L'ensemble Q et la discrétion. Paradoxe

[invité576543]

Et pourtant il existe une logique basée sur des langages infinis (je n'ai jamais étudié ce cas, donc je n'en sais pas plus (souvenir de plus de 35 ans)).

Logique dont on parler avec notre langage fini?

On ne peut pas s'en sortir! On peut imaginer un langage plus grand que les nôtres, mais on ne peut ni s'en servir, ni en parler autrement qu'avec notre langage fini.

On peut toujours regarder vers le haut, mais nos pieds restent au sol.

Cordialement,
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[invite986312212]

Si tu prends l'algo qui calcule , puis tu mets derrière l'algo qui calcule , puis tu fais la multiplication, eh bien cet algo ne fournit aucunement le résultat demandé, voilà ce que je voulais dire.

curieusement, j'ai été confronté à la même incompréhension un jour où j'exposais sur la théorie des processus de Markov.
un étudiant m'a dit: "mais comment peut-on faire des répétitions puisqu'on a déjà épuisé tout le temps pour la première réalisation du processus?"

[invite986312212]

Est-ce que ça veut dire que l'on peut générer des sur-ensembles Y de X dès que X est un ensemble qui admet un ordre avec la propriété "entre deux élements de X, il y a toujours un élément de X strictement entre eux" ? Si oui, est ce qu'il y en a des exemples explicites plus ou moins célèbres ?

il faut encore que X ne vérifie pas l'axiome de la borne supérieure (i.e. que X ne soit pas complet pour la topologie compatible avec l'ordre). D'ailleurs, quand elle veut augmenter l'ensemble des réels, l'Analyse Non-Standard recourt à une construction plus compliquée.

[Médiat]

Logique dont on parler avec notre langage fini?

Encore une fois je ne parle que d'une mémoire vieille de 35 ans, donc à prendre avec des pincettes :
On peut "facilement" augmenter le langage habituel du premier ordre avec :

1. un alphabet infini
2. autoriser les propositions de longueur infinie

Le cas N° 2 est couramment utilisé en logique du 1er ordre (étonnant non ?) dans la théorie des types ce qui a donné naissance à la théorie de la stabilité…

[spi100]

Néanmoins, il me semble qu'une définition peut être un algorithme. Donc je dois pouvoir continuer à parler de définition algorithmique d'un réel.

C'est la réciproque qui est fausse. Un nombre définit ne peut ne pas l'être par un algorithme (ni calculable, ni approximable). Juxtaposer les termes "définition" et "algorithme", reviens à faire comme si cette équivalence existait.