Paradoxe des anniversaires et loi binomiale.

[Elenos2]

Bonjour !

Je suis actuellement en terminale, et je prépare mon grand oral sur le thème du paradoxe des anniversaires. Je souhaite utiliser une loi binomiale afin de déterminer le nombre minimum de personne qu'il faut réunir (au hasard bien sûr) afin d'avoir plus d'une chance sur deux que deux d'entre elles soient nées le même jour.
Pour cela, j'ai utilisé l'arrangement A(365,n) pour avoir la probabilité P(An), la probabilité que n personnes ait une date d'anniversaire différente. j'ai ensuite définit X, variable aléatoire qui compte le nombre de personne ayant la même date d'anniversaire, suivant la loi binomiale de paramètres n inconnu (ce que je cherche) et p=1-P(An). Je cherche donc P(X>=2), soit 1-P(X=0). J'utilise la formule, et j'ai P(X=0)=[1-A(365,n)]^n. Et là, j'admet que je suis bloqué, car mon P dépends de n, je n'arrive donc pas à isoler mon n afin de le déterminer. Y a t'il une méthode pour cela où bien suis-je partit dans une mauvaise direction ? Merci d'avance pour votre aide !
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[Nini42]

Bonjour,

Je dois dire que je ne comprends pas pourquoi tu prends une loi binomiale. Si on cherchait le nombre de personnes nées un 1er janvier (par exemple hein) dans un groupe de n personnes, ça semblerait logique : succès = naissance un premier janvier, échec = naissance un autre jour, proba d'un succès = 1/365... Ici quel est ton succès exactement ?

Je me permets de te suggérer une façon de prendre le problème : on veut ranger n personnes dans 365 cases. Combien d'arrangements possibles existe-t-il ? Et parmi eux, combien envoient chaque personne sur une case différente ? Ces deux nombres sont exprimables assez facilement en fonction de n. Partant de là, tu pourras obtenir une expression de ta probabilité en fonction de n.

Ah, et, prends-tu en compte les années bissextiles ?

[Elenos2]

Merci pour ta réponse !
Ici, j'avais définit le succès comme "deux personne sont nées le même jour".
Si j'ai bien compris ce que tu me propose, c'est ce que j'essaie de faire actuellement:
Je me suis rendu compte après coup que la loi binomiale complexifiait le calcul pour rien en effet, j'essai donc de passer par P(n)=1-A(365,n) <=> 0.5=1-A(365,n) mais je retrouve au même point, je n'arrive pas à isoler le n quand il est dans un arrangement...
Je précise en introduction dans mon sujet que les années bisextiles ne sont pas prises en compte (car elles complexifient les calculs sans changer beaucoup les résultats), et que je considère les naissances comme uniforme sur l'année.

encore merci pour ton aide !

[Nini42]

Je ne comprends pas trop ce que tu entends par "l'arrangement A(365,n)" donc je n'arrive pas trop à voir où tu veux en venir...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nini42]

Le problème du succès que tu as défini, c'est qu'il dépend de n (sans que tu l'aies explicitement dit) : sa probabilité ne sera pas la même si n=2 ou si n=100.
Un succès pour une loi binomiale, c'est par exemple "la pièce tombe sur pile". Ta probabilité sera toujours p, quel que soit le nombre de fois où tu la lances.
Ensuite la loi binômiale te donnera la probabilité qu'en lançant n fois la pièce, elle tombe k fois sur pile.

[Elenos2]

J'entends par là l'arrangement de n parmis 365 (je sais pas comment on fait pour mettre les caractères mathématiques ici, je te met une image en PJ)
Je sais que je peux l'écrire sous la forme (365!)/(365-n)! . Peut être que mon sujet entier t'aiderais à comprendre mon problème ?
Désolé pour la clarté, et merci du temps que tu prends !

[Nini42]

Donc ce que cet arrangement te donne, c'est le nombre de façons possibles dont tu peux répartir ces n personnes (en les numérotant), c'est ça ? J'ai du mal à comprendre ce que représente ton P(n)=1-A(365,n) dans ce cas.
Je veux bien ton sujet entier, oui !
Pas de problème, c'est souvent difficile de se faire comprendre, on a chacun nos conventions (:

[gg0]

Bonjour Elenos2.

On est depuis 40 ans dans l'époque des tableurs, il te suffit de faire calculer les 1-A(365,n), non c'est faux (*), les probabilités qu'il y ait au moins 2 personnes ayant le même jour d'anniversaire, pour des valeurs de n de 1 à quelques dizaines pour avoir ton résultat (pas une probabilité exactement égale à 0,5, mais la plus petite valeur de n pour laquelle la probabilité dépasse 0,5.
Pour l'instant, d'ailleurs, tu n'as pas écrit la formule (simple) de cette probabilité.

Cordialement.

(*) A partir de n=1 c'est un nombre strictement négatif (-364 pour n=1, -66429 pour n=2, etc).

[Elenos2]

Je travaille sur google doc, je te met le lien juste ici:
https://docs.google.com/document/d/1...it?usp=sharing
Mon P(n)=1-A(365,n) est sencé être la probabilité que deux personnes soit nées le même jour (proba inverse de "tout le monde est né un jour différent", qui vaut A(365,n) ) mais apparemment je me suis trompé quelque part

[Elenos2]

Ah bon ? J'ai peut être fait une erreur de notation... J'ai noté Pbarre la probabilité que tout le monde ait un anniversaire différent, soit l'arrangement de n parmis 365 (il me semble que c'est ça...), et donc la probabilité que deux personne ait le même anniversaire était la proba inverse de Pbarre soit P(n)=1-A(365,n).
Pourrait tu m'indiquer ou se situe l'erreur ?

Par rapport à ta proposition d'utiliser un tableur, c'est un sujet d'oral en math, tout l'intérêt du problème est donc de le résoudre manuellement. J'ai commencé un programme python mais ce n'est pas trop ce que je souhaite

[Nini42]

L'erreur vient juste du fait que, dans tes explications, tu as oublié de diviser ton arrangement par 365^n (: sur le drive, tout est bon.
Par contre, je confirme : la loi binomiale ne fait que compliquer les choses. Une fois que tu as ta probabilité P(n), il ne te reste plus qu'à voir pour quel n elle dépasse 1/2... Et là, je pense effectivement que le plus simple est de le faire avec un tableur, ou pourquoi pas un programme en Python.
Si tu veux que la démonstration soit totalement mathématique, tu peux montrer que P(n) est croissante. Il te suffira alors de trouver un N tel que P(N)>=1/2 et P(N-1)<1/2. Alors tu sauras que P(n)>=1/2 si et seulement si n>=N. Pas besoin de résoudre analytiquement !

[gg0]

"tout l'intérêt du problème est donc de le résoudre manuellement."

Tu tiens vraiment à calculer à la main 364*363*362*361*360/365^5 ??
L'idée de la méthode plus le résultat (très connu) t'occupera déjà un bon moment.

[Elenos2]

Ah oui oups j'ai juste oublié le plus important
Oui c'est bien ce que je pensais, analytiquement ça me semble vraiment trop compliqué.
Merci beaucoup pour ton aide, je pense que je vais partir sur un programme python !

[jacknicklaus]

Bonsoir Elenos

c'est une bonne idée de faire le calcul en Python, il traite très bien les très grands entiers.

Tu devras trouver ceci :
en face de chaque n (= nombre de personnes), la probabilité qu'au moins 2 personnes aient le même jour anniversaire.
à partir de n=23 c'est plus de 50%
à partir de 41 c'est 1 - 10^(-1) = 90%
à partir de 57 c'est 1 - 10^(-2) = 99%
etc...

n= 23, p >= 0.507297
n= 41, p >= 1 - 10^-1
n= 57, p >= 1 - 10^-2
n= 70, p >= 1 - 10^-3
n= 80, p >= 1 - 10^-4
n= 89, p >= 1 - 10^-5
n= 97, p >= 1 - 10^-6
n=104, p >= 1 - 10^-7
n=111, p >= 1 - 10^-8
n=117, p >= 1 - 10^-9
n=123, p >= 1 - 10^-10
n=128, p >= 1 - 10^-11
n=133, p >= 1 - 10^-12
n=138, p >= 1 - 10^-13
n=143, p >= 1 - 10^-14
n=148, p >= 1 - 10^-15
n=152, p >= 1 - 10^-16
n=156, p >= 1 - 10^-17
n=160, p >= 1 - 10^-18
n=164, p >= 1 - 10^-19
n=168, p >= 1 - 10^-20
n=172, p >= 1 - 10^-21
n=176, p >= 1 - 10^-22
n=179, p >= 1 - 10^-23
n=182, p >= 1 - 10^-24
n=186, p >= 1 - 10^-25
n=189, p >= 1 - 10^-26
n=192, p >= 1 - 10^-27
n=195, p >= 1 - 10^-28
n=198, p >= 1 - 10^-29
n=201, p >= 1 - 10^-30

[MissJenny]

Ici, j'avais définit le succès comme "deux personne sont nées le même jour".

"être nés le même jour" est une propriété, vraie ou fausse, de chaque paire de personnes, et non de chaque personne. Donc implicitement tu travailles sur les n(n-1)/2 paires de personnes. Mais la loi binomiale est la loi du nombre de succès parmi N expériences aléatoires indépendantes. Or les paires de personnes ne sont pas indépendantes les unes des autres. Bref, la loi binomiale n'est pas appropriée ici.

[Elenos2]

Bonsoir, je me permet de remettre un message ici, adressé aux nombreux élèves qui souhaitent copier mon oral.
NON, je ne vous donnerais pas accès à mon document. C'est mon travail, et je ne souhaite pas que vous vous l'accapariez pour votre grand oral.
De plus, il y a sur cette discussion largement assez d'information pour vous permettre d'avancer.

[Médiat]

C'est le concours du message le plus inutile ?

[Elenos2]

Navré si cela vous parrait inutile, mais j'en ai assez de recevoir plusieurs notifications par heure de demande d'accès ^^ j'espère que cela suffira pour faire cesser cela

[f6exb]

Bloque ta boite jusqu'à ton oral :
Tableau de bord
Paramètres
À gauche : options générales
Messagerie privée : désactiver

[Elenos2]

Merci du conseil !

[f6exb]

Je me suis peut-être gouré. C'est par gogole que tu reçois les demandes je suppose, et j'ai cru que c'était des MP via la messagerie de Futura.