L'ensemble Q et la discrétion. Paradoxe

[invité576543]

Dans un autre fil, j'avais déjà fait la remarque que le calcul de au moyen d'une procédure ne se terminait jamais.

En le disant brutalement, on est en train de dire que la notion de "calcul de " n'a pas de sens.

Tout le reste de ton message découle de l'usage d'une notion qui n'existe pas.

Cordialement,
-----

[Médiat]

Nous sommes d'accord que ne peut être calculé avec toutes ses décimales en un temps fini, même chose pour , est-ce que cela en fait pour autant des êtres mathématiques mal défini ou inutilisable ? En poussant un peu le raisonnement, 1/3 est parfaitement défini puisque je n'utilise que deux entiers pour en parler, n'empèche que tu ne peux écrire toutes ses décimales (en base 10).

Je te propose de reformuler le problème que te pose qui n'est pas un nombre entier et ne se comporte pas comme un nombre entier, nous sommes d'accord, mais qui est quand même rigoureusement défini.

Si tu rejettes toutes les procédures mathématiques où interviennent l'infii ou une limite, tu es mal (pas de trigonométrie, pas d'exponentiel ou de logarithme, etc.)

[invité576543]

Nous sommes d'accord que ne peut être calculé avec toutes ses décimales en un temps fini

Qu'on ne peut calculer toutes les décimales de en un temps fini. C'est plus clair.

D'autant qu'on peut pas lire ou entendre toutes les décimales de en un temps fini, ou les écrire sur un support fini. Même pas besoin d'invoquer un calcul! Ca montre le côté aberrant du concept.

Cordialement,

[Médiat]

"N est discret" au sens où on ne peut pas le munir d'une topologie ayant ces propriétés là?

Soit une bijection de .

Et soit la distance sur définie par , alors n'est pas discret pour la topologie induite par cette distance.
Et la relation d'ordre sur induite par celle de grace à , c'est un ordre dense sans extremums, parfaitement isomorphe à par construction.
C'est donc bien la notion "usuelle", ou "canonique" qui fait dire que est discret, et non l'impossibilité d'y définir une autre topologie (même si celle-ci est loin d'être naturelle).

[invite06fcc10b]

Qu'on ne peut calculer toutes les décimales de en un temps fini. C'est plus clair.

Mais non, désolé, vous parlez de temps de calcul, or ça n'a rien à voir avec le temps. Je le redis encore une fois, l'algorithme de calcul de comporte une boucle infinie.
J'essaie d'être plus explicite, cette boucle est du style :
A: N <-- N+1
B : faire calcul 1
C : faire calcul 2 ...
D : mémoriser nième décimale de
E : Aller en A

Et le symbole est une représentation symbolique de ce calcul (what else ?).
Par conséquent, quand on écrit (x = +1), on peut expliciter cela de la façon suivante :
A: N <-- N+1
B : faire calcul 1
C : faire calcul 2 ...
D : mémoriser nième décimale de
E : Aller en A
F : x <-- (mémoire de ) + 1

Et donc, il est clair que le calcul en F n'est jamais effectué et il ne peut pas être effectué, quand bien même on disposerait d'un temps infini. Le temps n'a donc rien à voir là-dedans !

En le disant brutalement, on est en train de dire que la notion de "calcul de " n'a pas de sens.

Mais où vas tu chercher ça ? Je n'ai encore jamais parlé de "sens", je reste à un niveau purement formel. De plus, le calcul de est tout ce qu'il y a de bien formalisé. Ce qui en revanche fait débat, c'est l'utilisation de dans un autre calcul, comme je l'ai illustré ci-dessus.

A la lecture de vos réponses, excusez moi, mais j'ai la nette impression que vous n'avez pas compris la teneur de mon message. Je m'exprime sans doute de façon maladroite ? Est-ce que maintenant que vous me comprenez ou pas ?

Cordialement,
Argyre

[Médiat]

Et donc, il est clair que le calcul en F n'est jamais effectué et il ne peut pas être effectué, quand bien même on disposerait d'un temps infini. Le temps n'a donc rien à voir là-dedans !

possède décimales, si je mets un temps constant pour calculer chaque nouvelle décimale alors en un temps secondes je les aurais toutes calculées ; si le temps de calcul est croissant pour chaque décimale, mais ne dépasse pas secondes (ce qui est le cas puisqu'un nombre fini d'opérations est nécessaire à chaque décimale), le temps total est encore de secondes, donc un temps "infini" convient bien.

je reste à un niveau purement formel.

A un niveau purement formel, est la limite d'une suite (plusieurs sont disponibles), il n'y a, d'un point de vue purement formel, aucun problème.
L'utilisation de dans un calcul ne fait pas débat, , de la même façon que .
Ton seul problème est l'impossibilité de calculer toutes les décimales de , je te répète que tu as le même problème avec tous les nombres qui ne sont pas des rationnels (et encore...), c'est à dire que tu nous ramènes aux pythagoriciens il y a 2500 ans.

[invité576543]

Mais où vas tu chercher ça ? Je n'ai encore jamais parlé de "sens", je reste à un niveau purement formel.

Pour moi, c'est tout le contraire. Tu utilises "calcul de pi" dans une discussion entre humains, tu considères qu'il y a un sens puisque tu l'utilises dans une communication. Par contre, tu n'as jamais explicité une sémantique formelle de cette expression.

A la lecture de vos réponses, excusez moi, mais j'ai la nette impression que vous n'avez pas compris la teneur de mon message. Je m'exprime sans doute de façon maladroite ? Est-ce que maintenant que vous me comprenez ou pas ?

Il me faut malheureusement répondre négativement...

Et le symbole est une représentation symbolique de ce calcul (what else ?).

Tous les else. Le symbole ne réprésente pas les calculs de ses décimales
(ce serait un peu notationdécimalocentrique, d'ailleurs), il représente toutes les opérations que l'ont peut faire sur lui. Nul besoin de s'en référer aux décimales pour résoudre en nombres entiers par exemple.

Par conséquent, quand on écrit (x = +1), on peut expliciter cela de la façon suivante :
A: N <-- N+1
B : faire calcul 1
C : faire calcul 2 ...
D : mémoriser nième décimale de
E : Aller en A
F : x <-- (mémoire de ) + 1

Et donc, il est clair que le calcul en F n'est jamais effectué et il ne peut pas être effectué, quand bien même on disposerait d'un temps infini. Le temps n'a donc rien à voir là-dedans !

Une interprétation est que tu batailles avec le paradoxe de Zénon. Il se peut qu'il existe des calculs impliquant tels que la seule approche connue est une addition infinie. Certes. (Un exemple autre que obtenir une infinité de résultats serait intéressante d'ailleurs.)

Mais il existe les autres! Certains sont finis par traitement symbolique (on ne calcule pas par un algo tel que tu le présentes pour conclure que sa valeur est -1). Et il y en a d'aussi simples que "donner la valeur à 10^-10 près de ...", qui demande éventuellement l'addition de nombreux termes, mais en nombre fini. Ce sont ces autres calculs qui justifient l'intérêt du symbole. Pas ceux qui ne sont pas physiquement faisables.

Cordialement,

[Médiat]

Ooops, j'ai oublié le + 1 :

[shokin]

J'ai déplacé la discussion de la section Débats Scientifiques à la section Mathématiques Du Supérieur.

Shokin

[invitec053041c]

Tiens! (pour revenir au tout début), je pensais que dénombrable et discret voulaient dire la même chose...je me coucherai moins bête

[invite06fcc10b]

Bonjour,

A un niveau purement formel, est la limite d'une suite (plusieurs sont disponibles), il n'y a, d'un point de vue purement formel, aucun problème.

Ben, oui, pourquoi une telle remarque ? Je me tue à dire qu'il n'y a aucun problème dans le calcul de (c'est explicitement dit dans mon message précédent), et tu sembles vouloir me montrer qu'il n'y a formellement aucun problème pour son calcul !!! C'est un dialogue de sourd ?

L'utilisation de dans un calcul ne fait pas débat, , de la même façon que .

Ca ne fait pas débat dans la littérature scientifique, sans doute, mais je ne vois dans ton message aucun argument qui vient s'opposer à ce que j'ai dit précédemment.

je te répète que tu as le même problème avec tous les nombres qui ne sont pas des rationnels (et encore...), c'est à dire que tu nous ramènes aux pythagoriciens il y a 2500 ans.

Bien entendu qu'il y a un problème similaire avec tous les nombres non rationnels. J'ai l'impression qu'on me prend pour un gogol qui ne voit pas les conséquences de ce qu'il dit ...
Mais est-ce là la base d'un argument ? Et je ne vois pas le rapport avec les pythagoriciens. Je n'ai jamais écrit que les réels n'existaient pas, je suggère seulement qu'il y a un abus de langage dans l'exploitation des réels, c'est quand même différent !

Mais je commencer à cerner un peu mieux le problème de communication que nous avons. Tout tourne autour du concept de symbole et de son utilisation.
En particulier :

Tous les else. Le symbole ne réprésente pas les calculs de ses décimales (ce serait un peu notationdécimalocentrique, d'ailleurs), il représente toutes les opérations que l'ont peut faire sur lui.

Essayons d'approfondir ce point. Un symbole représente t-il effectivement toutes Les opérations qu'on peut faire avec lui ? Exemple, si je pose k=10⁹ (ce qui représente déjà un calcul), et que j'utilise par la suite k dans des opérations diverses, est-ce que le symbole k représente toutes les opérations qu'on peut faire avec lui ? Pas que je sâche. Un symbole n'est qu'un moyen simple pour éviter d'avoir à réécrire un nombre ou un calcul complexe. On définit d'abord le symbole, puis on s'autorise ensuite à l'utiliser en remplacement de cette définition. Par ailleurs, il faut prendre garde à ce que la définition soit cohérente, et prendre garde également aux implications de cette définition.
Exemples :
Je pose x = 2; si je m'intéresse au calcul de arccos(x)/arcos(x), je pense que vous serez d'accord pour dire que le calcul est impossible ou n'a pas de sens, alors que dans le domaine de définition autorisé, le résultat est toujours 1. Le fait de placer un symbole dans une opération ne garantit donc en rien qu'un calcul soit faisable.

En ce qui concerne , il y a de multiples façons de le définir.
Prenez celle que vous voulez, mais je ne vois pas comment vous pouvez éviter une boucle infinie de calculs.
Pour être (ou tenter d'être) parfaitement clair, on peut poser que n'est qu'un décimal approché de la valeur réelle, avec une précision arbitrairement bonne. Faisant cela, on peut exploiter sans problème dans de nombreux calculs, et en particulier dans le calcul symbolique qui ne requiert pas de passage à l'application numérique.
Donc la "peur" que vous semblez témoigner de revenir aux calendes grecques me parait tout à fait injustifiée, ce n'est vraiment pas le problème.
En revanche, là où je vois des implications, c'est lorsqu'il y a un besoin d'arriver à l'application numérique. En particulier, une variable ne peut pas prendre de valeur réelle, ou à la limite 1 seule fois. En effet, dès qu'on décide de l'affectation d'une valeur réelle, on introduit un nombre infini d'étapes de calculs, ce qui empêche donc toute affectation qui se ferait dans une étape suivante de calcul.

Cordialement,
Argyre

[Theyggdrazil]

Effectivement, l'auteur du post fait différentes confusions... Discret est différent de dénombrable, et de dense !

[invitec053041c]

Après tout, pour les physiciens tout est C-infini

Ah bon ?
En mécanique on utilise le fait que (par exemple) la position soit au minimum C2, car les forces, ça existe bel et bien. Mais il ne faut pas trop généraliser.

[Theyggdrazil]

C'était une boutade ledescat

Depuis que j'ai croisé un étudiant de M2 physique qui ne sait pas ce qu'est un espace de Hilbert mais qui est soi-disant un pro de méca quantique, et qui pense que de toute façon, presque tout est C-infini, je sors souvent cette boutade

Enfin, ne partons pas dans le chat !

[taladris]

Un symbole n'est qu'un moyen simple pour éviter d'avoir à réécrire un nombre ou un calcul complexe.

Un symbole est un moyen de représenter un nombre (ou un objet mathématique quelconque) ou le résultat d'un calcul, ie un nombre.

On définit d'abord le symbole, puis on s'autorise ensuite à l'utiliser en remplacement de cette définition. Par ailleurs, il faut prendre garde à ce que la définition soit cohérente, et prendre garde également aux implications de cette définition.

Justement, une fois que l'objet mathématique est bien défini ainsi que les règles de calcul qu'on peut lui appliquer, il n'y a aucun abus à utiliser ce symbole dans un calcul. Par exemple, est parfaitement bien défini, indépendamment du fait qu'on ne peut pas calculer sa valeur exacte sous forme décimale.

Exemples :
Je pose x = 2; si je m'intéresse au calcul de arccos(x)/arcos(x), je pense que vous serez d'accord pour dire que le calcul est impossible ou n'a pas de sens, alors que dans le domaine de définition autorisé, le résultat est toujours 1.

Si le résultat est 1, le calcul est posible, non?

Faisant cela, on peut exploiter sans problème dans de nombreux calculs, et en particulier dans le calcul symbolique qui ne requiert pas de passage à l'application numérique.

C'est qui t'a été dit plusieurs fois. Il n'y a donc pas d'abus de langage. Et "application numérique" n'a pas vraiment de sens. Si tu entends par là, trouvez une valeur décimale approchée aussi précise que l'on souhaite, c'est possible en temps fini. Si tu veux une valeur décimale exacte, c'est impossible.

Cordialement.

[invité576543]

Essayons d'approfondir ce point. Un symbole représente t-il effectivement toutes Les opérations qu'on peut faire avec lui ? Exemple, si je pose k=10⁹ (ce qui représente déjà un calcul), et que j'utilise par la suite k dans des opérations diverses, est-ce que le symbole k représente toutes les opérations qu'on peut faire avec lui ? Pas que je sâche. Un symbole n'est qu'un moyen simple pour éviter d'avoir à réécrire un nombre ou un calcul complexe.

Que nenni. Tu es juste en train de dire qu'il est courant que l'on explicite les opérations que l'on peut faire avec un symbole par une égalité avec une formule (composée de symboles!), qui elle-même décrit ce les calculs que l'on peut faire avec.

On définit d'abord le symbole

Définir un symbole, c'est décrire ce qu'on peut faire avec. Rien de plus, rien de moins.

, puis on s'autorise ensuite à l'utiliser en remplacement de cette définition.

Le notion de remplacement n'existe que pour les symbole dérivés. Si tu décrit un groupe générique, tu va noter 0 l'élément neutre: jamais tu ne le remplaceras dans une formule, tu appliqueras les axiomes définissant ce qu'on peut faire avec ce symbole. Ton approche n'est pas assez générale.

En ce qui concerne , il y a de multiples façons de le définir.
Prenez celle que vous voulez, mais je ne vois pas comment vous pouvez éviter une boucle infinie de calculs.

Ca dépend du calcul. Calculer la valeur entière de pi ne demande pas une boucle infinie. A l'opposé tout calcul demandant une infinité de résultat (e.g., les décimales de pi) demande évidemment une infinité de calcul. Si je te demandes d'écrire toutes les décimales de 1/3 (une par une!), il te faudra un calcul infini.

Pour être (ou tenter d'être) parfaitement clair, on peut poser que n'est qu'un décimal approché de la valeur réelle, avec une précision arbitrairement bonne.

Beurk. Parler de décimale fait un peu, comment dire..??

Faisant cela, on peut exploiter sans problème dans de nombreux calculs,

Donc la "peur" que vous semblez témoigner de revenir aux calendes grecques me parait tout à fait injustifiée,

Peur, c'est une formule pour être poli, non?

En revanche, là où je vois des implications, c'est lorsqu'il y a un besoin d'arriver à l'application numérique. En particulier, une variable ne peut pas prendre de valeur réelle, ou à la limite 1 seule fois. En effet, dès qu'on décide de l'affectation d'une valeur réelle, on introduit un nombre infini d'étapes de calculs, ce qui empêche donc toute affectation qui se ferait dans une étape suivante de calcul.

Ca c'est un autre problème. Il n'y a pas de moyen mécanique de traiter une variable réelle par sa valeur. Et c'est là qu'est l'intérêt de comprendre un symbole ou une variable comme définissant ce qu'on peut faire avec. Tu sembles préférer définir un réel par sa valeur. Mais la "valeur" d'un symbole décrivant un réel n'est qu'un aspect de ce symbole.

Cordialement,

[Médiat]

je suggère seulement qu'il y a un abus de langage dans l'exploitation des réels, c'est quand même différent !

Histoire de te faire comprendre du gogol que je suis sans doute, explicite l'abus de langage dont tu parles pour le réel suivant pris au hasard : .

PS : En te relisant j'ai le sentiment que tu as un point de vue d'informaticien (boucle, affectation, etc.) me trompè-je ?
PPS : il n'y a aucune honte à cela, je suis aussi informaticien.

[invitebb921944]

Bonjour !
J'ai du mal à bien cerner le problème !

L'infini est défini par une suite infinie de calculs. Or si cette suite est infinie, on ne peut pas faire un autre calcul après, il ne sera jamais fait !

"L'infini est défini par une suite infinie de calculs"
Si l'infini etait défini par une suite infinie de calculs, je ne comprendrai pas ta phrase car je ne saurai pas ce qu'est l'infini.
En gros, il me semble que tu utilises, pour expliquer le fait qu'une notion n'existe pas, cette même notion...
Pourtant j'ai tout à fait compris ta phrase car l'infini n'est pas défini que par une construction algorithmique (à la manière des suites infinies qui tendent vers Pi) et ce n'est pas ce genre de définition que j'ai en tête quand j'utilise cette notion.
De la même manière, je ne vois pas Pi comme un nombre constructible par une infinité de boucles mais comme la moitié du périmètre d'un cercle de rayon 1. Le fait d'utiliser le symbole Pi, c'est comme utiliser le symbole 1 pour l'unité. Simplement, on montre que dans notre système de numération, il n'est pas possible d'exprimer Pi à l'aide d'une suite non infinie de nombres.
Qu'est-ce qui m'empêche alors de créer un symbole pour représenter ce nombre qui existe bien puisqu'il n'est que la moitié du périmètre d'un cercle de rayon 1 ?

[invité576543]

Bonjour,

PS : En te relisant j'ai le sentiment que tu as un point de vue d'informaticien (boucle, affectation, etc.) me trompè-je ?
PPS : il n'y a aucune honte à cela, je suis aussi informaticien.

Je pense que c'est bien plus subtil que cela.

Le problème d'Argyre me semble se loger dans la distinction entre connaissance d'un nombre et connaissance de sa valeur. En gros:

- on ne connaît un nombre que si on en connaît sa valeur;

- quand un nombre est noté en décimal, comme 1, 2 ou 3,5 alors on en connaît sa valeur;

- "calculer π" c'est faire en sorte d'en connaître la valeur;

- calculer toutes les décimales d'un nombre permet d'en connaître la valeur;

- comme il n'y a pas moyen de faire le calcul en un nombre d'opérations fini, on ne peut pas connaître π

- le symbole π représente un nombre inconnaissable, et tout calcul impliquant π n'a pas de résultat connaissable


Ce n'est pas mon raisonnement, mais ce que je propose comme reconstruction.

A mon sens, il y a plusieurs fautes dans le raisonnement. Certaines relativement simples de logique. Mais la plus profonde est la confusion entre nombre et valeur.

Au fond, il est correct que nous ne connaissons pas la valeur de π, au sens par exemple d'un positionnement précis du point à 1/π d'un segment AB (sauf erreur c'est équivalent à la quadrature du cercle). Mais ce n'est pas vrai que ne pas connaître la valeur d'un nombre n'est pas le "connaître". La seule chose que l'on demande pour pouvoir manipuler un nombre est une définition non ambigüe, telle qu'il y ait un et un seul nombre la respectant, chose qui peut se démontrer sans référer à la valeur. Ensuite, selon la définition, on peut faire plus ou moins de choses avec le nombre, comme par exemple le représenter en décimal ou non.

Il y a aussi un leurre plus subtil, qui est celui qui laisse penser que l'on a calculé un nombre, qu'on le connaît, une fois écrit en décimal. 9 est un symbole tout comme π. Il y a tout un monde entre un symbole, qui n'est que la disposition de traits noirs sur fond blanc (par exemple), et le nombre qu'il représente, que ce soit 9 ou π. In fine, si on revient à une axiomatique limitée, tout symbole, 9 y compris, ne représente que les calculs que l'on peut faire avec.

Et, en allant plus loin, il n'y a pas de notion formelle de "valeur" d'un nombre. (Comment cette notion s'exprimerait-elle formellement à partir de l'axiomatique limités usuelle derrière entiers ou réels?)

Cordialement,

[Médiat]

Je suis d'accord avec tout ce qui précède les phrases suivantes, qui elles ne me sont pas pleinement compréhensibles

In fine, si on revient à une axiomatique limitée, tout symbole, 9 y compris, ne représente que les calculs que l'on peut faire avec.

Dans l'axiomatique de Péano, 9 représente s(s(s(s(s(s(s(s(s(0))))))))) (à l'évidence j'ai noté s la fonction successeur de l'axiomatique de Péano).

Et, en allant plus loin, il n'y a pas de notion formelle de "valeur" d'un nombre. (Comment cette notion s'exprimerait-elle formellement à partir de l'axiomatique limités usuelle derrière entiers ou réels?)

Je suis d'accord, mais ce que je ne comprends pas, c'est ce que serait la notion informelle de "valeur" d'un nombre.

[invité576543]

Je suis d'accord avec tout ce qui précède les phrases suivantes, qui elles ne me sont pas pleinement compréhensibles
Dans l'axiomatique de Péano, 9 représente s(s(s(s(s(s(s(s(s(0))))))))) (à l'évidence j'ai noté s la fonction successeur de l'axiomatique de Péano).

Oui. 9 est un symbole dérivé, qu'on peut remplacer par l'expression. Mais dans l'expression s() et 0 ne sont pas remplaçables, et ne représentent rien d'autre que ce qu'on peut faire avec (c'est à dire ce qui est décrit par les axiomes!). In fine, 9 ne représente, via cette formule, que les "calculs" qu'on peut faire avec.

Je suis d'accord, mais ce que je ne comprends pas, c'est ce que serait la notion informelle de "valeur" d'un nombre.

Je ne la comprend pas non plus(1), je proposais juste ma grille d'analyse, éventuellement fausse, des écrits d'Argyre.

Mais je pense que toi comme moi faisons partie de la génération biberonnée aux "maths modernes", au bourbakisme. Argyre est plus "intuitionniste", avec une vision plus physique des maths.

Cordialement,

Note (1): J'ai une vision relativiste: ça ne me gêne pas de parler d'un concept que je ne comprend pas autrement que comme concept de quelqu'un d'autre!

[invité576543]

Je suis d'accord avec tout ce qui précède les phrases (...)

D'accord à quel sens? Au sens de grille d'analyse des propos d'Argyre? Ou au sens d'affirmations de portée générale?

Cordialement,

[Médiat]

D'accord à quel sens? Au sens de grille d'analyse des propos d'Argyre? Ou au sens d'affirmations de portée générale?

J'ai failli écrire :

Je suis d'accord avec tout ce qui précède, aussi bien sur l'analyse des propos d'Argyre que sur le fond concernant la notion de nombre et de symbole.

J'aurais dû l'écrire.

[Médiat]

Oui. 9 est un symbole dérivé, qu'on peut remplacer par l'expression. Mais dans l'expression s() et 0 ne sont pas remplaçables, et ne représentent rien d'autre que ce qu'on peut faire avec (c'est à dire ce qui est décrit par les axiomes!). In fine, 9 ne représente, via cette formule, que les "calculs" qu'on peut faire avec.

C'est marrant j'ai l'impression, que la différence de nos points de vue (qui ne peut se mesurer qu'en pouillème de chouïa) est d'une part une vision purement "théoriste", la tienne, et avec cette vision, je suis d'accord avec ce que tu en dis ; et une vision "modèle théoriste", la mienne (on ne se refait pas ) où 9 est un objet à part entière, que je peux identifier grâce à la formule "théoriste", mais qui est plus que ce que je peux en faire avec la seule théorie (sinon toutes les théories complètes seraient catégoriques en toutes cardinalités, ce qui n'est pas le cas).

Je ne la comprend pas non plus(1), je proposais juste ma grille d'analyse, éventuellement fausse, des écrits d'Argyre.

Nous sommes donc d'accord, j'avais peur qu'en insistant sur le côté formel de la notion de valeur, cela sous-entendais un côté informel de cette même notion.

Mais je pense que toi comme moi faisons partie de la génération biberonnée aux "maths modernes", au bourbakisme. Argyre est plus "intuitionniste", avec une vision plus physique des maths.

Je dirais même, à propos d'Argyre, une vision constructiviste, ce qui confirme la vision intuitionniste.

[invité576543]

C'est marrant j'ai l'impression, que la différence de nos points de vue (qui ne peut se mesurer qu'en pouillème de chouïa) est d'une part une vision purement "théoriste", la tienne, et avec cette vision, je suis d'accord avec ce que tu en dis ; et une vision "modèle théoriste", la mienne (on ne se refait pas )

Il est exact que la notion de "modèle" n'est pas bien intégrée dans ma tête. Mais je cherche à me soigner...

(sinon toutes les théories complètes seraient catégoriques en toutes cardinalités, ce qui n'est pas le cas).

J'y comprend rien, désolé!

Cordialement,

[invité576543]

où 9 est un objet à part entière, que je peux identifier grâce à la formule "théoriste", mais qui est plus que ce que je peux en faire avec la seule théorie

Aurais-tu un exemple simple de ce qu'on peut faire avec, qui ne serait pas déductible de la formule? (Si c'est bien cela qu'il faut comprendre.)

Cordialement,

[Médiat]

J'y comprend rien, désolé!

C'est moi qui suis désolé.
Une théorie est complète quand, intuitivement, on a dit tout ce qui pouvait être dit, qu'elle est "complètement" déterminée, plus formellement quand pour toute proposition P la théorie est compatible avec P ou avec non P exclusivement, où encore quand tous les modèles sont élémentairement équivalents (vérifient les mêmes formules du premier ordre).
Une théorie est -catégorique si tous les modèles de cardinal de cette théorie sont isomorphes.
Et comme la complétion n'entraine pas la catégoricité en tous cardinaux, cela montre bien que "intuitivement" le modèle en "sait plus" que la théorie, même si celle-ci est complète.
Un exemple est la théorie des ordres totaux, denses, sans extrémums, cette théorie est -catégorique (très facile à démontrer) donc complète (dans ce sens-là ça marche), mais elle n'est pas catégorique cf. le fil http://forums.futura-sciences.com/thread154479.html.

HTH

[invité576543]

Ca donne une vague lumière dans ce que je perçois comme un brouillard, mais l'application au symbole 9 m'échappe toujours.

Veux-tu dire qu'il existent des modèles(?) dans lequel 9 a des propriétés supplémentaires aux propriétés minimales données par les axiomes de Peano? (En prenant en compte mon vocabulaire approximatif, cause brouillard)

Cordialement,

[Médiat]

Veux-tu dire qu'il existent des modèles(?) dans lequel 9 a des propriétés supplémentaires aux propriétés minimales données par les axiomes de Peano? (En prenant en compte mon vocabulaire approximatif, cause brouillard)

Je dis surtout que c'est possible, en fait, dans le cas de 9, je n'ai aucune idée de ce que pourraient être ces propriétés, mais tu sais que l'axiomatique de Péano admet des modèles non-standards, les éléments non standards de ces modèles ne sont pas réductibles à l'axiomatisation.

[invite06fcc10b]

Bonjour,

Le problème d'Argyre me semble se loger dans la distinction entre connaissance d'un nombre et connaissance de sa valeur. En gros:

- on ne connaît un nombre que si on en connaît sa valeur;

"connaître" n'est pas approprié, car le terme implique la présence d'un utilisateur et je n'ai jamais parlé d'un utilisateur. Je tique au niveau de l'exploitation des réels, qui me semble incompatible avec leur définition, je ne vois pas le rapport avec ce que tu dis.

- quand un nombre est noté en décimal, comme 1, 2 ou 3,5 alors on en connaît sa valeur;

Encore une fois "connaître" ne me parait pas approprié.
A la base, on travaille sur un ensemble d'éléments, et ces éléments sont les entiers naturels et par extension les décimaux, les rationnels et les réels. Tous les opérateurs arithmétiques ont pour arguments des éléments qui appartiennent à ces ensembles et qui ont un résultat dans ces mêmes ensembles. Par extension, les fonctions algorithmiques ayant comme arguments des nombres et comme résultat d'autres nombres, sont également des opérateurs.
Et donc pour moi, à part les variables, tout symbole constant (quand même pas tous les symboles !) utilisé dans un algorithme (ce qui inclut toutes les expressions mathématiques) n'est qu'un moyen de représenter plus facilement un nombre, ou, ce qui revient au même, le calcul qui mène à ce nombre. En particulier, il est donc possible de remplacer toute constante par le nombre ou le calcul qu'il représente.
Remarque, quand on effectue un raisonnement, on exploite des opérateurs supplémentaires, ceux de la logique, ce qui se formalise également sous la forme d'un algorithme.

Ce n'est pas mon raisonnement, mais ce que je propose comme reconstruction.

Encore raté ...

La seule chose que l'on demande pour pouvoir manipuler un nombre est une définition non ambigüe, telle qu'il y ait un et un seul nombre la respectant, chose qui peut se démontrer sans référer à la valeur. Ensuite, selon la définition, on peut faire plus ou moins de choses avec le nombre, comme par exemple le représenter en décimal ou non.

Alors je redonne la définition de x déjà donnée dans un autre post :
quel que soit y dans ]0;1[, x > y et x <1
Cette définition n'est pas ambigüe que je sâche ? Je sais c'est impossible. Mais précisément, voilà l'exemple d'un nombre dont la définition est claire mais qui ne peut exister. Selon ton expression, "on peut faire plus ou moins de choses avec le nombre", sans doute, mais pour autant, je suppose que tu ne seras pas d'accord si je l'utilise dans un calcul, du style "x+1" et que je prétends que le résultat vaut 2 ?
Quelle différence cela fait-il avec +1 ?

Il y a aussi un leurre plus subtil, qui est celui qui laisse penser que l'on a calculé un nombre, qu'on le connaît, une fois écrit en décimal. 9 est un symbole tout comme π.

Bien sûr que 9 est aussi un symbole. Mais comme je l'ai précisé plus haut, les opérateurs tels que + - * cos etc. ont comme arguments des éléments d'un certain ensemble. Donc, tout symbole utilisé comme argument doit in fine représenter un élément de cet ensemble. 9 est par définition un élément de l'ensemble, tartempion non, à moins que tartempion soit un symbole représentant un élément de l'ensemble ou un calcul d'un élément de cet ensemble, en quel cas il doit être possible de le remplacer dans l'expression. est dans le même cas.

Cordialement,
Argyre