Dérivabilité

[Tulipe18]

Bonjour,

Voici la fonction f(x)= x*racine carrée (x) définie sur [0; +00[
On me demande de calculer f'(x); j'ai trouvé: f'(x)= 3x/(2*racine carrée(x))
Puis on me demande est-ce que f est dérivable en 0?
En utilisant le taux d'accroissement je trouve lim [f(0+h)-f(0)]/h = lim (racine carrée(h)) = 0 (quand h tend vers 0)
Donc f est dérivable en 0 et f'(0) = 0.
Seulement, la fonction f' est définie sur ]0; +00[ donc on ne peut pas calculer f'(0) avec la fonction dérivée trouvée plus haut.
Comment expliquer cette contradiction?
Ou y-a-t-il une erreur quelque part?

Merci pour votre réponse
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[jiherve]

bonsoir
es tu sur de ta dérivée?
JR

[gg0]

Bonsoir Tulipe18.

Ta dérivée se simplifie puisque x=\sqrt(x)^2
Tu as calculé la dérivée sur ]0,+oo[ avec les formules de dérivation, puis la dérivée en 0 par le taux d'accroissement, donc tu as bien montré que f est dérivable sur [0,+oo[. Il n'y a pas de contradiction, puisqu'il s'agit de deux cas différents, mutuellement exclusifs. Calculer 3x/(2*racine carrée(x)) pour x=0 n'a pas de sens, puisque tu l'as obtenu en posant x>0.

Cependant, dans ce cas, si tu simplifies cette expression, tu trouveras une nouvelle expression, valable sur tout [0,+oo[.

Cordialement.

[Tulipe18]

AH d'accord, ça ne m'est pas venu à l'esprit de simplifier plus la fonction dérivée.
Et là, on trouve: f'(x) = (3*racine carrée(x)/2) et donc on peut calculer f'(0) = 0
Merciiiii

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Attention, dans de nombreux cas il n'y a pas d'expression générale de la dérivée. Une fonction n'est pas nécessairement donnée par une expression calculatoire unique.

Cordialement.