L'ensemble Q et la discrétion. Paradoxe

[Petithassane]

Q est un ensemble discret. C' est à dire que quelque soit deux rationnels, si proches soient-ils, on peut toujours trouver un autre rationnel entre ces deux.

Démonstration claire de cette propriété :
représntons Q par un plan : NXN; en abscisse les "x", en ordonnées les "y". Ici x et y sont des entiers naturels.
Chaque point a comme coordonnées (y,x). y est le numérateur et x est le dénominateur de la fraction : y/x.
Le point (y,x) figure donc bien un rationnel et tous les rationnels possibles sont sur ce plan et même représentés plusieurs fois.

Considérons maintenant les axes "verticaux" parallèles à l' axe des "y".
Voyons les rationnels représentés sur la verticale qui passe par x=1, l' axe V(1). Nous trouvons, entre autre deux points : (0,1)soit le nombre "0" et (1,1) soit le nombre "1".
Sur V(1) il n' y a pas de points entre 1 et 0. Mais si l' on passe sur V(2), "0" est figuré par (0,2) et "1" par (2,2). Et là il y a un point entre ces deux : c' est (1,2) soit 1/2 ou 0,5.
De même, sur V(2), il n' y a pas de points entre 1/2 soit (1,2) et 0 soit (0,2). Mais si l' on passe sur V(4), 1/2 est figuré par (2,4) et 0 par (0,4). Et entre ces deux nombres il y a (1,4) soit 1/4. Ainsi de suite.
Pour mettre en évidence un rationnel entres deux autres si proches soient-ils, il suffit d' augmenter "x" de V(x). Et comme il y a une infinité de "x", les entiers naturels, on pourra toujours trouver un rationnel entre deux autres si proches soient-ils.

Q est donc bien discret, je crois qu' on dit encore troué.

Paradoxe.

Le nombre 0,9| , c' est à dire avec une infinité de 9 derrière la virgule est égal à 1. Intuitivement cela peut paraitre bizarre. Certains l' ont contesté sur d' autres fils. Pour s' en convaincre, représentez vous l' intervalle ouvert ]0,1[. Il semblerait bien que 0,9| soit le plus grand élément de ]0,1[. Ce qui est impossible puisque ]0,1[ n' a pas de plus grand élément. Donc il faut bien se résoudre au fait que 0,9|=1.

Mais 0,9| est la limite d' une suite convegeant vers 1. La suite est :
U(n)=Sigma pour i=1 à n, des 9/(10^i)
Tant que n, n' atteind pas l' infini, U(n) est un rationnel différent de 1. Mais à l' infini U(n)=1. Autre façon de dire, il n' y a plus de rationnel entre U(n) et 1.
Terminé le caractère discret de Q.

Et c' est pareil pour toutes les suites convergeantes.

Qui peut m' expliquer ça, s' il vous plait ?
-----

[Médiat]

Q est un ensemble discret. C' est à dire que quelque soit deux rationnels, si proches soient-ils, on peut toujours trouver un autre rationnel entre ces deux.

En fait cela est la définition d'un ensemble dense et non discret (c'en est même un peu le "contraire").

A part cela tu viens de démontrer (d'une façon douteuse) qu'il n'y a pas de rationnel entre 0.9| et 1, c'est à dire que 0,9| = 1

[Petithassane]

Alors, c' est quoi la définition de la discrétion de Q ?

[invitebe0cd90e]

mais Q n'est pas un ensemble dscret. Z en est un, par exemple.

la definition d'un ensemble discret, en gros, c'est que si tu considere un "bout" de "taille" finie de cet ensemble, alors il contient un nombre fini de point. Or, l'intervalle [0,1] contient une infinité de rationnel, donc pas discret.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Alors, c' est quoi la définition de la discrétion de Q ?

avec sa topologie habituelle n'est pas discret, mais dense.

EDIT : Grillé (Salut jobhertz )

[Petithassane]

Bien. Je la ramène un petit peu encore une fois.

Vers la fin du XIX siècle, des étudiants ont posé une question à un grand mathématicien français. Il s' agissait de se représenter un escalier dont le nombre de marches deviendrait infini alors que la taille de l' escalier resterait la même. L' escalier est une ligne brisée, mais pour les étudiants, si le nombre de marches devient infini, l' escaler devient une droite. Et entre deux mêmes points, la longueur d' une ligne brisée est plus grande que celle d' une droite. En fait, ils sousentendaient qu' une suite constante, dans ce cas, n' avait plus comme limite la constante.
Le mathématicien a répondu que non, car même à l' infini les points de l' escalier ou de la ligne brisée, restent discrets, ce qui fait que la longueur n' est pas celle de la droite qui elle est continue.


Reprenons avec une autre représentation.
Soit deux points A et B, situés aux angles opposés d' un carré de côté "a".
Imaginons une suite de chemins pour aller de A à B.

1ier chemin : a horizontal, plus a vertical = 2a
2ième chemin : 1/2 a horizontal + 1/2 a vertical +1/2 a horizontal(h) +1/2 a vertical(v) = 2a
3ième chemin : 1/4 a(h)+ 1/4 a(v) 4 fois de suite ,ça fait toujours 2a au total.

En fait le nième chemin a pour longueur :
1/(2^n) x a x 2 x n
A l' infini la limite de cette suite est 2a d' après la formule. Donc la constante de cette suite constante. Normale.

Mais, si on se représente les choses géométriquement, on voit que le 1ier chemin est le demi périmètre du côté, le 2ième est comme un escalier à 2 marches, le 4ième, 4 marches, ainsi de suite. Et plus il y a de marches, plus on se rapproche de la diagonale du carré.
La diagonale du carré a pour longueur a x racine carrée de 2.
Donc, géométriquement, il semblerait que cette suite constante de 2a, ait pour limite quand n tend vers l' infini :
a racine de 2.

Précédement, on a bien vu que pour n infini la discrétion "disparait". Alors pourquoi cette suite reste constante, à l'infini bien qu' elle se rapproche de la diagonale, ce qui ressemble à une convergence.

[invitebe0cd90e]

ca n'est pas une question de discretisation. ca vient simplement du fait, grossirement, que l'application "longueur" n'est pas continu, cad que 2 courbe "infiniment proches" peuvent etre de longueur tres differentes....

[invite06fcc10b]

Bonjour,

Mais, si on se représente les choses géométriquement, on voit que le 1ier chemin est le demi périmètre du côté, le 2ième est comme un escalier à 2 marches, le 4ième, 4 marches, ainsi de suite. Et plus il y a de marches, plus on se rapproche de la diagonale du carré.

En maths, "on se rapproche", ça ne veut rien dire. Pour effectuer une comparaison, il faut un critère formellement défini.

La diagonale du carré a pour longueur a x racine carrée de 2.
Donc, géométriquement, il semblerait que cette suite constante de 2a, ait pour limite quand n tend vers l' infini :
a racine de 2.

Je pense que tu peux trouver dans ce cas un critère qui te permettra de dire qu'il y a effectivement une égalité entre 2 choses, mais tu ne pourras rien inférer de plus, ce qui fait que tout reste cohérent. Dit autrement, il semble ce que tu veux et tu peux le démontrer, mais tu ne pourras certainement pas démontrer que cette suite converge vers autre chose que 2a.


Cordialement,
Argyre

[invite986312212]

Alors pourquoi cette suite reste constante, à l'infini bien qu' elle se rapproche de la diagonale, ce qui ressemble à une convergence.

c'est une convergence ponctuelle: la suite de courbes converge point par point (on dit aussi "presque partout" mais ici c'est partout). Cette convergence n'entraîne pas celle des longueurs, comme le prouve ton exemple. Il y a d'autres "paradoxes" dans ce genre et c'est pour les résoudre qu'a été élaborée la théorie de l'intégration.

anecdote: j'avais un ami qui était pion dans un collège. De temps à autre le principal lui faisait remplacer un prof de maths absent, alors qu'il avait juste un bac. Un jour il m'avoue qu'il ne comprend pas pourquoi le segment ouvert ]0,1[ a la même longueur que le segment fermé [0,1] alors que manifestement le premier est strictement inclus dans le second...

[Médiat]

Un jour il m'avoue qu'il ne comprend pas pourquoi le segment ouvert ]0,1[ a la même longueur que le segment fermé [0,1] alors que manifestement le premier est strictement inclus dans le second...

Dans le genre "paradoxe" celui qui est très connu et très démonstratif :
Entre deux rationnels il y a toujours au moins un réel non rationnel
Entre deux réels non rationnels il y a toujours au moins un rationnel
Et pourtant il y a strictement plus de réels non rationnels que de rationnels (et même un paquet de plus )

[invite06fcc10b]

Dans le genre "paradoxe" celui qui est très connu et très démonstratif :
Entre deux rationnels il y a toujours au moins un réel non rationnel
Entre deux réels non rationnels il y a toujours au moins un rationnel
Et pourtant il y a strictement plus de réels non rationnels que de rationnels (et même un paquet de plus )

Hum, il me semble qu'on peut aller plus loin dans la polémique :
Par exemple, prenons y=racine de 2
et prenons x défini par racine de 2 multiplié par la somme de n=1 à l'infini des termes (1/2)ⁿ.
Donnez moi un rationnel qui soit entre x et y !

Argyre

[Médiat]

Hum, il me semble qu'on peut aller plus loin dans la polémique :
Par exemple, prenons y=racine de 2
et prenons x défini par racine de 2 multiplié par la somme de n=1 à l'infini des termes (1/2)ⁿ.
Donnez moi un rationnel qui soit entre x et y !

Ce serait comme demander de trouver un réel strictement compris entre 1 et 0.9

[invite06fcc10b]

Ce serait comme demander de trouver un réel strictement compris entre 1 et 0.9

Oui, bon, tu vas me dire que ces nombres sont égaux ...
Alors disons les choses autrement :
Soit x le nombre réel dans l'intervalle ]0;1[ défini par :
quel que soit y, y<x

Et maintenant je réitère ma question, trouvez un nombre rationnel entre x et 1 ...

A+,
Argyre

[Médiat]

Soit x le nombre réel dans l'intervalle ]0;1[ défini par :
quel que soit y, y<x

Et maintenant je réitère ma question, trouvez un nombre rationnel entre x et 1 ...

Comme x n'existe pas (donc n'est pas un nombre réel) la question n'a pas de sens.

[invite06fcc10b]

Comme x n'existe pas (donc n'est pas un nombre réel) la question n'a pas de sens.

Oui, mais il faut le montrer.
En fait, quel que soit x dans ]0;1[, il suffit de prendre (x+1)/2 pour avoir un
nombre plus grand que x tout en restant inférieur à 1
Et donc effectivement, il est impossible de définir x comme le plus grand élément de cet intervalle.

Néanmoins, j'aimerais bien revenir à la définition mathématique de l'infini. J'avais lu un jour quelque part que cette définition était tout à fait ad hoc et qu'on pouvait très bien travailler dans un autre cadre où l'infini serait défini autrement.

A+,
Argyre

[Médiat]

De quoi parles-tu ?

• L'infini tel qu'il est utilisé en analyse pour les limites
• Les points à l'infini des espaces projectifs
• La classe des ordinaux infinis
• La classes des cardinaux infinis
• Les entiers non standards

Tout cela fait beaucoup d'infinis différents ...

[invite986312212]

Néanmoins, j'aimerais bien revenir à la définition mathématique de l'infini. J'avais lu un jour quelque part que cette définition était tout à fait ad hoc et qu'on pouvait très bien travailler dans un autre cadre où l'infini serait défini autrement.

est-ce que ce n'est pas vrai de toutes les notions mathématiques? (qu'on pourrait les définir autrement et qu'alors on travaillerait dans un autre cadre)

[invite06fcc10b]

De quoi parles-tu ?

• L'infini tel qu'il est utilisé en analyse pour les limites
• Les points à l'infini des espaces projectifs
• La classe des ordinaux infinis
• La classes des cardinaux infinis
• Les entiers non standards

Tout cela fait beaucoup d'infinis différents ...

Effectivement, je fais allusion à l'infini pour la définition de l'ensemble des entiers naturels et des opérations qui y sont liées. Tout le reste me semble en découler.
Quelque part, la notion même d'infini est dérangeante, parce qu'elle présuppose l'existence de quelque chose de non fini, alors même que nous ne sommes pas capables d'en exhiber un seul exemple de manière explicite. Un ensemble infini est toujours défini à l'aide d'un ensemble fini de symboles, et donc, il me semble qu'il y a un abus à considérer que cet ensemble est effectivement infini.
En relisant sur le web quelques définitions d'infini, je vois par exemple qu'on a la propriété suivante :
Soit k un infini spécifique :
quel que soit x, on a x+k = k
Cela me parait un choix comme un autre. Un autre choix serait par exemple de refuser l'addition avec le nombre infini (qui en vérité serait le plus grand nombre théorique des entiers naturels, sans être "infini"). L'addition ne serait tout simplement pas un opérateur applicable au terme k. Et néanmoins, on pourrait avoir ce k comme résultat d'une addition ou d'un autre calcul.
D'autres propriétés impliquent d'autres théorèmes. Une telle formalisation est-elle possible ?

A+,
Argyre

[spi100]

Quelque part, la notion même d'infini est dérangeante, parce qu'elle présuppose l'existence de quelque chose de non fini, alors même que nous ne sommes pas capables d'en exhiber un seul exemple de manière explicite

Je considère une séquence de A, quelque soit la séquence que l'on me présente, je rajoute un A au début.

Je ne peux pas imaginer une séquence composée d'une infinité de A, mais me dire que l'infini n'existe pas devrait me forcer à imaginer qu'à partir d'un certain nombre de A, je ne pourrais plus en ajouter alors que je ne vois aucune raison que ma procédure s'arrête (dans un monde abstrait bien sûr).

[Médiat]

Soit k un infini spécifique :
quel que soit x, on a x+k = k

Il faut se méfier de ce genre d'affirmation.
Pour les ordinaux, n'est pas égal à (par contre , c'est d'ailleurs le plus petit ordinal qui vérifie cela et c'est pourquoi on le dit infini).
Alors que pour les cardinaux (c'est d'ailleurs le plus petit cardinal qui vérifie cela )

et sont respectivement le plus petit ordinal et le plus petit cardinal infini.

Si tu veux en savoir plus tu peux faire une recherche sur le net sur ordinaux et cardinaux, ou poser des questions ici-même.

[invite06fcc10b]

Bonsoir,

Je considère une séquence de A, quelque soit la séquence que l'on me présente, je rajoute un A au début.

Je ne peux pas imaginer une séquence composée d'une infinité de A, mais me dire que l'infini n'existe pas devrait me forcer à imaginer qu'à partir d'un certain nombre de A, je ne pourrais plus en ajouter alors que je ne vois aucune raison que ma procédure s'arrête (dans un monde abstrait bien sûr).

Et voilà le hic, tu es obligé de rajouter ... dans un monde abstrait !
En fait, le dilemme est dans la construction. Pour que l'infini existe, on est obligé de le construire (par exemple en itérant sur la fonction successeur) sans qu'il soit possible de s'arrêter. Or, si on ne s'arrête pas de construire, on ne peut pas exploiter ce nombre pour calculer le résultat d'une addition. Et il me semble que cela n'a rien à voir avec le temps, c'est plus fondamental que ça. L'infini est défini par une suite infinie de calculs. Or si cette suite est infinie, on ne peut pas faire un autre calcul après, il ne sera jamais fait !
En fait, l'infini n'existe pas dans le sens où le processus qui le détermine ne se termine pas.
Par exemple, un maçon construit une maison et ne la termine jamais. D'un certain point de vue, on peut dire qu'elle n'existera donc jamais, non ?
Pourquoi ne pas faire pareil dans le cas présent ?
En fait, il n'y a pas de plus grand élément, d'accord, mais il n'y a pas non plus d'infini, c'est ça l'idée.

Pour les ordinaux, w+1 n'est pas égal à w (par contre 1+w=w, c'est d'ailleurs le plus petit ordinal qui vérifie cela et c'est pourquoi on le dit infini).

Aïe, va falloir que je revois des choses oubliées ...
Les entiers naturels sont des ordinaux, non ?
Quoi qu'il en soit, que penses-tu de ma remarque ? Ne peut-on considérer que w n'est pas encore déterminé (par calcul ou par construction) et que donc il n'est pas légitime de l'intégrer dans un autre calcul ... qui ne sera jamais fait ! ?

A+,
Argyre

[spi100]

Par exemple, un maçon construit une maison et ne la termine jamais. D'un certain point de vue, on peut dire qu'elle n'existera donc jamais, non ?
Pourquoi ne pas faire pareil dans le cas présent ?

Pas tout à fait pareil. Pour prendre un exemple plus simple, dans les entiers naturels, l'infini réside dans le fait que si tu me donnes un nombre quelconque alors je pourrais toujours t'en proposer un autre plus grand ... à moins que tu aies un contre-exemple

[Médiat]

Quoi qu'il en soit, que penses-tu de ma remarque ? Ne peut-on considérer que w n'est pas encore déterminé (par calcul ou par construction) et que donc il n'est pas légitime de l'intégrer dans un autre calcul ... qui ne sera jamais fait ! ?

Il y a peut-être simplement un manque d'habitude chez toi de manipuler ces notions (un de mes profs de maths à la fac, il y a 35 ans (Choquet, je crois) disait : "l'abstrait en maths, c'est ce qui devient concret au bout de deux ans".)
n'est pas déterminé par calcul (personne ne connais toutes ses décimales), contestes-tu néanmoins son existence ? Te refuses-tu à tout calcul avec , par exemple pour écrire ?
Tout cela pour dire que est pour moi, parfaitement déterminé (comme pour toi), c'est l'ordinal limite égal à l'union de tous les ordinaux finis ; tu peux l'identifier à en tant qu'ensemble ordonné (les ordinaux sont des ordres comme leur nom l'indique(des bons ordres pour être plus précis)).
On peut "voir" (mais je peux être plus rigoureux, si tu le désires) que rajouter un point avant le 0 ne change rien (donne une structure isomorphe) à (toujours en tant qu'ordre), alors que rajouter un point après tous les nombres entiers (un point plus grand que tous les entiers) change tout, n'a pas de plus grand élément, en a un, donc impossible de trouver un isomorphisme entre les deux.

[invité576543]

n'est pas déterminé par calcul (personne ne connais toutes ses décimales), contestes-tu néanmoins son existence ?

Il me semble que c'est plus subtil que cela. A mon sens, est bien déterminé par calcul, au sens où il est déterminé par les calculs qu'il est possible de faire avec. Personne ne connait toutes ses décimales, certes, mais le point pertinent est que qui que ce soit (avec un peu d'effort) peut connaître une décimale dont le rang est donné. C'est le même point que celui de Spi: ce n'est pas ce qu'on a fait qui est pertinent, mais ce qu'on peut faire, après abstraction de contingences matérielles.

Vu comme ça, l'existence de est incontestable parce qu'il n'y a pas d'ambigüité sur ce qu'on doit en faire dans un calcul.

La même approche s'applique à , au "détail" près que les règles déterminant ce qu'on appelle un "calcul" impliquant ne sont pas exactement celles s'appliquant aux nombres usuels, finis, entiers ou réels. Il me semble que l'ambigüité du mot "calcul" fait partie des sources de confusion.

Cordialement,

[spi100]

Les mathématiques intuitionnistes, je crois, refuse de définir les ensembles en terme d'intentions et ne formulent les ensembles que sous forme extensive (explicite). Je ne sais pas du tout comment ça marche, mais d'après ce que j'ai compris ça a la même puissance d'expression que le formalisme classique. La position d'Agyre, se rapproche de ça (il me semble).

[invité576543]

Sinon, une question naïve, portant sur le premier message de ce fil:

Y-a-t-il une définition de "discret" autre que "muni de la topologie discrète"? Sinon, R est tout aussi discret que N!

Comment traduire alors formellement la notion intuitive de "N est discret, R ne l'est pas"? (Il sera plus simple de s'occuper de Q une fois cela clair!)

J'ai l'impression que la notion importante est plutôt l'idée des topologies que l'on peut mettre sur R, qui apparaissent plus riches que celles qu'on peut mettre sur N. Comment cela se formalise-t-il?

Cordialement,

[Médiat]

Vu comme ça, l'existence de est incontestable parce qu'il n'y a pas d'ambigüité sur ce qu'on doit en faire dans un calcul.

Je n'ai rien dit d'autre

La même approche s'applique à ,

C'est très exactement ce que je voulais montrer.

au "détail" près que les règles déterminant ce qu'on appelle un "calcul" impliquant ne sont pas exactement celles s'appliquant aux nombres usuels, finis, entiers ou réels. Il me semble que l'ambigüité du mot "calcul" fait partie des sources de confusion.

Certes les règles sont différentes, mais tout aussi déterminées et rigoureuses. n'est pas un nombre réel, les règles des nombres réels n'ont pas à s'appliquer.
Les règles usuelles s'appliquant aux nombres entiers ou réels ne s'appliquent pas aux quaternions, encore moins aux octonions et encore moins aux sédénions, cela ne retire aucune "stabilité" à la définition de ceux-ci.

[Médiat]

Sinon, une question naïve, portant sur le premier message de ce fil:

Y-a-t-il une définition de "discret" autre que "muni de la topologie discrète"? Sinon, R est tout aussi discret que N!

Comment traduire alors formellement la notion intuitive de "N est discret, R ne l'est pas"? (Il sera plus simple de s'occuper de Q une fois cela clair!)

J'ai l'impression que la notion importante est plutôt l'idée des topologies que l'on peut mettre sur R, qui apparaissent plus riches que celles qu'on peut mettre sur N. Comment cela se formalise-t-il?

Comme je l'ai écrit dans le message #5, n'est pas discret pour sa topologie usuelle, il va de soi qu'en le munissant de la topologie discrète il devient discret, les topologies usuelles sur sont basées sur la distance euclidienne, avec cette même définition est discret, pas , ni

[invite06fcc10b]

Bonjour,

Il y a peut-être simplement un manque d'habitude chez toi de manipuler ces notions (un de mes profs de maths à la fac, il y a 35 ans (Choquet, je crois) disait : "l'abstrait en maths, c'est ce qui devient concret au bout de deux ans".)
n'est pas déterminé par calcul (personne ne connais toutes ses décimales), contestes-tu néanmoins son existence ? Te refuses-tu à tout calcul avec , par exemple pour écrire ?

Tu me demandes si je me refuse à tout calcul avec ? Ne peux-tu toi-même en tirer les conséquences ?
Dans un autre fil, j'avais déjà fait la remarque que le calcul de au moyen d'une procédure ne se terminait jamais. Et par conséquent, il n'est pas possible d'adjoindre une autre procédure de calcul derrière. D'un point de vue algorithmique, on voit très bien que le calcul qui est derrière n'est jamais réalisé, car on a une boucle infinie avant.
En particulier, on peut remarquer que même en disposant d'un temps infini pour faire le calcul, on resterait enfermé dans cette boucle.
Si je suis cohérent avec ce que je viens de dire, il n'est donc pas possible d'inclure dans un calcul, car le symbole représente en réalité un calcul non terminé.
(En vérité, c'est plus compliqué car il faudrait voir si le calcul peut se faire en parallèle, mais bon, pour l'instant restons-en là).
Donc, je persiste et je demande ce que tu penses, sur le fond, de ma remarque, car finalement, tu y as répondu par une autre question !

Tout cela pour dire que est pour moi, parfaitement déterminé (comme pour toi),

L'exemple est donc mal choisi ....

C'est le même point que celui de Spi: ce n'est pas ce qu'on a fait qui est pertinent, mais ce qu'on peut faire, après abstraction de contingences matérielles.

Ces contingences me paraissent tout ce qu'il y a de plus immatérielles ! Les contraintes algorithmiques, par exemple l'existence d'une boucle infinie, sont purement théoriques, non ?
En vérité, je suis d'accord sur une chose : en première approximation, on peut faire comme si le calcul s'arrêtait effectivement, ce qui est bien utile et permet de calculer plein de choses intéressantes. Mais on fait ces calculs à l'aide d'un symbole, en se ramenant finalement aux propriétés du nombre, sans chercher à expliciter les calculs.
En revanche, je maintiens (ou je reste perplexe) qu'il y a tout de même abus de langage. est déterminé par un calcul qui comporte une boucle infinie, et le symbole représente ce calcul mais ne le supprime pas, donc tout calcul qui vient après n'est jamais réalisé.

A+,
Argyre

[invité576543]

Comme je l'ai écrit dans le message #5, n'est pas discret pour sa topologie usuelle, il va de soi qu'en le munissant de la topologie discrète il devient discret, les topologies usuelles sur sont basées sur la distance euclidienne, avec cette même définition est discret, pas , ni

Ca c'est clair.

Maintenant, peut-on dire que "R n'est pas discret" au sens où on peut le munir d'une topologie aux propriétés particulières, et "N est discret" au sens où on ne peut pas le munir d'une topologie ayant ces propriétés là?

Je ne parlais pas de la topologie usuelle, mais du choix offert en terme de topologies dans les deux cas.

Cordialement,