Bonjour,
j'aimerai savoir si vous savez comment on a pu trouver avec certitude la fonction exponentielle. En fait, m'expliquer pourquoi
exp(x)=2.71828...^x
On sait que cette fonction doit être égale à sa dérivée mais je ne vois pas comment trouver le nombre e.
Je voulais aussi savoir si la fonction ln(x) applique un calcul connu à x où si on a simplement déterminé par où cette fonction devait passer pour respecter ln(xy)=ln(x)*ln(y)
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
Oupss trop tard, Gaétan a déjà rectifié.
lol désolé je n'ai pas fait attention
Sachant que e^x est sa propre dérivée, on peut en appliquant la formule de Taylor au voisinage de 0 faire un développement limité (très simple et très classique) de e^x.
Si on fait dans ce développement x=1, on va trouver e^1 = e = 2.718281828...
Je ne vois pas comment ça te permet de définir le nombre e ...Envoyé par Jeanpaul
Par contre, une définition consisterait à dire que c'est la limite de la somme des 1/k! . Ainsi, en sommant beaucoup de termes, j'imagine qu'on a pu approcher sa valeur.
Marc
Par definition :
e^x = x^0 / 0! + x^1 / 1! + x^2 / 2! + ...
En particulier :
e = e^1 = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
J'aimerai savoir à quel niveau d'étude on voit cette définition et ensuite, pourquoi e^x peut se développer de la sorte.e^x = x^0 / 0! + x^1 / 1! + x^2 / 2! + ...
Par exemple, pour déterminer pi, sachant que ce nombre est la moitié du périmètre d'un cercle de rayon 1 (ou le rapport entre le périmètre et le diamètre), on peut l'approcher en dessinant des triangles isocèles dans une partie de ce cercle (partie délimitée par l'arc de cercle et le diamètre). On obtient ainsi une suite qui tend vers pi mais cette suite, on sait d'où elle vient.
e je ne sais pas du tout ce qu c'est et à quoi ca correspond donc j'aimerai comprendre ta formule.
Ce que tu dis avec les triangles et le nombre pi est, disons, une "monstration" géométrique. Mais avec un dévellopement de Taylor, tu peux le démontrer analytiquement comme pour e. Ce qu'il faut démontrer, c'est la formule du dévellopement de Taylor (j'ai vu ça en prmière cndi, si je me souviens bien). Le reste, les formules pour pi et e, c'est juste de l'application de formule (que je ne connais pas par coeur).
Quelqu'un pourrait me faire une vulgarisation du développement de Taylor svp ?
Re : Fonction exponentielle
Je peux déjà te dire que les développements en séries de Taylor viennent de la volonté d'approcher (et non pas approximer) des fonctions suffisamment régulières pas des polynomes.
On peut voir une série de Taylor comme une "suite-somme" (c'est ce qu'on appelle série) de polynômes qui converge vers la fonction étudiée.
Il est alors important d'évaluer le reste (i.e. la différence entre la série de polynôme (ou sa valeur en un point) et la fonction étudiée (ou sa valeur en un point). Il y a plusieurs manières d'évaluer ce reste et l'important est de trouver la bonne.
Pour la fonction exponentielle, on a de la chance, la fonction exponentielle est analytique donc est égale à sa série de Taylor.
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
Merci pour ce début d'explication
C'est beaucoup plus qu'un début d'explication, tu viens de te voir résumer 3ans de cours d'analyse dans cette jolie explication de doryphore...
C'est peut etre bete à dire mais e^x=exp(x).
Ca ne parrait etre qu'une notation, mais en fait pas du tout, et e n'est pas choisi au hasard, c'est la limite de la suite u(n)=(1+1/n)^n.
En fait de part les propriétés de exp et de ln, on a que ln(e)=1 et ln(x^y)=yln(x) sur R*+, donc en particulier ln(e^x)=xln(e)=x et de même ln(exp(x))=x par définition d'une application réciproque.
Ainsi on a par bijectivité (unicité) que exp(x)=e^x.
Ensuite pour évaluer une valeur approchée de e, on a plusieurs méthodes, telle la dichotomie par exemple, qui est une méthode assez simple et assez bonne.
Sinon la méthode qui utilise le développement de Taylor, mais là comme tu as vue, il faut avoir des notions d'analyse un peu plus poussées pour savoir pourquoi ca marche, mais c'est assez rapide cependant:
1+1+1/2+1/6+1/24=2.7083333....
1+1+1/2+1/6+1/24+1/120=2.7166666....
1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720=2.718055556....
Tu vois qu'à un ordre 6 on arrive déjà "pratiquement" au nombre e, en fait on a déjà 4 décimales qui sont exactes...
à l'ordre 9, on en a 6 qui sont exactes, etc..
Comment utiliser la dichotomie pour trouver e ?
Sur quelle fonction dois je l'utiliser ?
En utilisant ln(e) = 1 non ?
Tu peux l'utiliser sur n'importe quelle fonction qui te plait et qui fait intervenir e, mais la plus simple sera la meilleure.
la fonction
x->ln(x)-1 sur R*+ est je pense l'une des plus adaptée.
Re : Fonction exponentielle
N'exagérons rienmême si c'est vrai que le développement en série de Taylor tiens une part très très importante de l'analyse post-baccalauréat.
Je ne crois pas hélas que mon explication soit très parlante pour Ganash qui n'a jamais rencontré la notion de série de fonctions.
Et il va devoir construire ce concept au fur et à mesure qu'il rencontrera des exemples de séries numériques telles celle que tu lui as proposée.
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
J'ai compris ce que tu as dis Doryphore mais je ne sais pas ce qu'est une fonction analytique. Si tu pouvais préciser s'il te plait...
Une fonction analytique c'est une fonction qui peut se développer en une série de polynôme.
On peut montrer que ca reivent à dire que c'est une fonction dérivable au sens complexe (attention, ca n'a rien à voir avec les fonctions dérivables, telle que tu les connais dans R, ici on est dans C)
C'est là qu'intervient la 3e année postbac
Je verrai çà dans 3 ans alors
ça me rappelle, un sujet qui fait 3 pages, je crois.pourquoi e^x peut se développer de la sorte
la question étant de savoir quel est la dérivée de exp x...
ce qui a ammené à des développements, rappels sur le dvp de taylor...
jze n'ai pas le courage de rechercher le post, mais bon, je voulais quand même te le signaler.
Merci pour l'info Dupo
SAlut,
Pour x dans R+*, on pose par definition y^x = exp( y * ln( x ) )Quinto #13
En fait de part les propriétés de exp et de ln, on a que ln(e)=1 et ln(x^y)=yln(x) sur R*+, donc en particulier ln(e^x)=xln(e)=x et de même ln(exp(x))=x par définition d'une application réciproque.
Ainsi on a par bijectivité (unicité) que exp(x)=e^x.
A priori cette methode me semble donc uniquement utilizable sur Z*.
Le reste des proprietes vient du developpement de l'exponentielle en serie entire :
pour z dans C : exp(z) = somme (n=1 a +inf de z^n / n! )
Il y a effectivement un post sur la derivée de l'exponentielle qui si je me rappelle reprend les derf et un peu d'historique
Bein c'est une "coincidence" due aux morphismes qui fait que ca marche.
Après on a prolonger la définition sur R tout entier par continuité de la fonction exponentielle, mais on a pas besoin de ca sur Z.
Quand on était en primaire, on a vu ces fonctions sans connaitre les fonctions exponentielles ou log.
Bonjour a tous!
voila, j'ai un exercice sur les developpements de Taylor pour une exponentielle.
je dois fournir le resultat avec un certain nombre de decimales correctes.
J'ai trouvé qu'il était plus "exact" de calculer mon exponentielle (selon dvlp de Taylor) dans l'intervalle [-0.5,0.5]
Bien evidement, il y a une certaine marger d'erreur.
en admettant que je veuille calculer:
e^1.2
je dois faire:
(e^0.5)*(e^0.5)*(e^0.2)
ma question est:
comment se propage l'erreur dans ce calcul???
merci d'avance.
Je sais que c'est du déterrage de topic, mais moi aussi il m'est arrivé de me poser ce genre de questions et je sais à quel point ça peut être frustrant de pas trouver de réponse satisfaisante. Donc voilà une manière un peu plus intuitive de voir les choses, peut-être que ça pourra un jour aider quelqu'un (je réponds à la question du topic, pas à l'exercice du dernier post).
Une fonction f qui vérifie f(0) = 1 et qui en tout point x est égale à sa dérivée est définie de manière unique. On appelle cette fonction la fonction exponentielle, et on la note exp(x). Donc exp(0) = 1 et exp'(x) = exp(x). Autrement dit la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le plan réel (x en abscisse, exp(x) en ordonnée) passe par le point (0 , 1), et sa valeur est égale en tout point à sa pente, ce qui veut dire sa pente en x = 0 est égale à 1.
Rien qu'à partir de cette définition, il est possible de déterminer la valeur de l'exponentielle en n'importe quel point :
Si a est un point aussi proche que l'on veut de 0, alors on peut approximer la courbe de l'exponentielle entre exp(0) et exp(a) par un segment de pente exp(0). Auquel cas exp(a)exp(0) + a.exp(0) = 1 + a. Plus a sera proche de 0, plus exp(a) sera proche de 1+a (avec égalité quand a est infiniment proche de 0).
Ca se voit très bien graphiquement, si on prend un point a quelconque et qu'on trace une droite entre exp(0) et exp(a), cette droite épousera d'autant plus la courbe exponentielle que a sera proche de 0.
On connaît donc maintenant exp(0)=1 et exp(a)=1+a quand a est infiniment proche de 0. On continue ... (le but étant d'arriver à déterminer la valeur de exp(1))
exp(2a) = exp(a) + a.exp(a) = (1+a) + a(1+a) = (1+a)2 (a toujours infiniment proche de 0 pour que l'égalité soit vraie)
exp(3a) = exp(2a) + a.exp(2a) = (exp(a)+a.exp(a)) + a(exp(a)+a.exp(a)) = (1+a)2 + a(1+a)2 = (1+a)3
...
Il se trouve que pour tout n entier, (1+a)n + a(1+a)n = (1+a)n(1+a) = (1+a)n+1 , donc on a en fait pour tout n entier :
exp(n.a) = (1+a)n
Puisque a est infiniment proche de 0, si on fait tendre n vers l'infini alors 1/n est lui aussi infiniment proche de 0, donc on peut poser a = 1/n. Du coup on arrive à calculer la valeur de exp(1) :
On vérifie bien que la formule donne e = 2.7182818.. à mesure que n devient grand :
n = 1 : 2
n = 2 : 2.25
n = 3 : 2.370
n = 4 : 2.441
n = 5 : 2.488
n = 20 : 2.653
n = 100: 2.7048
n = 1000 : 2.7169
n = 10000 : 2.7181
n = 107 : 2.7182817
etc
De plus pour tout x réel (tout x de
et voilà ce que ça donne graphiquement pour différentes valeurs de n :
Pour moi, on peut soit partir d'une définition par les séries entières :
Soit partir d'une définition de type équation différentielle
Dans le premier cas, on peut démontrer
Dans le second cas, on peut étudier la fonction
Une fois cette formule établie, en définissant le nombre
Dernière modification par breukin ; 28/11/2011 à 14h34.
