L'ensemble Q et la discrétion. Paradoxe

[invite06fcc10b]

, le temps nécessaire au calcul de deux boucles successives est le même que pour le calcul d'une seule boucle

Ah, ça, certainement pas ! Cette interprétation est manifestement abusive. Tu utilises l'expression "2 boucles successives" et je me tue depuis le début à démontrer qu'il ne peut y avoir de calcul dans la 2ème boucle si la première ne se termine pas.
Ce sont 2 boucles imbriquées ou calculables en parallèle si cela est possible, mais certainement pas successives.

A+,
Argyre
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[spi100]

Bonjour spi100,


Il y a 2 ans, j'avais effectivement tord et je l'ai reconnu. J'ai sans doute encore tord dans ce cas car je n'emploie pas toujours l'expression consacrée, mais il me semble qu'on pinaille et que ce n'est pas le problème. L'algorithme dont on parle comporte une boucle infinie, oui ou non ?

A+,
Argyre

En fait tu tournes autour du pot. L'algorithme dont tu parles est
"donner le nombre x avec une précision nulle", cette algorithme ne s'arrête jamais, forcemment. Ca soulève effectivement beaucoup de problèmes, dont entre autre ceux que tu cites.

Tu peux t'en sortir à condition de bien vouloir considérer, les algorithmes de la forme
"donner le nombre x avec une précision espsilon". Cette algorithme va s'arrêter pour la classe des nombres calculable, car tu peux estimer à chaque itération la valeur de l'erreur que tu commets (Ca n'est plus vrai pour pour la classe des nombres approximables - voir l'omega de Chaitin par exemple). Et là, on coutourne les problèmes que tu évoques :
-d'un point de vu théorique car le fait de moduler le espsilon permet de t'abstraire des limites d'une machine quelconque.
-d'un point de vu pratique, on n'a jamais à supposer que l'on possède des ressources infinies.

[invite06fcc10b]

Dire qu'il n'existe pas d'algo donnant en un nombre fini d'étapes une infinité de résultat est une remarque triviale que tu n'auras aucune difficulté à "maintenir",

Tu déformes mes propos, je n'ai jamais prétendu cela, même de loin.
Primo, je parle d'algorithmes qui ont une infinité d'étapes (et non pas fini).
Secondo, j'ai utilisé le terme séquentiel, que tu ne reprends pas, alors qu'il est fondamental.
Dans ces conditions, on ne peut que rester sur un dialogue de sourds. Peut-être faudrait-il passer en mode un peu plus constructif ?

Cordialement,
Argyre

[invite06fcc10b]

En fait tu tournes autour du pot. L'algorithme dont tu parles est
"donner le nombre x avec une précision nulle", cette algorithme ne s'arrête jamais, forcemment. Ca soulève effectivement beaucoup de problèmes, dont entre autre ceux que tu cites.

Tu peux t'en sortir à condition de bien vouloir considérer, les algorithmes de la forme
"donner le nombre x avec une précision espsilon".

Ok, mais je m'intéresse à la définition théorique des réels et ils ne sont pas définis avec une précision arbitrairement bonne, non ? Ils sont justement définis par des algorithmes comportant une boucle infinie. Cela ne me pose pas de problème particulier, sauf pour leur exploitation théorique.

A+,
Argyre

[Médiat]

Allons-y pas à pas.

Si tu prends l'algo qui calcule , puis tu mets derrière l'algo qui calcule , puis tu fais la multiplication, eh bien cet algo ne fournit aucunement le résultat demandé, voilà ce que je voulais dire.

L'algorithme qui calcule toutes les décimales ne fournit aucunement le résultat demandé ; si je me trompe, soit gentil, écrit ci-dessous le résultat de cet algorithme.

En fait, ce qui me semble important, c'est de bien comprendre que derrière un calcul sur les réels se cache parfois une difficulté qui n'est pas explicitée.

Il me semble qu'elle est parfaitement explicitée quand on a dit que le développement décimal de tel nombre n'est pas périodique à partir d'un certain rang.

En particulier, une question importante se pose : existe t-il des cas où une telle alternative n'existe pas ?

Dans la mesure où tous les algorithmes de calcul possèdent des tests de fins basés sur la précision obtenue, je ne vois pas comment le problème pourrait apparaître, en tout cas pour des calculs convergeant puisque à chaque étape on travaille avec des nombres rationnels (il existe un programme de calcul de fractal (dont on sait combien les problèmes de précision dans les calculs sont importants), qui s'appelle FRACTINT, parce les calculs se font exclusivement avec des entiers et une division à la fin (c'est beaucoup plus rapide)).

Il est clair que si je demande à un algorithme de calculer à l'aide d'algorithmes de calcul de , de , du sinus et du cosinus, je ne risque pas d'avoir le bon résultat, alors qu'un petit calcul symbolique sans boucle infinie me dit tout de suite pourquoi ce calcul est vain. Autre exemple : calculer en utilisant un algorithme de calcul des premières décimales de , puis un algorithme de multiplication serait un peu futile, d'où l'intéêt de toujours privilégier le calcul du mathématicien à celui du calculateur.

Une chose important à noter : en tant que mathématicien, je n'ai jamais utiliser autrement que sous cette forme sans jamais avoir à le calculer, mais en en connaissant les propriétés tout comme i (le nombre imaginaire pur), et là je suppose que l'idée de le calculer ne te viendrait pas.

[spi100]

Ok, mais je m'intéresse à la définition théorique des réels et ils ne sont pas définis avec une précision arbitrairement bonne, non ? Ils sont justement définis par des algorithmes comportant une boucle infinie. Cela ne me pose pas de problème particulier, sauf pour leur exploitation théorique.

A+,
Argyre

J'ai l'impression que tu mélanges algorithme et définition.

Un nombre est définissable dans un système formelle donné, si tu peux en donner une définition. Ca peut paraître un pléonasme, mais ça ne l'est pas si tu réalises que l'ensemble des nombres définissables est nécessaires dénombrable. Ca veut dire que la quasi-totalité des réels ne le sont pas (pour une axiomatique donné). Lorsque l'on parle de définition, effectivement on ne parle pas de précision.
Un nombre est calculable si tu peux en donner un algorithme qui permet de le calculer avec une précision arbitrairement fixée. Dans ce cas on ne parle plus de définition, mais bien de construire un nombre en suivant une séquence de procédures. La classe des nombres calculables est contenu dans celle des nombres définissables.
Certains nombres sont définissables sans être calculables, ça montre bien qu'un algorithme n'est pas une définition.

[Médiat]

Ah, ça, certainement pas ! Cette interprétation est manifestement abusive. Tu utilises l'expression "2 boucles successives" et je me tue depuis le début à démontrer qu'il ne peut y avoir de calcul dans la 2ème boucle si la première ne se termine pas.

Il faudrait que tu choisisses soit la première boucle ne se termine pas, et ton argumentation sur le thème "je peux calculer , mais pas utiliser dans des calculs", tombe parce que tu ne peux pas calculer ; soit tu dis je peux aller après l'exécution de ma boucle infinie, et dans ce cas là, je ne vois pas pourquoi tu peux aller au bout d'une boucle infinie et pas de deux, et ma remarque sur l'arithmétique transfinie s'applique.

A toi de choisir

[invite35452583]

En fait, ce qui me semble important, c'est de bien comprendre que derrière un calcul sur les réels se cache parfois une difficulté qui n'est pas explicitée.

Certes il y a une difficulté. Si ton propos est de dire que est plus diffile à manier que 9, mais est plus facile à manier que alors, pour ma part, je pense que l'on ne peut que te donner raison. Cela ne retire rien au fait que les opérations dans le corps des réels soient bien définies.
Non explicitée, un peu de oui et beaucoup de non.
Certes il n'y a pas de cours sur les nombres calculables contenant la preuve que ceux-ci sont stables pour les 4 opérations, les radicaux... contiennent en plus de rationnels, les racines des polynômes des polynômes à coefficients rationnels (et même des polynômes à coefficents calculables, corrigez moi si je me trompe mais je ne pense pas), les nombres pi, e, et toutes les racines des fonctions usuelles, les nombres= si a et b sont calculables et f est intégrable et f(x) est calculable pour tout x calculable ((corrigez moi si je me trompe mais je ne pense pas)...
Mais, dès la classe de seconde on essaie de faire comprendre aux élèves la différence entre le nombre et ses premières décimales (cet apprentissage est jumelé avec l'apprentissage de la calculatrice et de ses limites technologiques mais est fait quand même en partie au niveau théorique).
cette difficulté est une partie non négligeable des résultats et des recherches en analyse numérique, qui n'est pas peu développée.
Maintenant même des difficultés sur les entiers existent (même si elles ne sont pas tout à fait de même nature, elles sont liées aux limites technologiques) : "soit n le 10^(10^(10^10)-ème nombre", voilà qui définit n sans ambiguïté mais on n'en connaît même pas le moindre chiffre en notation décimale.
Et surtout, la principale difficulté théorique à appréhender n'est pas celle-ci (enfin du moins tant que l'on se contente de discuter de la faisabilité ou non des algorithmes, et non de les réaliser concrètement, ça c'est une autre paire de manche) mais que :
1) les réels sont plus "nombreux" que les calculables qui, eux, ne sont pas plus "nombreux" que les entiers naturels.
2) que bien que l'on ne connaisse pas leur valeur exacte dans le système décimal, par exemple, on peut montrer des égalités du type

Dans le cas présent, il est facile de trouver la parade, en proposant un nouvel algorithme comportant 1 seule boucle. Mais n'est-il pas surprenant que pour trouver le résultat d'une multiplication de 2 réels, tu proposes une alternative à l'algorithme séquentiel qui consiste à calculer le 1er terme, puis le 2nd et enfin la multiplication ?
En particulier, une question importante se pose : existe t-il des cas où une telle alternative n'existe pas ?
Cordialement,
Argyre

Surprenant ? Non, pourquoi ? j'ai un ouvrier qui doit découper une planche qui doit couvrir les deux distances suivantes 45.789.456/1.457.487 + 67.145.123/2.456.789 m (calcul exact effectué jusqu'ici grâce au plan), l'ouvrier n'a aucune envie d'attendre que j'ai calculé la séquence complète des deux termes (bon d'accord il aurait du calculer lui même sur place la distance mais bon il a oublié, par contre il sait faire des moulures que je serai incapable de faire en dessin sur papier ou assisté par ordinateur, donc je m'éxécute ) , j'ai un patron qui va me virer si je fais attendre l'ouvrier le temps d'effectuer un tel calcul, donc je calcule la 1ère au dixième de millimètre, la seconde aussi (bon d'accord avec plus de précision encore si je ne fais pas l'idiot et que je prends une calculette) je fais la somme des deux et j'annonce le résultat au millimètre. Un peu de sens pragmatique fait dire que si une méthode n'est pas bonne (et elle ne l'est déjà pas en pratique pour les calculs avec des rationnels, et elle ne l'est pas au niveau théorique car tous les réels ne sont pas calculables) alors il faut en changer sans trouver cela très surprenant (ce qui serait surprenant c'est que la 1ère méthode venue soit tout de suite la bonne, la vie serait simplifiée c'est vrai mais peut-être moins intéressante).
Maintenant, et j'en finirais là-dessus, pourquoi d'un point de vue pragmatique ne pas se limiter aux nombres calculables alors ? Finalement ce sont les seuls que l'on manipule réellement dans les applications. Certes, il y a des raisons historiques (les réels ont été définies avant les nombres calculables, certes c'était boîteux par manque de théorie des ensembles). Mais également pour raison pragmatique théorique et pratique : l'ensemble des calculables a une addition une mulitplication un ordre (si on se limite aux réels) mais il y a des trous. Cela a pour conséquence par exemple : si on trace un chemin fermé sur le plan des calculables (même de manière uniformément continue, dérivable et tout et tout) on passe de l'"""intérieur""" à l'extérieur de manière uniformément continue (ce qui contredit le sens pratique tant que l'on ait en macroscopique) on a le même inconvénient en volume, la simulation d'une casserole devient une passoire (c'est génant pour faire de la physique... sans parler de la cuisine ). Les propriétés théoriques dues à la complétude de R conjugué au besoin de la physique des milieux continus, notamment, font que l'on se compliquerait bien la vie si on ne s'autorisait pas la construction de R. Maintenant, l'aller-retour théorie-pratique a confirmé que l'utilisation du corps des réels donnait souvent de très bonnes simulations, dans certains sujets on commence à utiliser les p-adiques qui ont la même "difficulté" ses calculables sont beaucoup moins nombreux que ses éléments. Pour l'instant on peut dire que même si la matière n'était que finie ou dénombrable, le continu en est une très bonne imitation.

[invité576543]

Pour l'instant on peut dire que même si la matière n'était que finie ou dénombrable, le continu en est une très bonne imitation.

C'en est surtout un modèle (au sens physique) très efficace... Pas évident d'ailleurs que les attributs "finie" "dénombrable" "continu" soit pertinents pour la "matière". Mais ils le sont parfaitement pour les modèles physiques que nous utilisons...

Cordialement,

[Médiat]

Certes il n'y a pas de cours sur les nombres calculables contenant la preuve que ceux-ci sont stables pour les 4 opérations, les radicaux... contiennent en plus de rationnels, les racines des polynômes des polynômes à coefficients rationnels (et même des polynômes à coefficents calculables, corrigez moi si je me trompe mais je ne pense pas), les nombres pi, e, et toutes les racines des fonctions usuelles, les nombres= si a et b sont calculables et f est intégrable et f(x) est calculable pour tout x calculable ((corrigez moi si je me trompe mais je ne pense pas)...

Je ne pense pas que tu te trompes , on peut aussi ajouter les nombres dont le développement dans une base ou une autre est récursivement définissable, par exemple 0.01001000100001... etc (quelque soit la base). Cet ajout est, pour moi, fondamental car ce n'est plus (contrairement aux autres exemples que tu as donnés) une propriété intrinsèque du nombre qui le rend calculable, mais une propriété d'une de ses représentations ; sauf que si le développement dans une base est récursif, alors il l'est dans toutes les bases (puisque le passage de l'une à l'autre est récursif)), et pof la propriété redevient intrinsèque. Je sais bien que je viens d'écrire une chose et son contraire, mais c'est parce que cela continue de me troubler : cette propriété est intimement liée à la représentation du nombre (c'est assez normal puisque la calculabilité s'exprime au travers de la représentation), mais finalement elle est indépendante de la représentation choisie (parmi les numérations de position, mais en existe-t-il d'autres qui ne soit pas récursivement définissable à partir de celles-ci ?).

Ah, c'est malin, je vais aller me coucher avec un problème crétin dans la tête .

[invitec053041c]

Bonsoir.
En parlant de IQ (ça va hein ), je sais que je suis un peu en dehors des clous, mais quelqu'un peut-il me donner l'expression d'un rationnel compris entre deux réels quelconques x et y ?
Je me souviens qu'il y avait des parties entières, mais ça m'est sorti par la tête.
D'ailleurs, quelle est la définition de : A dense dans B ?
Pour tous x,y appartenant à B et x<y, il existe a appartenant à A tq x<a<y ?
Merci.

[invitebb921944]

A est dense dans B si tout élément x de B est limite d'une suite d'éléments de A

[invitec053041c]

A est dense dans B si tout élément x de B est limite d'une suite d'éléments de A

Merci , donc ma définition avec les x<a<y est erronée...D'un côté, il existe un réel entre 2 rationnels, pourtant IR n'est pas dense dans IQ (enfin je suppose ). Je me demande s'il ne faut pas avoir nécéssairement AcB (inclus) pour obtenir cette propriété de densité ?
Comment montre-t-on alors la densité de IQ dans IR ?

[invite06fcc10b]

Bonsoir,

J'ai l'impression que tu mélanges algorithme et définition.

Effectivement, d'après ce que tu dis, j'ai mélangé les concepts et calculable doit être remplacé dans mes posts par définissable.
Néanmoins, il me semble qu'une définition peut être un algorithme. Donc je dois pouvoir continuer à parler de définition algorithmique d'un réel.
Et sinon, qu'est-ce que ça change à mon raisonnement ?
Si dans la définition algorithmique d'un nombre réel il y a une récursivité sans fin, je persiste à croire qu'on ne peut pas utiliser cette définition dans un calcul. Comme le disent Mediat et homotopie, il est facile de se débrouiller pour trouver une autre définition algorithmique du réel qu'on veut calculer, en particulier en exploitant le calcul formel qui simplifie grandement les choses.
En y réfléchissant, je n'ai pas trouvé d'exemple simple où l'abus de langage que je subodore est pris en défaut. Il semble que dans le cas général, on peut effectivement toujours remplacer 2 boucles infinies successives par une seule boucle infinie, ce qui valide donc tous les calculs faits avec des réels.

Pour conclure, je voudrais quand même faire un parallèle avec la physique. Si la physique est mathématisable, si un objet a une position définie par des coordonnées réelles, et que ces coordonnées évoluent dans le temps, le problème que j'évoque depuis le début de ce fil a des conséquences importantes. En premier lieu, les coordonnées réelles ne peuvent être explicitement calculées par une quelconque définition algorithmique, sinon il ne peut y avoir évolution de ces coordonnées. Dit autrement, il ne peut y avoir "d'application numérique", contrairement à ce qu'on nous enseigne en physique à tous les niveaux. Il y a donc là un problème de représentation.
En revanche, tout réel peut garder une définition symbolique, c'est ce que tout le monde n'arrête pas de me dire, idem pour l'infini.

Bon, je vous laisse méditer là-dessus.

Bonne soirée,
Argyre

[invite06fcc10b]

Bonsoir.
En parlant de IQ (ça va hein ), je sais que je suis un peu en dehors des clous, mais quelqu'un peut-il me donner l'expression d'un rationnel compris entre deux réels quelconques x et y ?

Soit n la nième décimale qui différencie x et y.
Le rationnel (x+y)/2 arrondi à la nième+1 décimale est compris entre x et y.

Bonsoir,
Argyre

[invitebb921944]

Merci , donc ma définition avec les x<a<y est erronée...D'un côté, il existe un réel entre 2 rationnels, pourtant IR n'est pas dense dans IQ (enfin je suppose ). Je me demande s'il ne faut pas avoir nécéssairement AcB (inclus) pour obtenir cette propriété de densité ?
Comment montre-t-on alors la densité de IQ dans IR ?

Oui, au temps pour moi, A inclu dans B est dense (dans B) si pour tout x de B, il existe une suite d'éléments de A qui tend vers B.

Tout réel s'écrit :
x=ao,a1a2a3a4....

Il suffit de prendre la suite Sn=Somme(ai/10^i) pour i allant de 0 à n.
Lorsque n tend vers l'infini, Sn tend vers x ! (et ai/10^i est bien entendu rationnel, puis une somme de rationnel est un rationnel)

Soit n la nième décimale qui différencie x et y.
Le rationnel (x+y)/2 arrondi à la nième+1 décimale est compris entre x et y.

Bin ouais mais (x+y)/2 c'est pas un rationnel si ?

[invitec053041c]

Merci beaucoup !

[invitebb921944]

Je vois pas en quoi (x+y)/2 est un rationnel là ca me stresse !
Ah si, puisque c'est un arrondi, son développement décimal est périodique à partir d'un certain rang, c'est donc un rationnel !

[invite35452583]

Merci , donc ma définition avec les x<a<y est erronée...D'un côté, il existe un réel entre 2 rationnels, pourtant IR n'est pas dense dans IQ (enfin je suppose ). Je me demande s'il ne faut pas avoir nécéssairement AcB (inclus) pour obtenir cette propriété de densité ?
Comment montre-t-on alors la densité de IQ dans IR ?

Ta définition est moins erronée que tu ne crois : elle n'est valide que pour les ensembles ordonnées (muni de la topologie de l'ordre, aïe je crois que ça risque de coincer, bon disons que cette propriété et pour une sous-partie A de R elles sont équivalentes, mais elle n'a aucun sens par exemple sur C).
En effet, on ne parle de densité que pour une sous-partie.
Et Argyre t'a répondu pour le dernier point en utilisant l'équivlanece sus-évoquée. Pour la définition par les suites (valide uniquement pour les espaces avec une métrique mais bon R en fait partie donc définition valable), pour x réel tu prends xn=le décimal à n décimales dont la partie entière et les n premières décimales sont les mêmes que x. (On a donc par deux voies montrer que non seulement Q mais également les décimaux sont denses dans R)

[invitec053041c]

D'accord je vois maintenant, c'est compris !
Merci beaucoup pour ces réponses, c'est très aimable à vous.

[Médiat]

En effet, on ne parle de densité que pour une sous-partie.

Il y a deux définitions différentes

1. un ensemble ordonné est dense (pas besoin de sous-ensemble)
2. un espace topologique est dense dans un sur-ensemble

est dense pour l'ordre naturel et dense dans pour la topologie naturelle (liée à l'ordre naturel, bien sur), mais pas dans

[Médiat]

Comme le disent Mediat et [...], il est facile de se débrouiller pour trouver une autre définition algorithmique du réel qu'on veut calculer, en particulier en exploitant le calcul formel qui simplifie grandement les choses.

Je précise ma position (c'est pourquoi j'ai gommé un nom) :
Nombre calculable : nombre pour lequel il existe un algorithme pour calculer toutes les décimales (disons en base 10, ce qui n’est pas une perte de généralité), ce qui ne veut pas dire que cet algorithme va au bout, mais qu’il n’est pas limité dans le nombre de décimales qu’il peut calculer.
Nombre définissable : il existe une formule du langage de l’arithmétique (disons dans un langage idoine pour éviter les arguties) qui identifie ce nombre (il est le seul à vérifier cette formule)
Tous les nombres calculables sont définissables, le contraire n’est pas vrai, l’exemple le plus connu est de Chaitin.
Il existe strictement plus de non définissables que de définissables (donc que de calculables)
Les nombres algébriques ( par exemple) sont calculables ; et quelques autres transcendants (plus les sous-corps de qu’ils engendrent) sont calculables.
Lorsque l’on fait des mathématiques ou de la physique théorique on a tout intérêt à faire des calculs symboliques le plus longtemps possible (et en tant que mathématicien, je n’ai jamais eu à aller plus loin), en tant qu’expérimentateur ou de maçon (par exemple) on a tout intérêt à utiliser une approximation qui soit raisonnée (cf. les « déboires » de Lorentz). Si un architecte demande une maison de deux étages (5 mètres de haut) dont la façade soit dans le divin rapport et que le chef de chantier vienne dire : «Il faut une façade de 8,090169944 mètres de large» au lieu de dire «Il faut une façade de 8,10 mètres de large», il faut lui faire signer immédiatement le montant des pénalités en cas d’écart entre le prévu et le réalisé (ce qui posera des problèmes de mesure d’ailleurs).

Si on veut parler de l’effectivité, alors il est impossible de calculer en un temps fini (et mmy a raison de faire remarquer que le calcul ne serait pas le seul problème), si par là on veut dire calculer toutes les décimales (l’algorithme n’aboutit jamais car il lui faut exécuter un nombre infini d’instructions dont la durée est minorée). Par contre on peut calculer avec n décimales exactes pour tout n fixé à l’avance (ce qui reste théorique, car comment calculer plus de décimales qu'il y a de particules dans l'univers ?), et dans ce cas il n’y a aucun problème à utiliser ce résultat dans un autre calcul (il faut faire attention au calcul d’erreur et bien prévoir n en fonction de la précision demandée du résultat).

Si on veut parler de théorie et accepter l’idée que l’on peut calculer toutes les décimales de en un temps secondes, alors pourquoi ne pas accepter l’idée que « après » ces secondes, on peut ajouter à nouveau secondes, le tout ne faisant au total « que » secondes (comme dirait Woody Allen : l’éternité c’est long, surtout sur la fin).

Pour illustrer le paragraphe précédent, imaginons une machine (magique) capable de calculer la nième décimale de en un temps de secondes (et dont la mémoire est infinie), alors le calcul de prendra 2 secondes, celui de , 2 secondes aussi, il ne reste plus qu’à faire la multiplication…

[Médiat]

un temps de secondes

Arrgh, je me suis pris les pieds dans un tapis de Latex, je voulais écrire

[invité576543]

Si on veut parler de théorie et accepter l’idée que l’on peut calculer toutes les décimales de en un temps secondes, alors pourquoi ne pas accepter l’idée que « après » ces secondes

Il y a une raison, disons "naïve" ou intuitive, totalement informelle. peut être perçu comme "adhérent" au physiquement possible, mais pas . On peut "presque" atteindre l'infini, mais comme on ne peut pas l'atteindre, on peut aller strictement plus loin.

Cordialement,

[Médiat]

Il y a une raison, disons "naïve" ou intuitive, totalement informelle. peut être perçu comme "adhérent" au physiquement possible, mais pas . On peut "presque" atteindre l'infini, mais comme on ne peut pas l'atteindre, on peut aller strictement plus loin.

Oui, oui, c'est exactement ce que je dis : soit on dit que l'on peut atteindre et dans ce cas je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas atteindre ou ; soit on dit que l'on ne peut pas atteindre .

J'aime bien cette analogie de l'adhérence au possible, qui est sans doute la source du problème, idée d'adhérence que l'on retrouve bien dans la formulation de Turing pour définir les calculables (l'algorithme permet de calculer toutes les décimales, et non permet de calculer n décimales pour tout n)

[invité576543]

on peut aller strictement plus loin.

lire "on ne peut pas aller strictement plus loin."

[invité576543]

Bonjour,

A part ça, la deuxième moitié de ce fil n'a l'air d'être que des variantes autour des deux problèmes majeurs posés par l'infini, l'un étant l'infini en tant que "réalité", que "possible" (et le dénombrable, le plus petit des infinis, suffit pour se poser la question), l'autre étant l'apparente contradiction entre la dénombrabilité (au mieux) des discours mathématiques, ou définitions, ou algorithmes, ou formules, ou prédicats, et la non-dénombrabilité de certains ensembles dont les objets sont ainsi manipulés (et le premier cas devrait être les parties de N (donc les plus simples des fonctions sur un ensemble infini, celles de N dans {0,1}), mais manifestement les réels parlent plus à l'imagination). (Est-ce que ce deuxième point est lié au paradoxe de Skolem?)

Vu le volume de la littérature sur ces sujets, ce fil va pouvoir continuer un bon bout de temps...

Cordialement,

[Médiat]

(Est-ce que ce deuxième point est lié au paradoxe de Skolem?) [/SIZE]

Oui et Non (en tout cas pas un lien fort), car les paradoxe de Skolem est généralement cité avec le dénombrable (c'est le plus frappant) mais on peut aussi l'exprimer en disant qu'il existe des modèles de cardinal de la théorie des ensembles dont certains ensembles sont de cardinal , et comme sur cet exemple nous sommes totalement disjoints du dénombrable, nous sommes aussi disjoints de l'expressivité du langage. Maintenant le fait que c'est à dire que la complexité du langage n'augmente pas la complexité du modèle joue surement un rôle (c'est dire que ce que j'écris ici n'a rien à voir avec une démonstration) dans le paradoxe de Skolem. A tout hasard, le théorème de Löwenheim s'applique aux théories récursivement axiomatisable (le dénombrable joue donc bien un rôle).

HTH

[invité576543]

mais on peut aussi l'exprimer en disant qu'il existe des modèles de cardinal de la théorie des ensembles dont certains ensembles sont de cardinal

Truc typique où mon manque de "maîtrise" de la notion de modèle me fait perdre pied.

Quoi qu'il en soit, il n'existe à ma connaissance aucune "mathématique" dont le langage serait plus grand que le monoïde libre sur un alphabet fini. Cela dépasse totalement l'entendement humain, il me semble. Pour moi, cela signifie que toute la mathématique au sens humain inclut cette "contrainte" qu'est celle du dénombrable de ce que l'on peut exprimer.

Dans la phrase ci-dessus, "théorie des ensembles" implique pour moi aleph0 par son simple statut de "théorie". Ce qui m'amène à ne pas comprendre :

sur cet exemple nous sommes totalement disjoints du dénombrable, nous sommes aussi disjoints de l'expressivité du langage

Si cela veut dire que "modèle" peut se comprendre comme un "langage", je vois cela comme des "maths au carré", parler d'un hypothétique impossible langage utilisé pour parler d'un hypothétique impossible encore plus grand. Avec évidemment la fuite en avant (et dans l'abîme) qui en découle, tout le long des ordinaux...

Cordialement,

[Médiat]

Quoi qu'il en soit, il n'existe à ma connaissance aucune "mathématique" dont le langage serait plus grand que le monoïde libre sur un alphabet fini. Cela dépasse totalement l'entendement humain, il me semble. Pour moi, cela signifie que toute la mathématique au sens humain inclut cette "contrainte" qu'est celle du dénombrable de ce que l'on peut exprimer.

Et pourtant il existe une logique basée sur des langages infinis (je n'ai jamais étudié ce cas, donc je n'en sais pas plus (souvenir de plus de 35 ans)).