Comment calculer le résultat a^n :n n'est pas un entier

[Abacus71]

Bonjour,

Je ne me souviens plus comment obtenir sans calculette le résultat d'un nombre élevé à une puissance non entière.

Exemple 5^1,8 qui donne environ 18,12 , mais comment le calculer ?

Merci d'avance pour votre aide.
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[albanxiii]

Bonjour,

La fonction ^ des calculatrice prend des nombre réels (*) comme arguments, donc cela ne pose pas de problème.

La calculatrice Windows donne 18,119491591942388286765350022 039 comme résultat.
Une HP 50g donne 18,1194915919.

(*) en toute rigueur des nombres flottants tels que définis par les standards en usage en informatique (IEEE je ne sais plus qu'un numéro)

[gg0]

La règle pour des puissances de nombres positifs est

où exp est la fonction exponentielle et ln la fonction logarithme népérien. Ces deux fonctions sont implémentées dans toutes les calculettes qui ne se contentent pas des 4 opérations.
Certaines calculettes acceptent des puissances entières de nombres négatifs ou de 0, mais pour des puissances quelconques il n'y a pas de règle utile (-2)^1,27 n'a pas de signification conventionnelle.

Cordialement.

[MissJenny]

le monsieur a écrit "sans calculette".

Je pense que le moins difficile est de faire un développement limité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Abacus71]

Re Bonjour,

Merci pour vos différentes informations, je retiens celle de MissJenny.
Pour le moment je peux encore utiliser une calculette , mais ce n'était pas le but.
Bonne journée à vous qui avez consacré un peu de votre temps pour me répondre.

[gg0]

Abacus,

même dans notre jeune temps d'avant les calculatrices, on ne calculait pas de façon très différente les puissances non entières. On utilisait les tables de logarithme (Bouvard et Ratinet pour ma part), sauf que ln et exp étaient remplacés par log (base 10) et 10 puissance x; ainsi :
5 a pour log (décimal) 0,69897
5^1,8 a pour log 0.69897*1,8 =1,258146 (log x)
0,258146 est le log de 1,813 environ (*)
donc 1,258146 est le log de 18,12 (10^(log x)
5^1,8 = 18,12 (à 0,005 près).

Pour un calcul direct, une méthode (**) est d'utiliser un x tel que

puis d'utiliser un développement limité au voisinage de 0 comportant suffisamment de termes pour avoir la précision nécessaire. Les calculettes ne font pas ainsi (voir sur Internet "algorithme Cordic"), mais leur but est un calcul rapide, avec une précision limitée.
Je ne connais pas de méthode rapide "à la main". Même celle que je signale ci-dessus n'a qu'une faible précision (avec pas trop de calculs).

Cordialement.

(*) on peut trouver un chiffre de plus, avec des calculs d'interpolation.
(**) il y en a plein d'autres, certaines sont exposées sur Internet (méthodes de Briggs, par exemple), mais demandent pas mal de calcul. Un DL de ln(1+x) n'a aucun intérêt.

[Abacus71]

gg0,

Merci pour cette démonstration, c'est effectivement la plus rapide.
Bouvard et Ratinet me rappelle ma jeunesse!
Cordialement

[albanxiii]

le monsieur a écrit "sans calculette".

Merci, j'étais mal réveillé, désolé pour mon post inutile.

[jiherve]

bonjour
reste la règle à calcul complément indispensable de la B&R!
Il en existait de très longues (> 1m) pour obtenir de la précision
Comment ont ils pu envoyer des hommes sur la lune sans calculette ?
voir à Curta.
JR

[pm42]

Comment ont ils pu envoyer des hommes sur la lune sans calculette ?

C'est simple : ils en avaient déjà. Ou plus exactement des IBM 360 qui étaient codé en Fortran et autres langages.
Le LEM avait aussi son ordinateur embarqué, à la pointe de la technologie de l'époque : https://fr.wikipedia.org/wiki/Apollo_Guidance_Computer

[gg0]

Effectivement, en 1969 les ordinateurs étaient énormes et lents, mais permettaient de faire les calculs à l'avance et de rectifier en temps réel. D'ailleurs, on enseignait les bases de la programmation à l'université en Deug. Enfin, un langage et débrouille-toi ...
Par contre, les énormes calculs nécessaires à la fabrication des bombes atomiques à Los Alamos en 43-44 ont été faits par des "unités centrales humaines", avec des chaînes de calculateurs constitués chacun d'un homme (ou femme) muni d'une calculatrice mécanique et spécialisés (des additionneurs, des multiplicateurs, des comparateurs, ...).

Cordialement.

[jiherve]

re
oui il y avait des gros ordinateurs (j'ai utilisé bien modestement un 360 en 70 avec terminal IBM à boule)mais pas de calculette (objet annexe du fil), la petite machine à calculer personnelle de l’époque c’était la Curta.

avec des chaînes de calculateurs constitués chacun d'un homme (ou femme)

rectification : avec des chaînes de calculateurs constitués chacun d'une femme (ou homme)
* j'en rêve mais trop chère pour ma bourse.
JR