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L'application vecteur propre est elle C1 ?



  1. #1
    natlab

    L'application vecteur propre est elle C1 ?


    ------

    Bonjour, je me pose une question trés simple :

    L'application qui a une matrice réelle symetrique associe son vecteur propre (disons le premier pour simplifier) est elle C1 (continuement dérivable) sur l'ensemble ouvert des matrices symétriques de taile N ayant N valeurs propres distinctes ?

    Bien sûr, la restriction à cet ouvert est nécessaire pour identifier les vecteurs propres et les ordonner par leur valeurs propres. De plus je suis conscient du problème de signe (e et -e sont vecteurs propres), alors disons qu'on les oriente tous dans la même direction au voisinnage du point ou l'on cherche à dériver.

    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    G13

    Re : L'application vecteur propre est elle C1 ?

    A mon avis elle est C1, vu que les coefficients du polynome caracteristique sont C1 en fonction de la matrice. Et une factorisation d'un polynome en deux polynomes premiers entre eux est C1 (et meme peut-etre C infini). Donc la plus grande valeur propre sera C1. Ensuite on resoud le systeme (A-l(A)Id)X=0 en prenant les cofacteurs.

  4. #3
    Ksilver

    Re : L'application vecteur propre est elle C1 ?

    Salut !

    "premier vecteur propre" ca n'a pas vraiment de sens, comment tu les ordone ?


    de plus le vecteur propre n'est pas bien définit : il ne l'est qu'a element associé pres, et enfin en cas de valeur propres double, il y a un espace propre de dimension deux donc "beaucoup plus" de vecteur propres...


    bref ca pose pas mal de probleme ta question....

  5. #4
    GuYem

    Re : L'application vecteur propre est elle C1 ?

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    Salut !

    "premier vecteur propre" ca n'a pas vraiment de sens, comment tu les ordone ?


    de plus le vecteur propre n'est pas bien définit : il ne l'est qu'a element associé pres, et enfin en cas de valeur propres double, il y a un espace propre de dimension deux donc "beaucoup plus" de vecteur propres...


    bref ca pose pas mal de probleme ta question....
    Je pense qu'on ordonne les vecteurs propres du plus petit au plus grand ; après tout, ils sont tous positifs.
    Pour le problème du vecteur propre, on peut le prendre de première coordonnée égale à 1 pour uniformiser les choses, et enfin l'auteur du sujet se place sur l'espace des matrices symétriques dont toutes les valeurs propres sont disctinctes. Je pense donc que la question a un sens.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    edpiste

    Re : L'application vecteur propre est elle C1 ?

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Pour le problème du vecteur propre, on peut le prendre de première coordonnée égale à 1 pour uniformiser les choses, et enfin l'auteur du sujet se place sur l'espace des matrices symétriques dont toutes les valeurs propres sont disctinctes. Je pense donc que la question a un sens.
    Tu es sûr de ton coup ? La matrice identité est symétrique et ses valeurs propres ne sont pas distinctes...de plus, comment tu choisis un vecteur propre "canonique" dans ce cas ?

  8. #6
    natlab

    Re : L'application vecteur propre est elle C1 ?

    Merci pour votre attention

    J'ai bien précisé qu'on se plaçait sur l'ouvert des matrices symétriques aux VALEURS PROPRES DISTINCTES, donc ordonnées et non doubles, donc le premier vecteur existe et cela exclut l'identité

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  10. #7
    natlab

    Re : L'application vecteur propre est elle C1 ?

    Je suis assez d'accord avec l'approche suivi par G13, mais un doute subsiste. La résolution du système est-elle C1 ? (lorsque les solutions sont normées en norme-2).
    En fait il existe un résultat de statistique qui affirme que la transformée d'un vecteur asymptotiquement gaussien par une fonction C1 est asymptotiquement gaussien. Mais comme le vecteur propre prend ses valeurs sur la sphère unité, je ne vois pas comment il pourrait l'être. Je suis toutefois convaincu du caractère C1 du vecteur propre.... du coup je ne sais pas trop quoi penser

  11. #8
    Ksilver

    Re : L'application vecteur propre est elle C1 ?

    "(lorsque les solutions sont normées en norme-2)." on est en dimension finit, inutil de préciser la norme elles sont toute équivalente.
    (enfin a condition d'avoir des normes prolongeable sur un sous espace vectorielle... mais on va pas ce lancer dans ce genre de cas tordu...)

    et oui la résolution du systeme est C1 (on peut expliciter les solutions sous forme de fraction rationelle en les coeficient de la matrice et de la valeurs propre...)

    a mon avi il manque certaine hypothese de ton résultat statistiques... je connais rien du tous en stat... mais ce résultat ma l'air un peu suspect... (les projecteur sont C1, les application constante sont C1 et me semble aussi poser probleme non ?)

  12. #9
    natlab

    Re : L'application vecteur propre est elle C1 ?

    Pour le résultat stat, ca s'apelle la delta méthode : http://en.wikipedia.org/wiki/Delta_method
    (et une constante est une gaussienne dégénérée, et la projection d'un gaussienne est gaussienne)

    merci pour votre aide à tous (j'ai décidé que c'était C1^^)

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