Projeté orthogonal d'un point sur une droite

[Telog]

Bonjour,

J'ai vu dans mon cours que en géométrie dans l'espace le projeté orthogonal d'un point M(x,y,z) sur une droite d=(A,u) (avec A(xA; yA; zA) et le vecteur u(a;b;c)) correspond au point d'intersection M' entre le plan (P) passant par A et orthogonal à (d).
Cependant je vois mal pourquoi prendre un plan (P) plutôt qu'une autre droite mis à part pour être certains qu'ils sont séquent.

Ensuite j'ai essayé de traduire ca en calcul pour trouver les coordonnées de M' mais j'arrive pas à aboutir à quelque chose.

(d) est orthogonale à (P) donc u est normal à (P). Donc (P) à pour équation cartésienne: ax+by+cz+d = 0. Comme (P) passe par A on doit avoir aXA+byA+czA+d = 0 d'où d= - aXA-byA-czA.
L'équation cartésienne de P est donc ax+by+cz-axA-byA-czA

Par ailleurs (d) à pour équation paramétrique
x=at+xA
y=bt+yA
z=ct+zA

Donc les coordonné de M' vérifient simultanément l'équation cartésienne de (P) est l'équation paramétrique de (d) soit:

x'= at+xA
y'=bt+yA
z'=ct+zA
ax'+by'+cz'-axA-byA-czA=0

Soit a*(at+xA)+b*(bt+yA)+c*(ct+zA)-axA-byA-czA = 0 <=> (a^2)*t+(b^2)*t+(c^2)*t = 0 <=> t*(a^2+b^2+c^2) = 0 et là j'arrive pas aller plus loin

Voilà donc est ce que vous pouvez m'aidez svp
merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Le choix d'un plan pour projeter est purement opérationnel : C'est ce qui rendra la recherche du projeté la plus simple. mais c'est aussi une situation qui se généralise quand on travaille dans des espaces euclidiens de dimension quelconque (notion d'orthogonal). Tu verras cela si tu poursuis des études mathématiques universitaires.

Pour ton calcul, en allant jusqu'au bout, et tenant compte du fait que u est non nul, tu trouves t=0 et donc x=xA, y=yA, z=zA. C'est normal, le point dont "les coordonnées [] vérifient simultanément l'équation cartésienne de (P) et l'équation paramétrique de (d)" est A.

En fait, si tu relis bien ta définition du projeté orthogonal, tu verras que, défini ainsi, le projeté ne dépend pas de M !! Et que c'est toujours A.
Revois ta définition.

Cordialement.

[Telog]

Ok merci!
Donc si j'ai bien compris quand on cherche le projeté orthogonal de M sur d passant par A, cela revient à chercher le projeté orthogonal de A sur le plan P passant par M. Il faut juste voir le problème dans l'autre sens.

[gg0]

Oui, le projeté de M sur d est l'intersection de d avec le plan perpendiculaire à d passant par M. C'est aussi le seul point H de d tel que Mh est perpendiculaire à d. A toi de démontrer que ce que tu dis est vrai.
En tout cas, le projeté se définit seulement par la droite sur laquelle on projette et le point à projeter.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]