Salut,
si j'ai une fonction de C dans C et dérivable, alors elle est développable en série entière au voisinage de 0.
Qu'elle en est donc la raison?(qu'est ce qui fait marcher ce résultat, dans les grandes lignes)
Je trouve ce résultat assez intéressant, donc si vous avez des idées...
Voilou.
Bonne soirée.
Si tu entends par 'dérivable' 'dérivable au sens complexe en z=0, alors c'est juste. Ce qui fait marcher ce résultat c'est simplement queEnvoyé par Quinto
- ta fonction est dérivable en zéro comme fonction de IR^2 dans IR^2 (au sens qu'elle admet un contact d'ordre 1 avec une application affine)
- que la partie IR-linéaire de la fonction affine ci-dessus (cette parte linéaire se nomme dérivée en zéro de la fonction) n'est pas seulement IR-linéaire mais C-linéaire. La C-linéarité de la dérivée te donne l'analycité (non seulement la fonction est développable en série entière mais en plus ce développement converge uniformément vers la fonction) mais ce n'est pas trivial du tout.
Tu as raison de dire que le résultat est intéressant (je te trouve même euphémisant pour le coup) mais je ne vois pas ce que tu veux comme commentaire
Salut,
bein justement c'est pas évident du tout et tellement puissant à la fois que c'est comme une grosse claque ce résultat, et ce que j'aurai voulu c'est une sorte de shéma de démonstration.
Par exemple si je t'avais demandé pourquoi en dimension finie toutes les normes d'un R ev sont équivalentes, tu m'aurais dit par exemple qu'il suffit de se placer sur la boule unité, de remarquer qu'une norme est continue et qu'une application continue sur compact (la boule unité) atteint toujours ses extrema. Voilà le squelette de la démo.
J'aurai voulu un squelette de démo pour ce résultat qui me fascine au plus haut point (l'analyse complexe me fascine au plus au point de toute manière...)
Dans le genre fascinant mais peu utile:
si f(z)->+oo lorsque |z| tend vers +oo alors f est polynômiale.
Je ne connais pas trop l'analyse complexe, c'est pourquoi je disais que c'était un résultat non trivial
Ce que tu as donné pour l'équivalence des normes en dimension finie, ce n'est pas le squelette mais la démo entière
Comme je ne suis pas spécialiste, je ne suis pas sûr de ton affirmation. Quel critère vérifie f ? Parce que dans mon souvenir, aucune fonction holomorphe n'est bornée sur un ouvert connexe...
Ce qui est vrai, c'est que si f est polynomiale et non constante, alors f admet nécessairement un zéro. En effet, f est polynomiale donc analytique, et ainsi elle est ouverte. L'image d'un ouvert est donc un ouvert. De plus, il est facile de voir que f envoie un fermé sur un fermé. L'image de C est donc un ouvert fermé, non vide. Par connexité c'est C tout entier.
Salut,
tu me redémontres le théorème de Gauss par le théorème de Liouville sur les fonctions holomorphes là...
Bon en tout cas merci
Au fait, ce que mon théorème racconte, (je n'en suis pas sur ca fait longtemps) c'est que dès lorsque que le module de z tend vers +oo f(z) tend vers +oo.
C'est assez fort en ce sens que le module peut tendre vers l'infini de n'importe quelle manière.
ie dans n'importe quelle direction.
Par exemple exp(z) peut tendre vers +oo si on prend z réel et qu'on le fait tendre vers l'infini, mais ce n'est vrai que pour la direction suivant l'axe réel.
Dans ce que je racconte, c'est vrai dans n'importe quelle direction, je pense que c'est ca qui fait marcher la propriété.
J'essaierai de retrouver l'énoncé exact, mais je pense ne pas en etre loin....
C'est ce que je citais : une fonction bornée sur un ouvert connexe (pas forcément C tout entier) ne peut être holomorphe. Je ne sais plus ce qu'on appelle le théorème de Liouville (il me semble que c'est celui que je viens d'énoncer), le théorème que j'ai prouvé se nomme théorème fondamental de l'Algèbre. Comme il ressemble à ton résultat j'ai pensé bon de le citer.
Pour moi, c'est très vieux tout ça (c'est loooooooooooooin le premier cycle)
Salut,
bein moi je ne vois pas ca en 1er cycle mais en 2e cycle en fait...
Ensuite c'est marrant mais c'est exactement le théorème de Liouville que tu énonces justement et le théorème fondamental de l'algèbre est aussi celui que j'appelais théorème de Gauss (comme quoi on se comprend sans parler de la même manière)
Une fonction bornée ne peut pas etre holomorphe si elle n'est pas constante (liouville) mais ca ne veut pas dire que dès lors que son module tend vers l'infini alors |f(z)| tend vers l'infini, ca veut dire que selon une certaine direction au moins, ce n'est pas borné...
par exemple exp est holomorphe et est bornée par 1 suivant la direction x->ix si je ne m'abuse.
Donc |z|->+oo n'implique pas que |exp(z)|->+oo, il suffit de prendre la direction que je donne.
Je crois bien que c'est ca l'idée...
