Quelle est la somme des carrés des nombres entiers de 1 à n ?

[Navigateur solitaire]

La somme S des nombres entiers de 1 à n, (1,3,6,10...S) est donnée par 2S=(n²+n).
Soit K la somme des sommes S de 1 à n, (1, 4, 10, 20.....K ), comment démontrer que 3K=S(n+2) ????????????
On pourra alors en déduire que la somme Sn² des carrés (1+4+9+16....+n²) est 3Sn²=S(2n+1).
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[erik]

Salut

Si tu veux obtenir de l aide commence par lire ceci :
https://forums.futura-sciences.com/m...ces-forum.html

Et les formules conventionnelles de courtoisie ne sont pas optionnelles (tu sais les truc genre bonjour, merci, s'il vous plait ...)

[Navigateur solitaire]

Merci, Erik, mais je n'ai pas besoin d'aide, puisque je connais la formule (qui m'a été très utile). J'aurais juste voulu savoir comment elle est démontrée.
cordialement

[albanxiii]

Bonjour,

Vous avez essayé par récurrence ? C'est ce qui vient à l'esprit en premier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour NS.

En général, la formule n'est pas démontrée ainsi. Si quelqu'un fait ça, c'est à lui qu'il faut demander. Possiblement une démonstration géométrique dans l'espace.
On peut
* imaginer à partir des premières valeurs (1,5,14,...) imaginer une formule et la démontrer par récurrence
* trouver un polynôme d'interpolation à partir de ces valeurs, puis démontrer qu'il convient (récurrence encore)
* chercher une formule générale pour la somme des puissances n-ièmes des premiers entiers, puis particulariser à n=3
* etc.

Cordialement.

[ThM55]

Bonjour. Une méthode très efficace pour calculer des sommes difficiles est le calcul différentiel fini et les puissances factorielles.
On trouve des tutos sur le Web, par exemple ceci: https://www.cs.purdue.edu/homes/dgle...20calculus.pdf

Pour la somme des carrés voir section 5.1, cela se démontre en une ligne par une simple application des théorèmes.

[albanxiii]

On trouve des tutos sur le Web, par exemple ceci: https://www.cs.purdue.edu/homes/dgle...20calculus.pdf

Très intéressant, merci.
Ça pourrait faire un sujet pour une épreuve de 4h, niveau terminale d'il y a 20 ans.

[Navigateur solitaire]

Comment calculer Sn², somme des carrés des entiers de 1 à n*?
J’ai trouvé une solution, mais je ne suis pas mathématicien, je voudrais savoir si elle est valable ?

Nous avons deux relations concernant la suite infinie des nombres entiers finis n*:
(1) S=(S1+ n) S(somme des entiers de 1à n) = son précurseur S1(somme de 1 à n-1) + n.
(2) 2S =(n²+n)
En soustrayant (1) de (2), on obtient*: (3)*: (S+S1) = n².
J'appelle K le cumul des S de 1 à n, K1 le cumul des S1 et Sn² la somme des carrés de 1 à n.
la relation (1) devient*: (K-K1)=S
la relation (2) devient*: 2K=(Sn²+S) ou (2K-S)=Sn²
la relation (3) devient*: (K+K1)=Sn², ou (2K1+S)=Sn²
la relation (2) devient : 2nS=(n3+n²)

Maintenant, je fais le tableau (nS+S), avec n=4*:

1 2 3 4/ où l'on voit que (nS+S)=(K+Sn²)
1 2 3 / 4 On multiplie par 2, soit : (2nS+2S)= (2K+2Sn²)
1 2 / 3 4 On retranche S de chaque côté*: (2nS+S)=(2K-S)+2Sn², soit (2nS+S)=3Sn², ou (4nS+2S)=6Sn²
1 /2 3 4 soit (2n3+2n²) + (n²+n)= 6Sn², soit 6Sn²= 2n3+3n²+n
/1 2 3 4
On peut faire le tableau avec seulement nS, ce qui donne nS=(K1+Sn²). Ensuite, avec (K-K1)=S on arrive au même résultat.
On trouvera aussi que (nS-S)=3K1 et (nS+2S)=3K
Maintenant, on peut s'amuser à démontrer que la somme des cubes Sn3= (S)² , moi, je sais pas...
n S K n² Sn² nS n3 S² Sn3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 4 5 6 8 9 9
3 6 10 9 14 18 27 36 36
4 10 20 16 30 40 64 100 100
5 15 35 25 55 75 125 225 225