Exercice Démo réciproque divisibilité par 3

[FZL]

Enoncé:
"a" est divisible par 12 Donc "a" est divisible par 3.
Qu'en est-il de la réciproque: "a" est divisible par 3 Donc "a" est divisible par 12 ?

Démonstration:
a = b*q + r (division euclidienne)
a = 3m + 0 D1
a = 12k + 0 D2 (on suppose que a est divisible par 12 donc r=0 et k ∈ ℕ*)

On prend n'importe quel entier pour tester l'hypothèse
21 = 3*7 + 0
21 = 12*k + 0

21 = 3*4*k + 0 (on écrit le diviseur b dans D2 en fonction de b dans D1)
=> 7 = 4k
=> k = 7/4 or k doit être un entier dans une division euclidienne

Conclusion: a n'est pas divisible par 12

Est-ce que ma démonstration est correcte ?
Comment améliorer sa rédaction mathématique ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Bizarre ta "démonstration". Démonstration de quoi, d'ailleurs ? La première ligne ne sert à rien, la deuxième semble être une conséquence de la divisibilité par 3 mais pourquoi rajouter un reste, même nul ? La troisième semble faire la même chose pour 12. Mais rien n'est démontré. Il n'y a pas de preuve, seulement trois lignes sans rapport entre eux. Une démonstration, ce n'est pas ça.

Cordialement.

[FZL]

Bonjour

Merci pour votre réponse.

Je suis au collège. Dans un exercice, j'ai pu montrer que si a est divisible par 12 alors il est pour 3. Alors je m suis posé tout seul la question de vérifier la réciproque (l'exercice ne le demande pas). J'ai pas le corrigé. Alors j'ai voulu savoir si mon raisonnement est correcte ou non.

[gg0]

La suite pourrait être considérée comme un brouillon(*) de preuve que cette réciproque est fausse, malheureusement sa conclusion est fausse. Car pour a=24, divisible par 3, on trouve que a est divisible par 12.
Quelle est la bonne conclusion : "Si l'entier a est divisible par 3, alors .... " ?
Mais en tout cas ça n'a rien à voir avec la rédaction d'un ,preuve, qui utilise une ou des hypothèses en en déduit la conclusion par application des règles. Pas copie des règles, application, utilisation stricte. Dans un cas comme celui-ci, on commence par chercher ce qui se passe, puis on rédige pour être compris. Ici, on dit ce qu'on va prouver et on le justifie.

(*) brouillon car les deux premiers calculs sont du "n'importe quoi", et que tu complique tout avec la division euclidienne, en particulier l'usage d'un k qui ne sert à rien : 21=3*7 (niveau CE1 !!) et 21 = 12+9 pas 12k+0 qui n'a pas de sens.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

"j'ai voulu savoir si mon raisonnement est correcte ou non. " ?? Je ne peux pas te répondre, tu as remplacé tout raisonnement par des écritures sans signification globale.
Reprends en disant ce que tu veux démontrer, puis en le justifiant très simplement (niveau école primaire).

[FZL]

Auriez-vous une démonstration que la réciproque est fausse ?

[gg0]

Oui, à condition de bien rédiger les propriétés :
Propriété directe : pour tout entier relatif a, si a est divisible par 12, alors a est divisible par 3.
Preuve : si a est divisible par 12, il existe une entier k tel que a=12*k; donc a=3*(6k) et 6k est entier, donc a est divisible par 3.

Propriété "réciproque" : pour tout entier relatif a, si a est divisible par 3, alors a est divisible par 12.
3 est divisible par 3 mais pas par 12, donc la propriété est fausse.

Tu noteras que la propriété "si a est divisible par 3 il est divisible par 12" n'est pas vraiment fausse, puisqu'on ne sait rien de a. Ce qui rend fausse la "réciproque" c'est la partie "pour tout entier a".

[FZL]

Merci beaucoup

[vgondr98]

a=12*k; donc a=3*(6k) et 6k est entier, donc a est divisible par 3.

C'est pas 4k plutôt?

[gg0]

Effectivement c'est 3 fois 4 k.. Désolé pour l'erreur de frappe.

Cordialement.