Montrer que Un est borné

[hbx360]

Bonjour,

J'ai l'exercice suivant :

Soit (Un) la suite définie par :



Montrer que (Un) est bornée.

Dans la correction de l'exercice on a :

Soit On a



Ainsi pour tout entier naturel , . La suite (Un) est bornée.

Ce que je ne comprend pas dans cette correction c'est comment on passe de à

puis de à

Note : j'ai bien fais attention de bien écrire la correction donc ce que j'ai mis plus haut concernant les expressions est l'exact copie de ce qui est écrit dans le livre de math que j'ai.

Merci d'avance
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Il y a visiblement une erreur dans la correction, c'est assez courant.

Vous pouvez essayer de partir de , simplifier en 2 termes, puis majorer celui dans lequel il reste des .

[epiKx]

Le premier passage résulte de l'inégalité triangulaire: (c'est même valable dans )

Pour le deuxième passage on cherche a simplifier la fraction par en le faisant apparaître au numérateur et au dénominateur étant donné que ce terme est non nul (pourquoi?). C'est ce qu'a suggéré albanxiii...

Bon travail,
Cordialement,
epiKx.

[gg0]

Bonjour.

Pour le premier passage, il suffit de voir que n est positif et n^2+n+1 aussi. En fait n^2-n+1 est aussi positif ce qui fait que la valeur absolue ne sert à rien. Finalement tout revient à noter que -n est inférieur à n.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[epiKx]

Au deuxième passage, on sépare en 2: le premier terme est 2 et le deuxième terme est inférieur à 1 donc pas besoin des

[epiKx]

On pourrait aussi montrer que la suite tend vers 2. Or une suite convergente est bornée donc c'est fini. Mais je suis pas sûr de suivre le programme du lycée en faisant ça...

[epiKx]

La même question selon ChatGPT:
"
Soit

On encadre par 1 et 2

Borne supérieure 2 :


Borne inférieure 1 :


Donc : la suite est bornée par 1 et 2. "

[hbx360]

Merci pour vos réponses je vais regarder tout ça.

[hbx360]

@epiKx

Le premier passage résulte de l'inégalité triangulaire

Est-ce que tu pourrais un peu plus détaillé car je n'arrive pas à voir en quoi le deuxième terme ressemble de près ou de loin à |x| + |y|

Au deuxième passage, on sépare en 2: le premier terme est 2 et le deuxième terme est inférieur à 1 donc |Un| <= 3 pas besoin des 3n²

Idem pour ton explication tu peux détaillé avec un calcule parce que je vois pas bien comment tu sépares.

Pouvez-vous me dire ou est-ce que sont les erreurs dans la correction de l'exercice ?

[gg0]

Pour le premier passage,
(car n est positif)
Autre méthode :
étant positif, car le discriminant est négatif donc ce trinôme a le signe de 2
car

[hbx360]

D'accord, mais albanxiii

dit qu'il y a une erreur dans la correction

mais où est cette erreur ?
Ce que je ne comprend pas non plus c'est cette expression 3n²+3n²+1 pourquoi ne pas mettre juste 6n² + 1 ?

[hbx360]

Et aussi comment il trouve 3n² +3n² +1 et comment il fait (l'auteur) pour en arriver à la conclusion que Un est majoré par 3 ?

[gg0]

L'erreur est ensuite, avec l'apparition incongrue de ce 3n²+3n²+1 qui n'a aucun sens suivi de =3 qui est faux (sauf quand n=1).
Quant à savoir pourquoi ton corrigé devient brutalement idiot, comment veux-tu qu'on sache ? Nous, on fait des maths.

Tu devrais en faire aussi un peu, car ne pas voir où est l'erreur veut dire qu'on ne fait pas les calculs, on attend que tout soit expliqué (même l'inexplicable). par exemple, tu pourrais chercher à continuer le calcul de Albanxiii (message #2) avec ce que dit EpiKx. Après tout, c'est des calculs élémentaires sur les fractions, que tu pratiques depuis des années. "décomposer en deux" veut dire ici transformer une fraction en une somme de fractions.

NB : Oublie ton corrigé, il a été fait par un incapable ou une inintelligence artificielle.

[epiKx]

Je pense qu'il a cherché à majorer le numérateur et minorer le dénominateur par 1 mais ca ne suffit pas car 6n^2 +1 n'est pas borné.

[gg0]

C'est bien pour ça que j'ai pensé à une IA.

[hbx360]

@ggo je ne suis pas étudiant, je fais des math pour me remettre à niveau mais j'ai pas d'objectif précis, je n'ai pas de contrainte de temps, j'ai toujours eu énormément de lacune quand j'étais au collège, je n'ai pas fais le lycée, donc pour moi tout n'es pas automatique et je pars du principe que les cours que je suis sont fais par des pro donc je ne les remets pas en question vu mon niveau.
Après oui j'ai bien essayé de faire par moi-même comme je vous l'ai dit au commentaire #8 mais j'avais des difficultés à comprendre.
Concernant cet exercice il est tiré du livre "MATHS de la terminale S à la prépa scientifique" de Nicolas Nguyen édition Ellipses édité en 2015, la correction c'est la page 199 exo12.4. J'ai même écris à l'auteur sur sa page Linkedin on verra bien s'il me répond. Apparemment son livre contient pas mal de fautes manque de relecture avant édition peut-être ?

Je vous fais une copie de l'exo de math :
exo.jpg
Correction :
exo-correction.jpg


Je regrette que l'auteur ne détail pas plus ses calcules.

[gg0]

OK !

mais si tu fais des maths pour progresser seul, il faut que tu apprennes en priorité à savoir si une correction est correcte ou pas. Si elle ne dit pas comment elle fait (*), ce n'est pas une correction. Et il est inutile d'essayer de comprendre l'absurde " = 3 " de la fin, puisque c'est manifestement idiot.
La base, c'est la connaissance des règles de calcul, des définitions et théorèmes. Ce que tu dois connaître parfaitement. Et le travail à faire est de ne rien faire d'autre que les utiliser. Bien sûr, quand on fait des exercices de niveau terminale, toutes les règles de calcul, définitions et théorèmes de collège, seconde et première sont supposées acquises; si tu bloques dans un calcul, revois les règles sur ce qui est en cause, les fractions, par exemple. En n'oubliant pas de les prendre dans tous les sens (**).
Autre chose : la lecture de corrigés n'a aucun intérêt si tu n'as pas déjà essayé de faire pendant longtemps, plusieurs fois un quart d'heure, par exemple, avec des pauses pour faire autre chose entre temps. Les maths ne s'apprennent pas en lisant des calculs, mais en les faisant soi-même, idéalement, seul.

Cordialement.

(*) une suite de calculs sans explication, par exemple.
(*) Par exemple, l'addition de fraction a/b +c/b = (a+c)/b se lit aussi (a+c)/b = a/b+c/b

[hbx360]

Pour le 3n²+3n² +1 en fait il fallait lire (3n²+3)/(n²+1) il manquait la barre de division.

Mais là, je ne comprend pas comment il fait pour passer de 2n²+n+1 à 3n²+3 ?

[gg0]

OK pour l'explication (qui n'explique rien en fait, car jusque là c'était des fractions; je ne conseillerais pas ce livre à un élève !!).
Alors ce qu'il faut comprendre, c'est qu'on se moque du majorant, pourvu qu'on en trouve un. Donc pourquoi pas majorer n par n² (puisque n est un entier positif, ce serait faux si c'était un réel) et pour que ça se simplifie bien majorer 1 par 3, ce qui permet de simplifier la fraction.

Bon travail pour la suite.

[hbx360]

D'accord, merci pour les explications.