rien de sorcier (enfin, ça c'est ce qu'on se dit toujours après avoir vu la solution !)

Encore merci !

[gg0]

Si on cherche le 8/5, on veut un dénominateur multiple de 5, pas un dénominateur 8.
Si tu as, par ton prof, un corrigé où 8/5 apparaît naturellement, explique-nous la méthode.

Cordialement.