Bonjour, j'ai du mal à saisir une partie de cette démonstration.
Quatre points distincts A. B, C et D sont cocycliques ou alignés si, et seulement si, (CA,CB) ≡ (DA,DB) [π].
On s'appuie sur la proposition suivante : Si A, B et M sont trois points d'un cercle O tel que A =/= M et B =/= M alors (OA,OB) ≡ 2 *(MA,MB) [2π], qui se démontre par la relation de Chasles.
L'implication se démontre assez facilement, mais j'ai plus de mal avec l'implication réciproque, que voici :
Réciproquement, supposons :
(CA,CB) ≡ (DA,DB) [π]
- Si A, B et C sont alignés, alors (DA,DB) = (CA,CB) ≡ 0 [π], ce qui prouve que A, B et D sont alignés.
Jusque-là, pas de problème
- Sinon, soit C un cercle passant par A, B et C et C' le cercle passant par A, B et D.
Une droite non tangente à C et C' non parallèle à (AB), et passant par A recoupe C et C' respectivement en E et en F.
Par cocyclité de (ABEC) et (ABFD), on a :
(EA,EB) ≡ (CA,CB) ≡ (DA, DB) ≡ (FA,FB) [π]
Comme (EA) = (FA), on en déduit (EB) // (FB) c'est-à-dire (EB) = (FB). Les points E et F sont ainsi sur les droites non parallèles (AE) et (BE), ce qui prouve que E = F. Les cercles C et C' ont trois points distincts communs, ce qui prouve qu'ils sont égaux.
Donc D € C et les points A, B, C et D sont cocycliques.
Je ne comprends pas d'où vient l'assertion "Comme (EA) = (FA), on en déduit (EB) // (FB)". J'imagine que ça tient de l'équivalence "(EA,EB) ≡ (FA,FB) [π]", mais lorsque je tente de reconstruire la figure, je suis capable de construire un triangle EBF, ce qui contredit la déduction "(EB) // (FB)"
Voici ma construction, en quoi est-elle erronée ?
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