limite

[jall2]

Bonjour,

Si une fonction f:R -> R est définie dans un voisinage de x0 et a une limite en x0, est-elle continue en x0 (et donc la limite est nécessairement f(x0) ?

Je pense que oui, je voudrais une confirmation.
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[jall2]

Après réflexion, on peux demander autrement:

Une fonction discontinue en un point peut-elle avoir une limite en ce point ?

[gg0]

Bonjour.

Si f est définie en et avec la définition classique de la limite pointée, la définition impose que la limite soit . Je la rappelle :
signifie
Cordialement

[gg0]

On voit que comme est dans le domaine de définition, doit être inférieur à tout réel strictement positif.

À noter : Si f est définie en des points isolés, elle y est automatiquement continue. Ce qui n'apporte rien !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Verdurin]

Bonsoir,
ça dépend de la définition de la limite.
Quand je l'ai apprise, en1969, la réponse était oui. Quand je l'ai enseignée la réponse était non.

[gg0]

Effectivement, avec la définition de la limite épointée (limite pour x différent de x0), la réponse est différente. Cette définition est un peu particulière, car pourquoi enlever x0 de son voisinage. Les enseignants l'aimaient bien à une époque (sans doute comme source de nombreux exercices artificiels), mais ça ne servait jamais avec les fonctions élémentaires et leurs compositions, et ça ne correspond pas non plus à la généralisation de la notion de limite en topologie.
Pour ma part, j'ai subi plusieurs variations de définition, entre élève, étudiant, enseignant puis encore enseignant.

[jall2]

gg0 "On voit que comme x0 est dans le domaine de définition, |f(x0) - l| doit être inférieur à tout réel strictement positif."

Bon argument

[jall2]

Pour conclure:

Théorème:

Si une fonction est définie en un point x0 et admet une limite l en x0 alors l = f(x0) et la fonction est continue en x0


Avec la définition actuelle de la limite

[MissJenny]

Effectivement, avec la définition de la limite épointée (limite pour x différent de x0), la réponse est différente. Cette définition est un peu particulière, car pourquoi enlever x0 de son voisinage.

considérer x différent de x0 permet de définir des limites à gauche et à droite.

[gg0]

Bonjour MissJenny.

Ça ne pose aucun problème avec la définition "pointée", il suffit de rajouter ou ou . Alors que la limite épointée ne permet pas d'inclure le .
Intuitivement, la limite épointée traite de savoir ce qui se passe quand on est presque en mais qu'on n'y est pas encore, alors que la notion de limite dont j'ai donné la définition au message #3 (*) s'intéresse à ce qui se passe au voisinage de .

Cordialement.

(*) en fais un peu plus simple

[ThM55]

J'ai sans doute appris (entre 1974 et 1976) la définition "épointée" car j'ai toujours pensé (sans y penser vraiment) que si f(x) est différent de la limite de f(y) pour y->x, alors la fonction est discontinue en x. Par exemple la fonction de Heaviside (f(x)=0 pour x < 0, f(0)=1/2, f(x)=1 pour x > 0) est discontinue en 0 car ses limites à gauche et à droite sont respectivement 0 et 1, différentes de 1/2. Du moins c'est ce que mes vieux souvenirs me disent, mais je sais que la mémoire peut jouer des tours.

[gg0]

Oui, c'est probable, c'est l'époque où j'ai commencé à enseigner, sans trop m'occuper de ce distinguo, vu que j'avais des secondes et des premières/terminales F (STI, STIDD, .. techniques, donc). Et il me semble que c'est dans les années 80 qu'on a modifié cette définition.
Mais ça n'a rien à voir avec la fonction de Heaviside, qui, quelle que soit la définition, n'a pas de limite en 0, seulement des limites partielles. Là encore, pour les limites à droite et à gauche, il y a pointées et épointées, mais finalement, tout ça est du pinaillage, on peut considérer que les "bonnes notions" sont la continuité à droite ou à gauche, ça suffit. par exemple, la fonction de Heaviside, définie comme nulle avant 0 et égale à 1 à partir de 0 est continue à droite, pas à) gauche. Et on a tout dit.

Cordialement.

[amineyasmine]

Après réflexion, on peux demander autrement:

Une fonction discontinue en un point peut-elle avoir une limite en ce point ?

Bonjour
Ce que je sais, c’est qu’on général en un pont x0, il y a deux limites.
On venant du bas et on venant du haut. Ou du gauche et de droite.
On tend vers x0 du + ou du –

Si les deux limites sont égales alors c’est continu

[gg0]

Bonjour.

" ... en un point x0, il y a deux limites.". Non ! Il peut n'y en avoir qu'une, globale, deux (une à droite, une à gauche), une seule à droite, une seule à gauche, ou aucune.
Dans l'ensemble des fonctions numériques, la plupart n'ont aucune limite en tout point, comme la fonction qui vaut 1 pour un antécédent rationnel et 0 ailleurs.

Tu devrais éviter de venir dire "Ce que tu sais", alors que tu ne sais pas, tu as seulement fait quelques exercices et peu de réflexion.

[ThM55]

Dans le Piskounov de ma lointaine jeunesse (un livre russe qui se vendait à l'époque 10 fois moins cher que les livres autochtones, adoré par certains profs et abhorré par d'autres), il précise bien que la définition a lieu pour les x différents de a: https://archive.org/details/piskunov...ge/37/mode/2up .

N'empêche, ces changements de vieilles définitions (je crois me souvenir que la première en epsilon-delta est due à Weierstrass) ne risquent-t-ils pas d'embrouiller les étudiants s'il leur prend soudain l'envie d'aller compléter leurs études à l'étranger? Parce qu'il me semble que la nouvelle définition n'est pas très commune globalement.

[gg0]

À priori, non, car ça ne concerne vraiment que des étudiants se formant fortement en maths (les utilisateurs des maths, scientifiques ou ingénieurs, n'ont que faire de ces subtilités). Et la définition "pointée" est celle qui est utilisée en topologie (on n'a aucune raison de supprimer a de ses voisinages), où la "bonne notion" est en fait la continuité. Enfin, même si de nombreuses notions utilisent l'idée de limite, en général on calcule naturellement la limite pour x différent de a (comme dans la définition de la dérivée).
La limite "épointée" a paru plus naturelle dans les débuts de l'analyse, puisqu'on n'avait pas de raison de chercher la limite en a quand f est définie en a, puis elle a servi à faire des exercices pour piéger les élèves (avec une fonction f qui est définie de façon à le pas avoir pour limite f(a) en a), mais c'était des "mathématiques scolaires" et ça ne contribuait pas vraiment à former des matheux ou des utilisateurs des maths.

Cordialement.

[ThM55]

D'accord, merci pour ces réflexions que je vais retenir. Il est vrai que la notion de continuité en topologie est suffisamment claire et simple, c'est une bonne raison pour utiliser des définitions compatibles.