L'ensemble Q et la discrétion. Paradoxe

[invite06fcc10b]

explicite l'abus de langage dont tu parles pour le réel suivant pris au hasard : .

Racine de 2 est défini comme le nombre qui, multiplé par lui-même, vaut 2. Il existe un algorithme qui permet de calculer ce réel, comme pour tous les réels. En général, on se sert d'une suite dont les termes tendent vers ce nombre. Bien évidemment, cet algorithme comporte une boucle infinie, de sorte que le calcul ne s'arrête jamais. Ainsi, si on veut calculer par exemple *, on se trouve confronté au même problème que pour : il n'existe aucun algorithme capable de calculer * (de manière séquentielle s'entend, c'est à dire le 1er terme, puis le 2ème, puis la multiplication), ce qui montre bien qu'il y a un blème quelque part.

PS : En te relisant j'ai le sentiment que tu as un point de vue d'informaticien (boucle, affectation, etc.) me trompè-je ?

Oui, bien sûr, je suis informaticien, je l'ai déjà signalé sur ce forum ... et j'en suis fier ! En fait, je suis spécialiste d'I.A.

A+,
Argyre
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[invité576543]

En particulier, il est donc possible de remplacer toute constante par le nombre ou le calcul qu'il représente.

Je comprend bien "remplacé par le calcul qu'il représente", mais je ne comprend pas "remplacé par le nombre qu'il représente". Un symbole se remplace par une autre écriture symbolique, et c'est ce que je comprend dans "calcul" ici, mais "nombre" n'indique pour moi aucune écriture symbolique particulière: le symbole d'origine fait autant l'affaire que quoi que ce soit d'autre.

Encore raté ...

Je ne cherche pas à réussir quoi que ce soit. C'est un peu insultant de le présenter ainsi (mais tu dois en avoir aussi pas mal à mon actif dans le même registre...)

Alors je redonne la définition de x déjà donnée dans un autre post :
quel que soit y dans ]0;1[, x > y et x <1
Cette définition n'est pas ambigüe que je sâche ? Je sais c'est impossible.

Impossible implique ambigu pour moi. L'inverse d'ambigu c'est "un et un seul élément", ni 0, ni 2 ou plus.

Mais précisément, voilà l'exemple d'un nombre dont la définition est
claire mais qui ne peut exister.

Absolument pas d'accord. Elle n'est pas claire, puisqu'elle ne définit rien.

Quelle différence cela fait-il avec +1 ?

La différence est que ça existe!

Bien sûr que 9 est aussi un symbole. Mais comme je l'ai précisé plus haut, les opérateurs tels que + - * cos etc. ont comme arguments des éléments d'un certain ensemble. Donc, tout symbole utilisé comme argument doit in fine représenter un élément de cet ensemble. 9 est par définition un élément de l'ensemble, tartempion non, à moins que tartempion soit un symbole représentant un élément de l'ensemble ou un calcul d'un élément de cet ensemble, en quel cas il doit être possible de le remplacer dans l'expression. est dans le même cas.

Non. Il y a des opérateurs et constantes non remplaçables, des symboles primitifs. 0 et s() dans l'arithmétique avec les notations de Médiat, par exemple. Dans toutes les maths on peut se ramener aux symboles primitifs, et une fois cela fait, ce que tu dis ne marche plus.

2 c'est s(s(0)). Une fois que tu as ça, qu'en fais-tu?

Tu peux à la rigueur voir cela comme l'écriture canonique du résultat d'un calcul ; ca marche sur N, Q ou même A (1). Auquel cas, tout ce que tu dis depuis le début est simplement qu'il n'y a pas d'écriture canonique générique et finie d'un élément de R, ce qui est une conséquence triviale du fait que R n'est pas dénombrable. Et alors?

Cordialement,

(1) Pour les entiers, c'est une représentation physique: dans le cas cité, c'est le nombre de parenthèses fermantes (par exemple). Pour les autres cas, la notion d'écriture canonique est bien plus arbitraire.

[spi100]

Ainsi, si on veut calculer par exemple *, on se trouve confronté au même problème que pour : il n'existe aucun algorithme capable de calculer * (de manière séquentielle s'entend, c'est à dire le 1er terme, puis le 2ème, puis la multiplication), ce qui montre bien qu'il y a un blème quelque part.

Il y a un blème dans la façon dont tu présentes les choses.

Si tu veux déterminer * avec une précision ARBITRAIREMENT petite. Tu peux par exemple vérifier que pour inférieur à 1, il suffit de connaitre et avec la précision , puis procéder à la multiplication.

Là, on a bien construit un algorithme qui te permet de construire * avec une précision ARBITRAIREMENT !!!! petite, à partir des deux algorithmes de calcul de et .

[Médiat]

Il existe un algorithme qui permet de calculer ce réel, comme pour tous les réels.

Désolé d'être brutal, mais ceci est faux, il existe strictement plus de réels que d'algorithmes.

En général, on se sert d'une suite dont les termes tendent vers ce nombre. Bien évidemment, cet algorithme comporte une boucle infinie, de sorte que le calcul ne s'arrête jamais. Ainsi, si on veut calculer par exemple *, on se trouve confronté au même problème que pour : il n'existe aucun algorithme capable de calculer * (de manière séquentielle s'entend, c'est à dire le 1er terme, puis le 2ème, puis la multiplication), ce qui montre bien qu'il y a un blème quelque part.

Un algorithme doit s'arrêter, je suppose donc que si tu acceptes l'idée que est calculable par un algorithme, c'est que tu admets un test de sortie de la boucle infinie, qui devient finie, même chose avec ; l'algorithme de multiplication de deux nombres décimaux est fini, le résultat de est donc accessible en un nombre fini d'étapes (tout ce que je viens d'écrire constitue une périphrase de ce qu'à écrit spi100). J'ajouterais que les calculs d'erreurs permettent de prévoir la précision nécessaire pour le calcul de et de pour obtenir une précision donnée pour le produit.

Oui, bien sûr, je suis informaticien, je l'ai déjà signalé sur ce forum ... et j'en suis fier ! En fait, je suis spécialiste d'I.A.

Etant informaticien en plus d'être mathématicien, je ne vois aucune raison d'avoir honte, comme je l'avais signalé dans la ligne qui suit celle que tu as citée (dans l'original).

[invité576543]

il n'existe aucun algorithme capable de calculer *

L'interprétation "calculer un nombre" = "en lister toutes les décimales" se confirme message après message.

Toute question demandant un nombre infini de réponses demandera un calcul infini. Et "lister toutes les décimales" demande une infinité de réponse.

Nul besoin de prendre un nombre ou un autre, la phrase ci-dessus est une évidence.

Et je ne comprend pas cette obnubilation sur les décimales, autrement que par la recherche, nécessairement vaine, d'une écriture canonique pour les réels.

Si tu considères que l'absence d'écriture canonique implique quelque chose, explicite ce quelque chose. Et en alternative tu peux choisir de te limiter à des axiomatiques des maths interdisant le continu (e.g., suppression de l'axiome de l'ensemble des parties, mais ça risque d'avoir pas mal d'effets collatéraux...).

Cordialement,

[invited5b2473a]

Bonjour !
Le fait d'utiliser le symbole Pi, c'est comme utiliser le symbole 1 pour l'unité.

D'ailleurs, dans la base Pi, Pi vaut 1 !!

[invite91dcd19b]

désolé médiat mais c'est logique de dire qu'il existe plus de réel que d'algorithmes, alors ...

[invite9c9b9968]

désolé médiat mais c'est logique de dire qu'il existe plus de réel que d'algorithmes, alors ...

Et ? A quoi réponds-tu ici ?

[Médiat]

désolé médiat mais c'est logique de dire qu'il existe plus de réel que d'algorithmes, alors ...

Si tu trouves que ce que je dis est logique, c'est plutôt rassurant, inutile d'être désolé.

[invité576543]

D'ailleurs, dans la base Pi, Pi vaut 1 !!

Non. Pi s'écrit 10 en base Pi. "Un" s'écrit 1 dans tout système de notation positionnelle, et la base s'écrit 10 dans tout système de notation positionnelle.

Cordialement,

[Médiat]

Non. Pi s'écrit 10 en base Pi. "Un" s'écrit 1 dans tout système de notation positionnelle, et la base s'écrit 10 dans tout système de notation positionnelle.

Evidemment, tu as raison, il ne reste plus qu'à imaginer la forme des doigts et des mains des enfants qui compte en base

[invite06fcc10b]

Bonsoir,

Dans toutes les maths on peut se ramener aux symboles primitifs, et une fois cela fait, ce que tu dis ne marche plus.

2 c'est s(s(0)). Une fois que tu as ça, qu'en fais-tu?

Très bien, encore mieux !!!
Tout doit pouvoir se ramener à 0, s(0), s(s(0)) etc etc
Donc 9 se ramène bien à un calcul comportant des symboles primitifs.
Maintenant, comment fais-tu pour les réels ?

Tu peux à la rigueur voir cela comme l'écriture canonique du résultat d'un calcul ; ca marche sur N, Q ou même A (1). Auquel cas, tout ce que tu dis depuis le début est simplement qu'il n'y a pas d'écriture canonique générique et finie d'un élément de R, ce qui est une conséquence triviale du fait que R n'est pas dénombrable. Et alors?

Et alors, c'est faux, il existe une écriture canonique, et encore heureux, sinon, on n'accepterait pas les réels. Cette écriture passe par un petit ensemble de fonctions récursives, qui forment la base des algorithmes et à partir desquelles tout algorithme peut se ramener.
Et la particularité de ces algorithmes, c'est qu'ils comportent une boucle qui ne se termine pas, ou, si tu préfères, une récursivité infinie. D'ailleurs, on sent bien que pour l'infini, on a effectivement s(s(s(......s(0))))... qui est une suite non terminée de fonctions successeurs imbriquées. Mais cette notation n'est pas rigoureuse, car les 3 petits points ne sont pas correctement formalisés. Si on formalise cela correctement, on a effectivement une suite d'opérations qui ne se termine pas.
Et note bien que je n'ai jamais dit que ces algorithmes étaient mal formalisés, pas du tout. En revanche, ce qui pose problème, c'est le fait de rajouter une étape de calcul à un algorithme qui ne se termine pas.
Dans l'écriture canonique, on aboutit à un algorithme qui boucle à l'infini sur la fonction successeur et qui ne peut passer à l'étape suivante de calcul.

Cordialement,
Argyre

[invite06fcc10b]

Bonsoir,

Désolé d'être brutal, mais ceci est faux, il existe strictement plus de réels que d'algorithmes.

A priori, ça métonnerait ...

Un algorithme doit s'arrêter, je suppose donc

Ah ? Ca commence mal ... tu te limites à la classe des algorithmes qui s'arrêtent, pourquoi donc ? Et vu que tout ton raisonnement part de là, commençons donc par ce point.

En ce qui concerne la remarque de Spi100 concernant la précision arbitrairement bonne, il me semble qu'on est dans le hors-sujet. La question n'est pas d'avoir un décimal avec une bonne précision, mais d'avoir un algorithme qui calcule un réel de façon exacte. Ces algorithmes existent, par exemple est calculable au sens de la calculabilité, je ne vois pas pourquoi il faut se contenter d'une approximation, aussi proche soit-elle. Je maintiens donc que
n'est pas calculable de façon séquentielle.

A+,
Argyre

[invité576543]

Evidemment, tu as raison, il ne reste plus qu'à imaginer la forme des doigts et des mains des enfants qui compte en base

Il y avait eu un fil sur la base . J'en avais conclu que cela pouvait avoir un sens. Mais chaque nombre a une infinité de représentations, ce qui ne peut que compliquer sérieusement l'utilisation de ces représentations...

Cordialement,

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Je viens de prendre cette longue conversation en cours, et j'avoue n'avoir pas lu tous les messages en entier, mais je tenais à faire part de la façon dont, je crois, sont construits les rééls.

D'abord, on construit N, via les axiomes de Péano, avec la fonction successeur, tout ça tout ça. Il y a manifestement des logiciens bien meilleurs que moi qui participent à cette discussion, et je leur fais confiance pour détailler cette construction au besoin.

Ensuite, on construit Z, qu'on identifie à l'ensemble N*N des couples (a,b) quotientés par la relation d'équivalence (a,b)R(c,d) ssi b-a = d-c, ou plus prosaiquement puisque la soustraction n'est pas encore clairement défini
b+c = a+d. Ainsi, il est clair que tout élément de Z est calculable puisqu'il est par construction une classe d'équivalence de N^2.

Ensuite on construit Q comme l'ensemble des couples de Z*Z\{0} quotienté par la relation d'équivalence (a,b)R(c,d) ssi a/b = c/d ou plutot (là encore la division n'est pas encore clairement défini) comme ad = cb. Là encore, Q est clairement calculable.

Ensuite on munit Q d'une norme. Clairement il existe plusieurs normes sur Q (valeur absolue, norme p-adique etc, mais ça importe peu), et on définit R comme l'ensemble des suites de Cauchy à valeur dans Q quotienté par la relation d'équivalence (u_n) R (v_n) ssi la suite (u_n -v_n) tend vers 0 (c'est bien défini, c'est une suite à valeur dans Q), ce qui revient à dire que (u_n) et (v_n) ont la même limite même si on n'a pas encore le droit de le dire puisque Q n'est pas complet.
Ainsi, R est identifié à une classe d'équivalence d'un ensemble énumérable (les suites de Cauchy) et tout élément est donc calculable (après j'ai pas dit que ça se faisait en un temps dénombrable, soyons clair, l'ensemble des suites de Cauchy à valeur dans Q est surement plus que dénombrable, même si j'avoue ne pas avoir la patience d'en exhiber une preuve).

Bon, il est probable que j'ai raté un bout du problème, mais j'espère que cela apporte quand même une petite pierre à l'édifice.

Au passage, pour voir tout ça mieux raconter, je recommande le Jacobson, Algebra, disons les 100 premières pages je crois bien. C'est un peu chiant mais je pense qu'il faut l'avoir vu au moins une fois, après tout on travaille avec R si souvent...

__
rvz

[invité576543]

Je maintiens donc que
n'est pas calculable de façon séquentielle.

Mais tu ne réponds pas au point tout bête que tu parles d'un algo ayant une infinité de résultats (pour moi chaque décimale est UN résultat). Dire qu'il n'existe pas d'algo donnant en un nombre fini d'étapes une infinité de résultat est une remarque triviale que tu n'auras aucune difficulté à "maintenir", qui ne dit rien d'intéressant sur les algos, mais beaucoup sur le but de l'algo.

Cordialement,

[invité576543]

Bonsoir,

Désolé d'être brutal, mais ceci est faux, il existe strictement plus de réels que d'algorithmes.

A priori, ça m'étonnerait ...

C'est pourtant le cas. Du moins si tu te limites non pas aux algos s'arrêtant, mais aux algos qui sont décrits par un texte fini.

Combien d'algo connais-tu qui ne sont pas de cette catégorie? Si ce n'est pas nul, peux-tu m'en communiquer un exemple ?

Cordialement,

[invite9c9b9968]

Ensuite on construit Q comme l'ensemble des couples de Z*Z\{0} quotienté par la relation d'équivalence (a,b)R(c,d) ssi a/b = c/d ou plutot (là encore la division n'est pas encore clairement défini) comme ad = cb. Là encore, Q est clairement calculable.

On peut aussi passer par la construction via les sections commençantes ouvertes de Q, ce qui donne tout de suite l'axiome de la borne supérieure.

[invited5b2473a]

Non. Pi s'écrit 10 en base Pi. "Un" s'écrit 1 dans tout système de notation positionnelle, et la base s'écrit 10 dans tout système de notation positionnelle.

Cordialement,

Oups au temps pour moi! J'ai pas fait attention. Effectivement Pi vaut 10 dans la base Pi.

[spi100]

mais d'avoir un algorithme qui calcule un réel de façon exacte.

Cette phrase n'a absolument aucun sens. Je te renvoie comme il y a deux ans, à la définition de ce qu'est un nombre calculable :

Un nombre pour lequel il existe un algorithme permettant d'en donner un nombre arbitrairement grand de décimales exactes.

[Médiat]

A priori, ça métonnerait ...

Heureusement que tu n'as pas perdu ton pouvoir d'étonnement, je parie que de nombreux mathématiciens pourront te confirmer que <

Ah ? Ca commence mal ... tu te limites à la classe des algorithmes qui s'arrêtent, pourquoi donc ? Et vu que tout ton raisonnement part de là, commençons donc par ce point.

Alors là je ne te comprends plus du tout, tu dis que est calculable tout en sachant qu'il faut un nombre infinie d'étapes pour être précis, et que tu n'en verras jamais la fin, mais que n'est pas calculable séquentiellement alors que :

1. séquentiellement n'est pas un critère mathématiques, je peux très bien faire une boucle et non deux successives pour faire ce calcul
2. qui se calcule en une seule boucle aussi
3. , le temps nécessaire au calcul de deux boucles successives est le même que pour le calcul d'une seule boucle

[invite6b1e2c2e]

On peut aussi passer par la construction via les sections commençantes ouvertes de Q, ce qui donne tout de suite l'axiome de la borne supérieure.

Salut,

Qu'est ce que c'est, les sections commençantes ouvertes ? Je ne connais pas cette construction. C'est les {x < a} avec a rationnel ? Et on en fait quoi après ?

Ca sonne comme une construction liée à l'existence d'un ordre. C'est marrant, parce que la construction que j'avais proposé reposait plutot sur l'existence d'une métrique. Je serai curieux d'en savoir plus.

__
rvz

[invite35452583]

Salut,

Qu'est ce que c'est, les sections commençantes ouvertes ? Je ne connais pas cette construction. C'est les {x < a} avec a rationnel ? Et on en fait quoi après ?

Ca sonne comme une construction liée à l'existence d'un ordre. C'est marrant, parce que la construction que j'avais proposé reposait plutot sur l'existence d'une métrique. Je serai curieux d'en savoir plus.

__
rvz

Pas tout à fait tes {x<a}, ces éléments sont les rationnels chez les sections commençantes ouvertes. Les sections commençantes ouvertes sont les sous-parties X non vides de Q vérifiant :
i) pour tout x de X et tout y de Q, y<x=>x est dans X (commençante)
ii) pour tout x de X, il existe y dans X tel que x<y (ouverte)
Une fois les réels construits, X=sup(X'), où X' est l'image par l'injection des rationnels chez ces réels.
L'addition est par exemple définie par X+X'=intérieur de X+X'
C'est une des constructions de R pour laquelle la preuve d'une des propriétés de R équivalentes à la complétude de R (existence de la borne sup en l'occurence) est presque triviale. Par contre, la multiplication est pénible à définir.
c'est une version un peu allégée des coupures de Dedekind.
ii)

[invite35452583]

Au fait le lien entre la métrique ("naturelle") et l'ordre chez R vient de si a, b et c sont trois réels, ona toujours une des relations suivantes qui est vraie : d(a,b)=d(a,c)+d(b,c), d(a,c)=d(a,b)+d(b,c), d(b,c)=d(a,b)+d(a,c) (et une seule si a, b et c sont distincts). Si d(a,b)=d(a,c)+d(b,c) on dit que c est entre a et b.
Les positifs sont 1, ceux qui sont entre 0 et 1, ceux pour lesquels 1 est entre eux et 0...

[invite9c9b9968]

Euh.... J'allais répondre et homotopie m'a devancé, merci homotopie

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Et merci pour tes explications, comme toujours très clarifiantes. Juste encore un truc que je n'ai pas trop compris (j'ai déjà entendu parler des coupures de Dedekind, mais je ne sais pas ce que c'est): Est-ce que ça veut dire que l'on peut générer des sur-ensembles Y de X dès que X est un ensemble qui admet un ordre avec la propriété "entre deux élements de X, il y a toujours un élément de X strictement entre eux" ? Si oui, est ce qu'il y en a des exemples explicites plus ou moins célèbres ?

Amicalement,
__
rvz

Au fait le lien entre la métrique ("naturelle") et l'ordre chez R vient de si a, b et c sont trois réels, ona toujours une des relations suivantes qui est vraie : d(a,b)=d(a,c)+d(b,c), d(a,c)=d(a,b)+d(b,c), d(b,c)=d(a,b)+d(a,c) (et une seule si a, b et c sont distincts). Si d(a,b)=d(a,c)+d(b,c) on dit que c est entre a et b.
Les positifs sont 1, ceux qui sont entre 0 et 1, ceux pour lesquels 1 est entre eux et 0...

[invite9c9b9968]

i) pour tout x de X et tout y de Q, y<x=>x est dans X (commençante)

Petite faute, mais que vous aurez tous rectifié

En effet c'est

[invite35452583]

Petite faute, mais que vous aurez tous rectifié

En effet c'est

Tout à fait.

Salut,

j'ai déjà entendu parler des coupures de Dedekind, mais je ne sais pas ce que c'est

C'est presque la même chose mais un réel est défini par deux sous-parties une commençante et une finissante disjointes et telles que l'union des deux est égal à Q (sauf éventuellement un point quand la coupure se fait sur un rationnel) (il y a ceux avant la coupure et ceux après la coupure)

Est-ce que ça veut dire que l'on peut générer des sur-ensembles Y de X dès que X est un ensemble qui admet un ordre avec la propriété "entre deux élements de X, il y a toujours un élément de X strictement entre eux" ? Si oui, est ce qu'il y en a des exemples explicites plus ou moins célèbres ?

A priori (après m'être récaitulé les deux constructions de tête, je les connaît assez bien, je ne vois pas l'ombre d'un problème pour généraliser, et puis j'ai déjà vu des trucs qui tournent autour de ces idées, mais c'est à prendre quand même au conditionnel) on doit avoir au moins ceci si X est un groupe abélien ordonné (cela sous-entend que les deux propriétés sont compatibles ce qui revient à a<b => a+c<b+c pour tout c, cela sous-entend aussi que l'ordre est total) alors on peut le compléter dans un sens généralisé. Déjà il y a une topologie : celle de l'ordre (une base de voisinage ouverts est l'ensemble des ]a;b[).
On peut alors le compléter dans un sens généralisé dans deux sens possibles :
+ Y est un sur-groupe ordonné de X vérifiant l'axiome de l'existence de la borne supérieure (on le construit sur le modèle des sections commençantes, )
+ Z est un sur-groupe ordonné de X complet dans un sens généralisé de "les suites de Cauchy convergent", une suite de Cauchy devient une suite (zn) telle que pour tout x>0 il existe N tel que max(Z(N+p)-Z(N), Z(N)-Z(N+P))<x pour tout p. La construction est calquée sur la construction des réels par les suites de Cauchy rationnels. (Là aussi il n'y pas de problème pour généraliser).
S'il y a en plus une structure d'anneau ou de corps celle-ci passe à l'extension.
Pour les deux X est dense mais ils ne sont pas nécessairement égaux (entends isomorphes). Car, si il n'y a aucune partie dénombrable dense dans X (X est non séparable) alors atteindre l'endroit d'une coupure par une suite d'éléments de X n'est pas nécessairement possible. Mon intuition me dit que Y isomorphe à Z doit être équivalent à X séparable.
Comme exemple explicite plus ou moins célèbre, je n'ai que R à te proposer (Y et Z sont isomorphes et sont des corps)
J'ai donc oublié de dire que le fait que Q dénombrable soit dense est important voir primordial.

Amicalement

PS : on s'éloigne quand mêm beaucoup du sujet initial

[invite06fcc10b]

séquentiellement n'est pas un critère mathématiques, je peux très bien faire une boucle et non deux successives pour faire ce calcul

Séquentiellement est un mot de la langue française, qui a un sens clair, non ?
Si tu prends l'algo qui calcule , puis tu mets derrière l'algo qui calcule , puis tu fais la multiplication, eh bien cet algo ne fournit aucunement le résultat demandé, voilà ce que je voulais dire.
Et si j'ai écrit séquentiellement, c'est précisément pour éviter que quelqu'un me propose un autre algorithme qui calcule directement et correctement le résultat ... ce que tu as fait.
En fait, ce qui me semble important, c'est de bien comprendre que derrière un calcul sur les réels se cache parfois une difficulté qui n'est pas explicitée.
Dans le cas présent, il est facile de trouver la parade, en proposant un nouvel algorithme comportant 1 seule boucle. Mais n'est-il pas surprenant que pour trouver le résultat d'une multiplication de 2 réels, tu proposes une alternative à l'algorithme séquentiel qui consiste à calculer le 1er terme, puis le 2nd et enfin la multiplication ?
En particulier, une question importante se pose : existe t-il des cas où une telle alternative n'existe pas ?
Cordialement,
Argyre

[invite06fcc10b]

Bonjour spi100,

Cette phrase n'a absolument aucun sens. Je te renvoie comme il y a deux ans, à la définition de ce qu'est un nombre calculable :

Un nombre pour lequel il existe un algorithme permettant d'en donner un nombre arbitrairement grand de décimales exactes.

Il y a 2 ans, j'avais effectivement tord et je l'ai reconnu. J'ai sans doute encore tord dans ce cas car je n'emploie pas toujours l'expression consacrée, mais il me semble qu'on pinaille et que ce n'est pas le problème. L'algorithme dont on parle comporte une boucle infinie, oui ou non ?

A+,
Argyre