La somme S des nombres entiers de 1 à n, (1,3,6,10...S) est donnée par 2S=(n²+n).
Soit K la somme des sommes S de 1 à n, (1, 4, 10, 20.....K ), comment démontrer que 3K=S(n+2) ????????????
On pourra alors en déduire que la somme Sn² des carrés (1+4+9+16....+n²) est 3Sn²=S(2n+1).
Salut
Si tu veux obtenir de l aide commence par lire ceci :
https://forums.futura-sciences.com/m...ces-forum.html
Et les formules conventionnelles de courtoisie ne sont pas optionnelles (tu sais les truc genre bonjour, merci, s'il vous plait ...)
Dernière modification par erik ; 04/03/2023 à 14h44.
Des milliards de personnes disent que j'exagère. Même pas vrai !
Merci, Erik, mais je n'ai pas besoin d'aide, puisque je connais la formule (qui m'a été très utile). J'aurais juste voulu savoir comment elle est démontrée.
cordialement
Bonjour,
Vous avez essayé par récurrence ? C'est ce qui vient à l'esprit en premier.
"Dans la vie, rien n'est à craindre, tout est à comprendre." Marie Curie
Bonjour NS.
En général, la formule n'est pas démontrée ainsi. Si quelqu'un fait ça, c'est à lui qu'il faut demander. Possiblement une démonstration géométrique dans l'espace.
On peut
* imaginer à partir des premières valeurs (1,5,14,...) imaginer une formule et la démontrer par récurrence
* trouver un polynôme d'interpolation à partir de ces valeurs, puis démontrer qu'il convient (récurrence encore)
* chercher une formule générale pour la somme des puissances n-ièmes des premiers entiers, puis particulariser à n=3
* etc.
Cordialement.
Bonjour. Une méthode très efficace pour calculer des sommes difficiles est le calcul différentiel fini et les puissances factorielles.
On trouve des tutos sur le Web, par exemple ceci: https://www.cs.purdue.edu/homes/dgle...20calculus.pdf
Pour la somme des carrés voir section 5.1, cela se démontre en une ligne par une simple application des théorèmes.
Très intéressant, merci.Envoyé par ThM55
Ça pourrait faire un sujet pour une épreuve de 4h, niveau terminale d'il y a 20 ans.
"Dans la vie, rien n'est à craindre, tout est à comprendre." Marie Curie
Comment calculer Sn², somme des carrés des entiers de 1 à n*?
J’ai trouvé une solution, mais je ne suis pas mathématicien, je voudrais savoir si elle est valable ?
Nous avons deux relations concernant la suite infinie des nombres entiers finis n*:
(1) S=(S1+ n) S(somme des entiers de 1à n) = son précurseur S1(somme de 1 à n-1) + n.
(2) 2S =(n²+n)
En soustrayant (1) de (2), on obtient*: (3)*: (S+S1) = n².
J'appelle K le cumul des S de 1 à n, K1 le cumul des S1 et Sn² la somme des carrés de 1 à n.
la relation (1) devient*: (K-K1)=S
la relation (2) devient*: 2K=(Sn²+S) ou (2K-S)=Sn²
la relation (3) devient*: (K+K1)=Sn², ou (2K1+S)=Sn²
la relation (2) devient : 2nS=(n3+n²)
Maintenant, je fais le tableau (nS+S), avec n=4*:
1 2 3 4/ où l'on voit que (nS+S)=(K+Sn²)
1 2 3 / 4 On multiplie par 2, soit : (2nS+2S)= (2K+2Sn²)
1 2 / 3 4 On retranche S de chaque côté*: (2nS+S)=(2K-S)+2Sn², soit (2nS+S)=3Sn², ou (4nS+2S)=6Sn²
1 /2 3 4 soit (2n3+2n²) + (n²+n)= 6Sn², soit 6Sn²= 2n3+3n²+n
/1 2 3 4
On peut faire le tableau avec seulement nS, ce qui donne nS=(K1+Sn²). Ensuite, avec (K-K1)=S on arrive au même résultat.
On trouvera aussi que (nS-S)=3K1 et (nS+2S)=3K
Maintenant, on peut s'amuser à démontrer que la somme des cubes Sn3= (S)² , moi, je sais pas...
n S K n² Sn² nS n3 S² Sn3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 4 5 6 8 9 9
3 6 10 9 14 18 27 36 36
4 10 20 16 30 40 64 100 100
5 15 35 25 55 75 125 225 225
