démo: cos(n) et sin(n) n'admette pas de limite

[invite60a95147]

le but de l'exercice est de démontrer que les suites (cos n) et (sin n) n'admette pas de limite:

1) observer à l'aide d'une calculatrice le comportement des ces suites.

2)Montrer que (cos n) ne peut diverger ni vers +infini, ni vers -infini. De même pour (sin n)

3) a)Montrer que si (sin n) converge vers un réel l, alors (cos n) converge vers un réel l' et exprimer l' en fonction de l. (indication: on sait que sin(n+1)=...)

b)Montrer de même que si (cos n) converge vers un réel l', alors (sin n) converge vers un réel l et exprimer l en fonction de l'. (indication: on sait que cos(n+1)=...)

c) En déduire que l=l'=0
d) faire apparaitre une contradiction en utilisant une célèbre formule de trigonométrie
e) Conclure.



voila ce que j'ai réussi a faire:

1) pour n appartentant aux entiers naturels, on remarque que les valeurs prises par cos n et sin n sont prises entre -1 et 1

2)je pensai utiliser le fait que -1<Cosn<1; mais je ne suis pas sure du tout

3) a) je donne la définition d'une suite convergente mais je n'arrive pas à démontrer ce qu'il faut

b) pareil que a)
c) je n'y arrive pas car je n'est pas réussi le a et le b
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[invitebe3a7e8c]

salut,
il faut que tu utilises les suites extraites

[invite60a95147]

oui, mais la je suis bloquée, ca serait pour la question 2 ou la 3?

[invitebe3a7e8c]

a escuse , tu es obliger de repondre a chaque questions. HA! parce que moi ce que je viens de te donner c'est un methode directe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60a95147]

oui, c'est pour ca que j'avais pas compri ta réponse

[invite60a95147]

est ce que quelqu'un d'autre a des propositions a me faire? parce que la j'avoue que j'ai épuisé toutes mes ressources

[invitedef78796]

Salut, salut

En fait, on avait résolu le problème dans ce sujet

http://forums.futura-sciences.com/sh...ad.php?t=77401

La preuve consiste à utiliser les formules de trigonométrie

[GuYem]

Salut,

Ta réponse à la question 1 est ... marrante disons ! Mais bon, ce n'est pas le coeur de l'exercice.
Pour la question 2 je saute.
Pour la 3, rappelle toi de tes formules de trigo :
sin(n+1) = sin(n)cos(1) + sin(1)cos(n)
Du coup, si tu supposes que la suite sin(n) converge vers L, que peux-tu dire de la suite cos(n) ? (isole cos(n) et passe à la limite dans cette égalité).

Après, je te laisse continuer.

[GuYem]

Salut, salut

En fait, on avait résolu le problème dans ce sujet

http://forums.futura-sciences.com/sh...ad.php?t=77401

La preuve consiste à utiliser les formules de trigonométrie

oops grillé, il me semble que l'on s'en sort avec la formule que j'ai indiqué et celle de pythagore.

[invite60a95147]

le but de l'exercice est de démontrer que les suites (cos n) et (sin n) n'admette pas de limite:

1) observer à l'aide d'une calculatrice le comportement des ces suites.

2)Montrer que (cos n) ne peut diverger ni vers +infini, ni vers -infini. De même pour (sin n)

3) a)Montrer que si (sin n) converge vers un réel l, alors (cos n) converge vers un réel l' et exprimer l' en fonction de l. (indication: on sait que sin(n+1)=...)

b)Montrer de même que si (cos n) converge vers un réel l', alors (sin n) converge vers un réel l et exprimer l en fonction de l'. (indication: on sait que cos(n+1)=...)

c) En déduire que l=l'=0
d) faire apparaitre une contradiction en utilisant une célèbre formule de trigonométrie
e) Conclure.



voila ce que j'ai réussi a faire:

1) pour n appartentant aux entiers naturels, on remarque que les valeurs prises par cos n et sin n sont prises entre -1 et 1

2)je pensai utiliser le fait que -1<Cosn<1; mais je ne suis pas sure du tout

3) a) je donne la définition d'une suite convergente mais je n'arrive pas à démontrer ce qu'il faut

b) pareil que a)
c) je n'y arrive pas car je n'est pas réussi le a et le b

Salut,

Ta réponse à la question 1 est ... marrante disons ! Mais bon, ce n'est pas le coeur de l'exercice.
Pour la question 2 je saute.
Pour la 3, rappelle toi de tes formules de trigo :
sin(n+1) = sin(n)cos(1) + sin(1)cos(n)
Du coup, si tu supposes que la suite sin(n) converge vers L, que peux-tu dire de la suite cos(n) ? (isole cos(n) et passe à la limite dans cette égalité).

Après, je te laisse continuer.

dsl pour la question 1, je ne me suis pas relu mais vous comprenez cz que je veux dire

[invite78bdfa83]

ya même un truc marrant je crois par rapport a ces deux suites; c'est que l'ensemble de leur valeurs d'adhérences est égal a [-1;1].
Ce qui signifie que si l appartient a cet intervalle, on peut trouver une sous suite de (cos(n)) qui va converger vers l.
Je me trompe guyem???

[GuYem]

L'ensemble des sin(n) pour n entier est en effet dense dans [-1,1], ce qui montre bien que cette suite ne converge pas !
Tu préparerais pas l'agrèg toi ?

Titi, tu t'en sors pour la suite avec les indications données ?

[invite60a95147]

ben j'avoue que je patauge un peu, et je n'y arrive pas

[invite60a95147]

pour montrer que cos n ne peut diverger ver + ou - infini, est ce qu'il faut montrer que cos n converge, et si oui comment?

[invite35452583]

Pour la 3, rappelle toi de tes formules de trigo :
sin(n+1) = sin(n)cos(1) + sin(1)cos(n)
Du coup, si tu supposes que la suite sin(n) converge vers L, que peux-tu dire de la suite cos(n) ? (isole cos(n) et passe à la limite dans cette égalité).

Bonjour,
il semble que Guyem soit le seul à se rappeler que :
i) la méthode est imposée et non pas libre
ii) le résultat voulu est cos(n) et sin(n) n'ont pas de limite (ni le résultat plus faible "ne converge pas vers 0", ni "les points d'accu sont denses")


Titi06, ta méthode pour montrer que ni cos(n) ni sin(n) ne diverge vers est tout à fait correct (difficile de diverger ainsi si la suite reste bornée à [-1;1])

Pour le 3)a) suis la méthode indiquée par Guyem, elle est assez facile et tout à fait dans l'esprit de l'énoncé.
Pour le 3)b) la même méthode mais avec la formule de cos(n+1) qui correspond.
Pour le 3) c), tu auras obtenu au 3)a) une relation du type l'=a.l avec a un réel et au 3)b) une relation l=bl'. En utilisant les deux relations tu obtiens quelque chose du type l=truc fois l (ou l'= truc' fois l') avec truc distinct de 1. Seul l=0 peut vérifier une telle équation (à justifier). l'=bidule fois l donc si l=0, l'=?
Pour le 3)d), Tu as :
formule avec cos(n) et sin(n)=truc non nul
tu prends la limite, le memebre de gauche tend vers 0 (à justifier), le membre de droite tend vers truc non nul d'où contradiction.
Pour le 3)e) toute indication me semble inutile.