Question sur la limite d'une suite convergente

[andretou]

Bonjour à tous
Considérons la suite géométrique S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
Autrement dit :


Ma question : sachant que



peut-on affirmer en toute rigueur l'égalité suivante ?



Merci pour vos réponses
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[gg0]

Bonjour à tous
Considérons la suite géométrique S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
Autrement dit :


Ma question : sachant que



peut-on affirmer en toute rigueur l'égalité suivante ?



Merci pour vos réponses

Bonjour.

Ta question n'a pas de sens, écrite ainsi. , donc ne dépend pas de n. Pas de n non plus dans "S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...". Ce qui fait que ne parle pas de S, c'est simplement .

Par contre, et tout débutant sur les séries le sait, si on pose
(somme partielle)
alors , ce qui est la définition de .

Mais on trouve ça dans tous les cours sur les séries, donc facilement sur Internet. On peut se demander pourquoi tu viens poser cette question mal foutue ! Et pourquoi dans le forum collège/lycée, ou on ne voit pas les séries ?

[andretou]

Par contre, et tout débutant sur les séries le sait, si on pose
(somme partielle)
alors , ce qui est la définition de .

Mais on trouve ça dans tous les cours sur les séries, donc facilement sur Internet. On peut se demander pourquoi tu viens poser cette question mal foutue ! Et pourquoi dans le forum collège/lycée, ou on ne voit pas les séries ?

Au temps pour moi !
Cependant, un débutant te dira que
n'est pas égal à

[gg0]

Effectivement, il manque les 2^ aux dénominateurs. Faute de frappe. Au temps pour moi !

[A voir en vidéo sur Futura]

[andretou]

, ce qui est la définition de .

Autrement dit, quand on écrit :



Est-ce une égalité de nature axiomatique ?
Ou est-ce une égalité démontrable ?

[gg0]

C'est bien évidemment démontrable, ou plus exactement démontré, puisque c'est la définition du second membre qui est écrit au premier.
Encore une fois, renseigne-toi sur les notations avant de les écrire ...
Et évite de manipuler inutilement le mot "axiomatique" hors de propos. Il a un sens précis.

[Merlin95]

Autrement dit, quand on écrit :



Est-ce une égalité de nature axiomatique ?
Ou est-ce une égalité démontrable ?

C'est une définition pour utiliser la "somme infinie" .

[jacknicklaus]

précisons que l'écriture sous entend que la limite existe.

Si la série n'a pas de limite, manipuler des expressions peut conduire à écrire beaucoup de bêtises, comme on en voit sur certaines vidéo youtube de soi-disant vulgarisation.

[andretou]

On sait que :


Or, pour tout n entier naturel :



Donc



Par suite, pour 0 < q < 1 :



Pouvez-vous svp m'indiquer où est l'erreur, et comment on démontre que :

[jacknicklaus]

C’est toute la notion de limite qu'il tr faut revoir. je vais prendre un cas bien connu, le "paradoxe" de Zénon. DOnc on tire une flèche vers une cible.

la flèche met un certain temps à parcourir la 1/2 de la distance à sa cible, puis aussi un certain temps pour la moitié restante, etc... Chacune de ces étapes vers la cible est numérotée de 1 à n
On construit une série dont chaque terme est la distance totale parcourue à chaque étape

Chaque terme est strictement inférieur à la distance totale à parcourir, n'est ce pas ?

et pourtant la flèche se plante dans la cible, ce qui signifie que la limite quand n->infini de la somme de la série est strictement égale à la distance à parcourir.

[andretou]

Oui, on est bien obligé d'admettre que



Car sinon on peut démontrer avec Zénon que la flèche ne peut pas atteindre sa cible et qu'Achille ne peut pas rattraper sa tortue...

Mais comment démontrer formellement (c'est-à-dire sans passer par les paradoxes de Zénon) qu'à l'infini, si 0 < q < 1, alors



et non pas

[Merlin95]

Tu vois pas pourquoi 0 joue une rôle en regardant cette courbe : https://www.wolframalpha.com/input?i=0.5%5Ex
?

[gg0]

Andretou, tu es venu suffisamment de fois sur ce forum pour avoir eu le temps de décider d'apprendre les bases des maths. Tu ne l'as pas fait, mais tu continues à poser des questions de pré-adolescent. Apprends un peu les maths de fin de lycée et début d'université (*) et arrête de venir poser idiotement des questions dont tu pourrais avoir la réponse tout seul.
Et ça t'évitera d'écrire des âneries comme

Par suite, pour 0 < q < 1 :

où tu utilises encore des notions que tu ne comprends pas.

Quant à la question "Mais comment démontrer formellement ...", je vais te répondre, mais d'abord le "sans passer par les paradoxes de Zénon" est encore une ânerie, ces paradoxes ne démontrent rien, ce n'est même pas des maths.
* démonstration 1 : La série de terme général qⁿ converge (somme partielle croissante majorée), donc qⁿ tend vers 0
* démonstration 2 :
* ...



(*) avec tout ce qu'il y a sur Internet, ne pas le faire quand on en a besoin, c'est de la fainéantise crasse.

[jacknicklaus]

et non pas

non, justement grosse erreur. il faut écrire

et non pas qui est faux manifestement

Je le répète, il te faut revoir ce que signifie une limite, mathématiquement. Avec des mots, et en simplifiant, on peut dire qu'un valeur f(n) tends vers zéro si n tends vers l'infini, quand, quelque soit la petitesse de l'écart avec zéro que l'on considère, on peut toujours trouver un entier N, au delà duquel toutes les valeurs suivantes de f(n) sont plus proches de zéro que le petit écart que l'on a choisi.

C'est si cette condition est remplie que l'on a le droit d'écrire


ce qui n'empêche nullement que pour toute valeur de n

[albanxiii]

Je le répète, il te faut revoir ce que signifie une limite, mathématiquement.

Voir, pas revoir, car

(*) avec tout ce qu'il y a sur Internet, ne pas le faire quand on en a besoin, c'est de la fainéantise crasse.

c'est la caractéristique de cet individu : ne jamais faire d'effort qu'il ne peut faire supporter aux autres.

Il suffit de lui demander de mettre la main à la pâte pour qu'il change le sujet du fil brusquement. Déjà expérimenté plusieurs fois.

[andretou]

non, justement grosse erreur. il faut écrire

et non pas qui est faux manifestement

Je le répète, il te faut revoir ce que signifie une limite, mathématiquement. Avec des mots, et en simplifiant, on peut dire qu'un valeur f(n) tends vers zéro si n tends vers l'infini, quand, quelque soit la petitesse de l'écart avec zéro que l'on considère, on peut toujours trouver un entier N, au delà duquel toutes les valeurs suivantes de f(n) sont plus proches de zéro que le petit écart que l'on a choisi.

C'est si cette condition est remplie que l'on a le droit d'écrire


ce qui n'empêche nullement que pour toute valeur de n

Je suis d'accord.

Mais si l'on part de :


alors par quelle procédure tu obtiens, pour 0 < q < 1 :


Pour ma part, j'élimine purement et simplement q^(n+1) en considérant que lim q^(n+1) = 0.
Autrement dit, j'attribue à q^(n+1) la valeur 0 qui est sa limite, tout en sachant que q^(n+1) n'est jamais égal à 0, ce qui ne me paraît pas très cohérent.
Aurais-tu éventuellement une procédure plus rigoureuse ?

[albanxiii]

Aurais-tu éventuellement une procédure plus rigoureuse ?

Elle est dans les réponses qui ont été données, mais que vous n'avez pas lues.

[albanxiii]

Fin de la blague.