Fonctions sur S4

[invitebb921944]

Bonjour.
Je refais quelques exercices de vieux examens pendant les vacances et là j'avoue que je n'ai absolument aucune idée de la manière dont je pourrais m'y prendre !

On considère l'espace vectoriel E des applications de S4 dans C . A tout s de S4 on associe un endomorphisme u_s de E défini par u_s(f)(t ) = f(s o t)
1) Quelle est la dimension de E?
2) Montrer que pour tout s de S4 on a (u_s)^3 = idE ou (u_s)^4 = idE.
3) Montrer que u_s est diagonalisable pour tout s de S4.
4) Déterminer les sous-espaces propres de u_(12).

Soyons honnête je ne comprends rien ^^
Comment trouver cette fichue dimension ? Théorème du rang ? Déterminer un isomorphisme entre E et un autre espace ?
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[invitec053041c]

Bonjour.

J'ai une question bête, qu'est-ce que S4 ?
Le groupe des permutations d'un ensemble à 4 éléments ou rien à voir ?

Sinon, la dimension de l'ensemble des applications d'un ev E vers un ev F (de dimensions finies) est dimE.dimF.



Cdlt.

[invitebb921944]

Bonjour ! Oui oui c'est le groupe des permutations d'un ensemble à 4 éléments !
dimE.dimF, c'est pas pour l'ensemble des applications linéaires de E vers F ?

[invitec053041c]

Oui effectivement, bien-sûr .
J'y réfléchis...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Même pas morphisme de groupe ?
Parcequ'aux 16 éléments de S4, on peut associer tout et n'importe quoi dans C, donc franchement j'ai aussi du mal là pour trouver une certaine régularité.

[invitebb921944]

Si tu veux le sujet exact (qui est en fait ce que j'ai écrit ) :

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/
"Enseignement 2007-2008"
"Licence Sciences et technologies"
"Sujets d'examens des années antérieures"
"Algèbre Parcours A"
"Examen Janvier 2007"

C'est le site de ma fac (je passe en master ou à l'IUFM l'année prochaine ca dépendra des motivations (agreg ou capes ) )

[invite4793db90]

Parcequ'aux 16 éléments de S4,

Gné ?



Cordialement.

[invite4793db90]

1) Quelle est la dimension de E?

A une permutation, tu associes un nombre complexe. Au bout de combien d'associations détermines-tu complètement une application ?

Cordialement.

[invitec053041c]

Gné ?



Cordialement.

, n! et 2^n se mêlent souvent dans ma tête dans les méandres des permutations et des parties, au temps pour moi!
C'est bien 24 éléments?


Edit:

tu associes (linéairement)

Comment sait-on que l'on associe linéairement ?

[invite4793db90]

, n! et 2^n se mêlent souvent dans ma tête dans les méandres des permutations et des parties, au temps pour moi!
C'est bien 24 éléments?

Yep !

Comment sait-on que l'on associe linéairement ?

Le temps de l'édition... j'ai corrigé depuis.

Mais en fait, je crois que je suis dans les choux... Vaut mieux faire comme si je n'avais rien dit !

[invité576543]

Mais en fait, je crois que je suis dans les choux... Vaut mieux faire comme si je n'avais rien dit !

Pourquoi? La dimension est bien 24 sur C. N'importe quel espace de fonctions de E vers un corps K est un e.v. de dimension card(E) sur K, non?

Ou alors nous sommes tous deux dans les choux...

Cordialement,

Bon, c'est répondre par une solution, ça... Mais ça suffit peut-être pour débloquer Ganash pour les autres questions? (Si tant est que la solution soit correcte !!!)

[invitec053041c]

Pourquoi? La dimension est bien 24 sur C. N'importe quel espace de fonctions de E vers un corps K est un e.v. de dimension card(E) sur K, non?

Ah ben oui évidemment... On prend (fi) la fonction qui vaut 1(de C) pour la permutation (si) et 0 ailleurs. Et n'importe quelle fonction f est engendrée par ces fi par combinaisons linéaires.
Comment je n'y ai pas pensé avant.
Merci mmy.

[invité576543]

2) réfléchir sur la structure du groupe S4...
3) Penser aux racines de l'unité dans C...
4) J'imagine que 12 c'est la permutation permutant 1 et 2 et laissant 3 et 4 sur place, non? Ceci dit, c'est juste l'application de la question 3 à ce cas particulier, non?

Cordialement,

[invitebb921944]

Merci bien, j'essaie tout ça !

[invité576543]

Pour la 3) ce qui me vient à l'esprit consiste à sortir brutalement les espaces propres et les valeurs propres (en utilisant l'indice que j'ai indiqué...). Si c'était cela la réponse attendue, l'auteur de l'énoncé aurait inversé les questions 3) et 4). Donc j'imagine qu'il y a une réponse plus directe à la 3), mais je ne la vois pas...

Si quelqu'un a une autre piste pour la 3), ça serait sûrement utile...

Cordialement,

[invitebb921944]

Pourquoi? La dimension est bien 24 sur C. N'importe quel espace de fonctions de E vers un corps K est un e.v. de dimension card(E) sur K, non?

Comment savoir que E est un C espace vectoriel ? Pourquoi ne pourrait-on pas dire que c'est un R espace vectoriel, ce qui augmenterait ainsi sa dimension (exprimée sur R) ?

2) réfléchir sur la structure du groupe S4...

(u_s)^3=u_s(u_s(u_s(f)(t)))=u_ s(u_s(f)(tos))=u_s(f)(tosos)=f (tososos)=f(tos^3)
Bon si j'avais pris (u_s)^4, j'aurais obtenu du s^4=idE, et donc du f(t)
Et là je m'emmêle les pinceaux, je ne sais pas quoi faire et je ne suis meme pas sur d'avoir écrit correctement (u_s)^3...

[invité576543]

Comment savoir que E est un C espace vectoriel ? Pourquoi ne pourrait-on pas dire que c'est un R espace vectoriel, ce qui augmenterait ainsi sa dimension (exprimée sur R) ?

Bien d'accord. Seul voie de sortie, bien préciser dans la réponse si on considère l'espace vectoriel comme sur C ou sur R.

[/QUOTE](u_s)^3=u_s(u_s(u_s(f)(t)))=u_ s(u_s(f)(tos))=u_s(f)(tosos)=f (tososos)=f(tos^3)
Bon si j'avais pris (u_s)^4, j'aurais obtenu du s^4=idE, et donc du f(t)
Et là je m'emmêle les pinceaux, je ne sais pas quoi faire et je ne suis meme pas sur d'avoir écrit correctement (u_s)^3...[/QUOTE]

Qu'est-ce qui te permet d'écrire s⁴=idE (et c'est quoi IdE? s est un élément de S4...).

Cordialement,

[invitebb921944]

D'accord alors première question : dimE=4!=24 si E est un C-espace vectoriel et dimE=4!*2=48 si c'est un R-espace vectoriel.
Je me sens nager... Pourquoi dans ce cas la formule dim(L(E,K))=dimE*dimK se limite t'elle a des applications linéaires ?

Qu'est-ce qui te permet d'écrire s4=idE (et c'est quoi IdE? s est un élément de S4...).

Oui au temps pour moi j'aurais du écrire l'identité de S4 et je me suis de plus trompé en confondant bêtement un 4-cycle d'un élément de S4.
Sinon je n'ai toujours pas avancé dans le problème...

Merci de votre aide !

[invité576543]

je me suis de plus trompé en confondant bêtement un 4-cycle d'un élément de S4.

Ben non, tu ne t'es pas vraiment trompé sur la piste... Quelles sont les longueurs des cycles dans S4? Certains éléments sont tels que s⁴=I, mais pas tous! Quid des autres?

Cordialement,

[invitebb921944]

Les éléments de S4 sont d'ordre 4, 3, 2 ou c'est l'élément neutre !

Dans le cas de l'identité :
(u_id)^3=u_id(u_id(u_id(f)(t)) )=u_id(u_id(f)(t))=u_id(f)(t)= f(t)
On a donc (u_id)^3=u_id
Donc u_id[(u_id)²-Id]=0
Donc u_id²=Id et par conséquent u_id^4=Id (en supposant que u_id n'est pas l'application nulle)

Dans le cas d'un élément s de S4 d'ordre 2 :
(u_s)^3=u_s(u_s(u_s(f)(t)))=u_ s(u_s(f)(tos))=u_s(f)(tos²)=f( tos^3)=f(tos)=u_s
Donc on a encore : u_s[u_s²-Id]=0 et u_s^4=Id si u_s n'est pas l'application nulle.

Dans le cas d'un élément s de S4 d'ordre 3:
(u_s)^4=u_s(u_s(u_s(u_s(f)(t)) ))=u_s(u_s(u_s(f)(tos)))=u_s(u _s(f)(tos²))=u_s(f)(tos^3)=f(t os^4)=f(tos)
On a donc u_s[u_s^3-Id]=0 et u_s^3=Id si u_s n'est pas l'application nulle.

Dans le cas d'un élément s de S4 d'ordre 4 :
(u_s)^5=f(tos^5)=f(tos)=u_s
Donc u_s[u_s^4-Id]=0 et u_s^4=Id si u_s différent de 0.

Est-ce juste ? Comment justifier dans ce cas que u_s n'est pas l'application nulle ?

[invitebb921944]

Je me réponds à moi-même : non c'est tout faux !
Laissez moi 5 minutes pour réécrire la solution avant de me jeter des cailloux !

[invitebb921944]

Dans le cas de id :
(u_id)^3=u_id(u_id(u_id(f)(t)) )=u_id(u_id(f(tos)))=u_id(f)(t os²)=f(tos^3)=f(t)=id

Dans le cas d'un élément s de S4 d'ordre 2 :
(u_s)^4=f(tos^4)=f(t)=Id

Dans le cas d'un élément s de S4 d'ordre 3 :
(u_s)^3=f(tos^3)=f(t)=Id

Dans le cas d'un élément s de S4 d'ordre 4 :
(u_s)^4=f(tos^4)=f(t)=Id

C'est mieux ?

[invité576543]

C'est mieux ?

Ca répond à la 1, non? (Au détail près que dans l'énoncé c'est s o t et non pas t o s, mais ça ne change rien à l'idée!)

Et là tu aurais pu utiliser IdE pour le coup...

Cordialement,

[invitebb921944]

Ca répond à la 1, non?

Je ne vois pas

[invité576543]

Je ne vois pas

Ma faute! A la 2, plutôt

[invitebb921944]

Ma faute! A la 2, plutôt

C'est mieux

Pour la 3 :
On a u^3=idE ou u^4=idE
Dans le premier cas x^3-1=(x-1)(x²+x+1) est polynôme annulateur de u
Dans le deuxième cas : x^4-1=(x-1)(x+1)(x²+1) est polynôme annulateur de u.
Donc Spect(u) inclu dans {1,-1/2+iracine(3)/2,-1/2-iracine(3)/2} ou Spect(u) inclu dans {1,-1,-i,i}
Bon là déja ce qui me perturbe, c'est que le nombre de valeurs propres varient selon l'ordre de s.
Que dois-je faire ?

[invité576543]

Bon là déja ce qui me perturbe, c'est que le nombre de valeurs propres varient selon l'ordre de s.

Pourquoi? Je pense que c'est le "multi-niveau" qui te gêne. u_s est une application (S4 --> C) ---> (S4 --> C), s n'est qu'un "indice", les vecteurs propres dont on parle sont des fonctions f (S4 --> C), telles que u_s(f) = λf. A priori, il peut y avoir aussi bien 1 que 24 valeurs propres à u_s!

Par ailleurs, dans la question 3 on te demande de montrer que u_s est diagonalisable, et tu ne l'as pas montré.

Mon indice n'est pas très bon, comme je l'ai dit ma première réaction a été de sortir les vecteurs propres et les valeurs propres (je les "vois" vite fait).

Je pense maintenant que la réponse à la question 3 se montre à partir de la 2... Et que la 4) est juste un cas assez simple de vecteurs propres. En d'autres termes, l'énoncé ne va pas jusqu'à demander toute la liste.

Cordialement,

[invitebb921944]

Par ailleurs, dans la question 3 on te demande de montrer que us est diagonalisable, et tu ne l'as pas montré.

Euh bah ouais c'est ce que j'essayais de faire aux dernières nouvelles.

Je pense maintenant que la réponse à la question 3 se montre à partir de la 2...

Oui c'est ce que j'ai tenté de faire en utilisant les polynômes mais je n'aboutis pas et je ne vois pas ce que la question 2 pourrait me permettre de faire de différent

[invité576543]

Oui c'est ce que j'ai tenté de faire en utilisant les polynômes mais je n'aboutis pas et je ne vois pas ce que la question 2 pourrait me permettre de faire de différent

Je suis un peu rouillé pour ce qui est des théorèmes "usuels", mais un machin linéaire inversible sur C, ça aurait pas des propriétés particulières pour ce qui est de la diagonalisation?

Cordialement,

[invite35452583]

Les valeurs propres possibles sont déjà déterminées.
Pour k, quel est la dimension de l'espace propre associé ?
Si f est vecteur propre, on a f(st)=kf(t) ainsi si f(t) est fixé f(st), f(s²t), , où n est l'ordre de s, le sont aussi.
De combien divise-t-on les 24 déterminations indépendantes du départ ? Quelle est la dimension de l'espace propre associé ?
Après on peut formaliser et considérer l'ev Hom(S4/<s>,C)...