Cercle inscrit dans un demi cercle

[neutrinou]

Bonjour,

Je ne réussis pas du tout à résoudre ce problème où un cercle (de centre W) est inscrit dans un demi-cercle (de centre O), tangent à la fois à un diamètre AD (en U), au demi cercle (en T), et à deux perpendiculaires à ce diamètre dont les points de projection sont B et C.
Je dois démontrer que BC^2 = 4 AB x CD
(En pratique, si on me donne juste AB et CD, je dois pouvoir en déduire BC (et donc le diamètre du demi-cercle et celui du cercle inscrit, ce qui est immédiat).
Je ne vois carrément pas comment procéder. Merci de votre aide.


-----

[gg0]

Bonjour.

Peux tu donner l’énoncé précis ? Là tu présentes en vrac plusieurs énoncés.

Cordialement.

[neutrinou]

Je suis vraiment désolé si je suis confus. Je n'ai pas l'énoncé originel et je propose donc de ne considérer que la formulation suivante, en espérant qu'elle soit claire :

Soit un cercle (de centre W) inscrit dans un demi-cercle (de centre O), tangent à la fois à un diamètre AD (en U), au demi cercle (en T), et à deux perpendiculaires à ce diamètre dont les points d'intersection avec le diamètre sont B et C.
Démontrer que BC^2 = 4 AB x CD.

Merci !
Cordialement

[XK150]

Salut ,

Ce qui revient à commencer par étudier le cercle inscrit dans un demi-cercle .( on peut s'arrêter au 1/4 de cercle ).. Je ne trouve rien !

Déjà , quel serait le lieu des centres de ces cercles inscrits ??? Je ne trouve pas plus !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[XK150]

Et déjà , comme un cercle est défini par 3 points de sa circonférence , il y a une condition de trop dans l'énoncé .

Mieux vaut attendre gg0 !

[epiKx]

Bonjour,

Quelle est la position du point O par rapport à B et C?

Cdlt

[gg0]

Notons R le rayon du demi-cercle et r celui du cercle inscrit (R=OA=OD=OB, r=wU=WT=UB=UC); si on ne demande pas que B et C soient placés à l'avance, on inscrit le cercle dans le demi-cercle, et B et C sont les projetés des extrémités B' et C' du diamètre du cercle inscrit qui est parallèle à (AD). Comme BC=2r, on demande de prouver que r²=AB x CD.
Là, il y a un problème d'énoncé, car B et C jouant des rôles symétrique, on devrait avoir aussi r²= AC x BD qui est, sur la figure, supérieur à R² !!
Donc on va supposer que U est entre O et D et C entre U et D.
La construction de la figure peut alors se faire en partant de T, choisi sur la partie "gauche" du demi-cercle. La tangente en T coupe (AD) en E et w est l'intersection de OT avec la bissectrice de l'angle géométrique OED.

Ceci dit, je ne vois pas de preuve géométrique; j'ai regardé une preuve analytique, ça donne des calculs assez pénibles ... trop chaud aujourd'hui.

[gg0]

NB : C'est presque un sangaku et je n'ai jamais été très doué sur ce genre de problème.

Pour EpiKx : je ne pense pas que ce soit important, une fois précisées les positions respectives sur le diamètre, ce sont les d'eux points à la distance r de U.

[neutrinou]

Petites erreurs, ggO, il me semble.
D'abord, sans doute une coquille : R n'est pas égal à OB, mais à OT.
Il n'y a pas d'erreur d'énoncé, car on ne demande pas de prouver que r^2 = ABxCD, mais 2r^2 = 4ABxCD
Donc l'objection sur ACxBD tombe.
U n'est pas coincé entre O et D, il peut se promener partout sur AD jusqu'aux extrémités, avec sans doute un cercle inscrit de rayon nul en A et D.
Et je suppose une coquille : la bissectrice de l'angle géométrique OET (et non OED)

Cette création d'un point E m'a semblé intéressante, avec l'apparition du triangle rectangle OTE, mais comme je suis mauvais, je n'ai pas réussi à m'en dépatouiller. Je me demande si WD ne serait pas parallèle à TE, ce qui voudrait dire qu'un triangle rectangle OWD pourrait être exploité peut-être plus facilement que OTE, mais je ne sais pas si cet apparent parallélisme est dû à un hasard du dessin, il me semble qu'il tient.

Le lieu géométrique du centre W du petit cercle pourrait être un arc de cercle passant par A et D et culminant sur la perpendiculaire à AD passant par O à une distance OW = R/4.
On voit d'ailleurs qu'à cet endroit où UW est maximum (et UW=R/2), la relation cherchée est valide : (R/2)^2 est bien égal à 4x 1/4 x R x 1/4 x R

Cordialement

[epiKx]

Bonjour,
BC=2r donne BC^2=4r^2
Donc il semble que gg0 a raison...

J'ai essayé de résoudre le problème et je suis tombé sur une equation du second degré en BC qui a des solutions ssi R>=4r

Une pause svp...

[gg0]

Bonjour Noutrino.
Merci pour tes corrections de coquilles.
Mais c’est bien r^2; et je n'ai pas parlé d’erreur d’énoncé mais du fait que la figure donne des indications supplémentaire que j'ai détaillées. B et C ne sont pas n’importe où sur le diamètre.

Cordialement.

[epiKx]

Pythagore dans OUW:
OW= R-r
=Racine(OU^2+UW^2)
=racine((r-R+AB)^2+r^2)

On sait par ailleurs: AB+CD= 2(R-r)
Et on bricole...

[epiKx]

Un petit conseil à neutrinou:
Faire des figures sur un papier avec des valeurs précises de AB et CD (par exemple AB=2cm et CD=1cm puis AB=3cm et CD=4cm) ou mieux sur Geogebra avec U mobile pour éprouver les conjectures. Avec une figure à main levée le risque d'erreur dans les raisonnements est plus grand...

[neutrinou]

@epiKx, merci. Je découvre Geogebra dont le nom m'était néanmoins familier. Mon dessin de débutant n'est donc pas dynamique, mais de toute manière, mon hypothèse d'un angle droit DWO était stupide - il suffit d'imaginer le schéma quand U se confond avec O. L'art de raisonner juste sur des figures fausses...
@ggO : au temps pour moi, effectivement, r^2 = ABxCD
Effectivement, B et C ne sont pas indépendants, mais l'un ou (exclusif) l'autre peut se retrouver n'importe où sur AD. Je pense que nous sommes bien d'accord.
Ceci étant posé, j'ai plus qu'à m'y remettre en réattaquant TOE (sur la pointe des pieds).

[epiKx]

Notons et .
et
Par symetrie on suppose

Or on a aussi:
par le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle OUW rectangle en U.
Soit:
Donc:

Soit:

De même,

Donc:
qui est bien positif
Donc
On vient de prouver:

NB: Le résultat est valable quel que soit. Je me suis donc trompé dans mon précédent post.

[epiKx]

NB: ceci est valable pour sinon ce n'est plus la même figure géométrique... La remarque précédente est fausse

Il reste donc à savoir ce qui se passe si

[epiKx]

Sur la figure de Neutrinou, R=8 et r=7,2/2=3,6. On a bien R>2r. Donc on peut appliquer ma démonstration. Si R<2r le problème change totalement: ce n'est plus un cercle inscrit dans un demi cercle mais un cercle inscrit dans un cercle. Il faudrait changer totalement l'énoncé. Les notations adoptées jusqu'ici ne seront certainement plus pertinentes. Donc ca n'a plus de sens d'affirmer: dd'=r^2.

Il reste à répondre à toutes les questions soulevees dans la discussion par gg0 et XK150 ainsi que Neutrinou: peut-on solutionner le problème en considérant le triangle OTE? par exemple etc...

[gg0]

Bonjour.

Pourquoi cette condition ?
En fait, par construction, , et quelle serait "l’autre figure " ?

Cordialement.

[epiKx]

Le rayon du GRAND demi cercle R doit être > 2× le rayon du petit cercle inscrit r.

Pourquoi cette condition?
En général quand on prend une racine carree on s'arrange pour que le nombre dans la racine soit positif sinon... la racine n'est pas définie (ou alors il faut regarder dans C mais qu'est-ce qu'une distance complexe?).
Bref dans ma racine il y a (R-r)^2 - r^2 >0 et ca donne R>2r

L'autre figure? Si R<2r. Le cercle inscrit est tres grand tellement grand qu'il déborde du demi-cercle où il est sensé être. On doit changer l'énoncé.

[epiKx]

Quelqu'un pour le lieu du centre du cercle inscrit quand T parcourt le quart de circonférence ?

[gg0]

EpiKx, le petit cercle est inscrit dans le demi-cercle donc son rayon est inférieur au demi rayon du demi-cercle. La condition 2r>R n’a rien à faire ici.
Bravo pour tes calculs !

[epiKx]

OK gg0 je ne savais pas que c'était si évident. Avec une réelle mauvaise foi, c'est bien ce que j'ai dit: le problème n'a pas de sens si 2r>R

Si neutrinou passe par la, il faudrait qu'il active la trace du point W sur Geogebra et qu'il bouge T sur la circonférence si ca l'intéresse...

On devrait pouvoir trouver l'équation du lieu de W par le calcul également. On veillera a prendre O comme origine pour simplifier les calculs...

Une question: peut-on aboutir à dd'=r^2 en considérant le triangle OTE comme le suggère neutrinou?

[XK150]

A l'ancienne , avec les moyens du bord , pistolet graphoplex C3 ...

[epiKx]

Un arc de parabole donc. Reste a retrouver ca par calcul...

[neutrinou]

Moi, j'ai fait ça dimanche.

EA=EO+R
EB=EU+r
On en déduit : EA-EB=AB=UO+R-r (1)

EC=EU-r
ED=EO-R
On en déduit : EC-ED=CD=R-r-UO (2)

J'additionne (1) et (2) :
AB+CD=2(R-r) (3)

Je soustrait (1) et (2) :
AB-CD=2UO (4)

Le Pythagore de OUW donne :
r^2 + UO^2 = OW^2

Or, à partir de (4), UO^2 = (AB-CD)^2 /4

Et à partir de (3), OW^2 = (AB+CD)^2 /4

On remplace dans le Pythagore et on a :
r^2 + (AB-CD)^2 /4 = (AB+CD)^2 /4

On multiplie par 4 et on fait un changement de membre
4r^2 = (AB+CD)^2 - (AB-CD)^2

On développe et tous les carrés disparaissent :
4r^2 = 2ABxCD + 2ABxCD

Donc r^2 = ABxCD
CQFD il me semble.

[neutrinou]

Pour la déco, on peut calculer R. On utilise par exemple (3)
AB+CD=2(R-r)
AB+CD+2r=2R
R=(AB+CD)/2 + r

Et aussi le centre du lieu géométrique des centres du cercle inscrit. On voit que c'est un arc de cercle de corde = 2 R et de flèche = R/2
On appelle T son rayon.
Là, c'est pas trop compliqué de tracer un triangle rectangle dont un sommet est A (ou D), un autre est O et le troisième le centre du cercle des lieux géométriques que j'appelle L. Ce centre se trouve sur une perpendiculaire à AD passant par O.
Le pythagore du triangle est T^2 = (T - R/2)^2 + R^2 et on trouve que T, le rayon du cercle des lieux géométriques des centres du cercle inscrit, est égal à 5/4 de R

La question de ce lieu géométrique posée par XK150 me semble répondre à cette interrogation de epiKx.

[XK150]

A mon avis , non , le lieu du centre des cercles inscrits n'est pas un arc de cercle : il suffit de regarder ma photo , post 23 ,
avec une tangente à 45° à gauche et une tangente horizontale à droite .

[neutrinou]

Je pense que tu as raison, comme le laisse supposer ces essais graphiques, même si je suis très maladroit avec Geogebra. Le problème du lieu des centres du petit cercle reste entier.

[epiKx]

Bonjour,

En appliquant une nouvelle fois le théorème de Pythagore dans OUW:
on exprime UW=y en fonction de OU=x et de R (constante fixée), on trouve une equation du second degré en x^2.

Le lieu des centres de cercle inscrit est donc un arc de parabole.

Neutrinou je te laisse faire: dis-moi ce que tu trouves!

Cordialement
epiKx.

[gg0]

Bonjour.

Une autre façon de montrer que le lieu de w est un arc de parabole est de trouver le foyer et la directrice de cette parabole. En examinant le cas où (Ow) est perpendiculaire à (AD), on voit que le foyer doit être O et la directrice être la tangente au demi-cercle parallèle à (AD). Les notations sont celles de la figure du message #14.
Si w n'est pas dans le cas particulier précédent(*), notons F l'intersection de (Uw) avec la tangente en T. Soit en utilisant les triangles isométriques (OUw) et (TFw), soit à l'aide de la symétrie par rapport à (Ew), on voit que wF=wO (1) et donc UF=Uw+wF=r+wO =wT+wO=OT=R=la distance entre le diamètre (AD) et la tangente ; donc F est sur . La relation 1 dit que w est à égale distance de O et de , donc est sur la parabole de foyer O et de directrice . Comme c'est aussi le cas dans le cas particulier du début, L'ensemble des centres des cercles est sur cet arc de parabole avec comme extrémités A et D. Je laisse à celui qui veut la démonstration que tous les points de cet arc de parabole conviennent.

Cordialement.

(*) pas de point E dans ce cas, je laisse donc de côté puisque je vais en parler.