exercice réciproque, bijection.

[invitefbe3e3a5]

Soit f l'application
{ R --> R
{ x --> x^2 + 4x + 1

1) Montrer que f réalise une bijection de [-2,+infini[ sur son image (que l'on précisera) et déterminer la fonction réciproque associée.

2) Déterminer f([-3,0]) , f^-1({-1}) , f^-1({-4}) et f^-1([0,1[) (bien réfléchir avant de répondre).

Voilà par quoi j'ai commencé :
1) f(x)= x^2 + 4x +1
(je calcule le discriminant)
Je trouve deux solutions pour f(x)=o : S={-2-racine3 , -2+racine3}
-2+racine3 appartient à [-2,+infini[
Après, je ne sais pas comment prouver qu'elle réalise une bijection de [-2,+infini[ sur son image, et déterminer la fonction réciproque.

2) Je fais un tableau de variation, pour f([-3,0]) et je détermine l'ensemble des antécédents entre -3 et 0.
Après, pour les f^-1 je ne sais pas comment faire...

Merci de bien vouloir m'aider...
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[cedbont]

Bonjour,

attaquons la première question : en gros tu ase une parabole qui admet un minimum, n'est-ce pas ?

Quelle est l'abscisse de ce minimum ?

Depuis l'abscisse de ce minimum jusqu'à +oo, cette fonction n'est-elle pas strictement croissante ? (la représentation graphique de cette fonction est une parabole, souviens-t'en).

Une fonction strictement monotone et continue ne réalise-t-elle pas une bijection d'un espace dans un autre ?

Tu as la démarche, à toi de rédiger.

[invitefbe3e3a5]

Oui, mais comment prouver qu'elle réalise une bijection de [-2,+oo[ sur son image... Quelle méthode utiliser ? Et puis je n'ai pas encore vu qu'une fonction monotone et continue réalise une bijection alors je ne crois pas avoir le droit de l'utiliser...

[cedbont]

Et bien dans ce cas, tu prends chaque point de l'image de [-2,+oo[ et tu vérifies qu'il a un unique antécédent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefbe3e3a5]

ah, ok. Donc si f admet un unique antécédent pour chaque point compris dans [-2,+oo[ alors elle réalise une bijection ?

[cedbont]

Oui et ça doit être réciproque : tout point de [2,+oo[ doit avoir un unique antécédent par f-1 dans Im(f).

[invitefbe3e3a5]

Mais je ne connais pas f-1

[invitefbe3e3a5]

Je comprend pas

[cedbont]

Mon dernier post était pour "une rédaction propre". Une bijection de A vers B signifie que tout point de B est engendré par un unique élément de A et que tout élément de A engendre un élément de B mais ces deux conditions impliquent (et non "sont équivalentes à") que tout élément A peut être atteint par un élément de B par la fonction réciproque.

Mais en pratique tu n'as pas besoin de connaître cette fonction réciproque : tu montres que tout élément de [-2;+oo[ va dans f([-2,+oo[) (il suffit de le dire) et que tout élément de f([-2,+oo[) est atteint par un unique élément de [-2;+oo[.

[invitefbe3e3a5]

Ok, et faire un tableau de variations ça suffit ?

[cedbont]

Ben pour moi oui, mais tu m'as dit que le fait que la fonction soit continue et strictement monotone ne te convenait pas puisque tu ne l'avait pas appris, donc...

[invitefbe3e3a5]

Oui mais comment faire alors ? il suffit de le dire ?

[invitefbe3e3a5]

Et pour la question 2, comment trouver les f^-1 ?

[cedbont]

Oui, il suffit de le dire car une seule des solution de l'équation du second degré x^2 + 4x + 1 = y appartient à l'intervalle.

Pour les f-1, il faut que tu cherches l'ensemble des points de R, l'ensemble de départ, qui donne l'intervalle donné. Exemple, pour f-1(-1), c'est l'ensemble des points x qui sont solution de f(x)=-1.

[invitefbe3e3a5]

Ok merci beaucoup