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Polynome du 4e degré ax4+bx+c



  1. #1
    Gilgamesh
    Modérateur

    Polynome du 4e degré ax4+bx+c


    ------

    Bonjour,

    je cherche à résoudre l'équation de la chaleur au travers d'une paroi rayonnante dans le vide.

    Par unité de surface le flux de chaleur Phi (W/m²) se propage dans la paroi en



    avec R la résistance thermique, T la température de la face externe, l'inconnue et T0 la température de la face interne, une constante

    A la surface Phi devient de la forme



    avec la cte de Stefan

    La système est stationnaire et on obtient une équation de la forme



    J'ai cherché des "recettes" de résolutions sur le net, mais apparemment c'est assez récalcitrant, en tout cas à mon niveau, notamment (?) à cause de l'absence de termes en x3 ou en x2 (pour faire un "bicarré").

    Quelqu'un pourrait il me guider tel le bon berger vers la bergerie de la solution ?


    merci

    -----
    Parcours Etranges

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  3. #2
    homotopie

    Re : Polynome du 4e degré ax4+bx+c

    Il existe une méthode générale de résolution des équations de degré 4 : méthode de Ferrari- wiki
    Je ne suis pas sûr qu'il y ait une astuce qui évite le recours à cette méthode pour cette équation (autre que des approximations possibles que si on sait que T reste dans une petite fourchette), , bon courage.

  4. #3
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Polynome du 4e degré ax4+bx+c

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Il existe une méthode générale de résolution des équations de degré 4 : méthode de Ferrari- wiki
    Je ne suis pas sûr qu'il y ait une astuce qui évite le recours à cette méthode pour cette équation (autre que des approximations possibles que si on sait que T reste dans une petite fourchette), , bon courage.
    Mais justement, le fait que dans



    a3 soit nul est ce que ça n'est pas gênant vu qu'il est demandé de faire le changement de variable ?

    J'obtiens x = z, je sais pas si c'est super intéressant

    a+
    Parcours Etranges

  5. #4
    homotopie

    Re : Polynome du 4e degré ax4+bx+c

    Citation Envoyé par Gilgamesh Voir le message
    Mais justement, le fait que dans



    a3 soit nul est ce que ça n'est pas gênant vu qu'il est demandé de faire le changement de variable ?

    J'obtiens x = z, je sais pas si c'est super intéressant

    a+
    Non justement c'est la seule chose agréable qui va t'arriver avec cette méthode; Comme a3=0, cela revient à ne pas faire de changement de variable ou à sauter cette étape comme tu préfères.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Polynome du 4e degré ax4+bx+c

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Non justement c'est la seule chose agréable qui va t'arriver avec cette méthode; Comme a3=0, cela revient à ne pas faire de changement de variable ou à sauter cette étape comme tu préfères.
    Ah, en effet, s'tune bonne nouvelle . Je m'y met alors.


    merci
    Parcours Etranges

  8. #6
    breukin

    Re : Polynome du 4e degré ax4+bx+c

    Inutile de t'y mettre.
    L'intérêt de cette méthode, c'est de montrer qu'on peut résoudre algébriquement l'équation, mais les formules sont inutiles en elles-mêmes, surtout pour un problème de physique, car inexploitables.
    Elles vont t'amener à résoudre une équation du troisième degré, etc.

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  10. #7
    homotopie

    Re : Polynome du 4e degré ax4+bx+c

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    Inutile de t'y mettre.
    L'intérêt de cette méthode, c'est de montrer qu'on peut résoudre algébriquement l'équation, mais les formules sont inutiles en elles-mêmes, surtout pour un problème de physique, car inexploitables.
    Elles vont t'amener à résoudre une équation du troisième degré, etc.
    L'absence de T3 et de T² simplifient quand même. Si je ne pas fait d'erreur :

    Ce qui est à la limite encore buvable si
    Mais c'est négatif si c'est réel et la méthode de Ferrari passe par un a²=2y0 d'où introduction inévitables des complexes et là c'est vraiment pénible.
    Mieux vaut passer par des "solve" de calculettes ou bécanes pour avoir l'allure de la courbe.

  11. #8
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Polynome du 4e degré ax4+bx+c

    Merci à vous deux

    Bon, j'ai quand même essayé de m'y mettre en posant tout de manière ordonnée, voici ce que j'obtiens, avec les étapes de calcul.

    On part de :



    avec :



    Equivallente à la forme :



    Dont le discriminant est :



    Ce qui nous donne après simplification (/8) le polynôme de deg.3



    Que l'on attaque avec la méthode de Cardan, en partant de la forme générale :



    avec :



    Le discriminant est :



    soit :



    Pour l'étude du signe du discriminant, il faut effectuer l'application numérique avec les valeur de R, et



    avec :



    D'où :



    Les racines du polynôme sont alors :



    et la racine unique réelle est :



    En fonction de R, et , j'ai :



    Déjà me suis je gourré ? C'est moins élégant que :




    Mais malheureusement, tandis que dans mon cas .

    Et de toute façon, j'ai




    ...

    Ca serait bien pourtant que j'arrive à une solution analytique, parce que je voudrais rentrer ça dans un simulation pas par pas, grmbl

    Bon, la "variable" dans mon système c'est R, je vais voir ce que ça donne du point de vue graphique et avec le solveur d'Excel...


    a+
    Dernière modification par Gilgamesh ; 30/09/2007 à 12h20.
    Parcours Etranges

  12. #9
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Polynome du 4e degré ax4+bx+c

    Bon, ben déjà on change (T - T0) et (T0 - T) et déjà ça se passe mieux (il faut que et soit au moins de même signe pour pouvoir les égaler ! )

    Mais ça me donne toujours un y0 négatif... arf


    Par contre, je peux linéariser avec un précision tout à fait satisfaisante entre 0°C et 20°C par la fonction affine :



    Et ça me permet de résoudre facilement le problème dans la simulation.


    Bon, ben j'aurais tâté au moins une fois des équations de degré 4 et ben mon cochon je pensais pas que ce serait si périlleux

    merci

    a+
    Parcours Etranges

  13. #10
    breukin

    Re : Polynome du 4e degré ax4+bx+c

    Il y a un problème de dimension dans les unités :
    σT4 => W.m–2
    RT => m2.K2.W–1

    Il me semble que la loi de Stefan parle de puissance en T4, donc je me demande si la bonne unité de σ est W.K–4, ce qui induirait que la bonne unité de R est W.K–1.
    De toute façon, unité(R) = unité(σ).K3.

    On peut réécrire l'équation en :
    RTσT4 = RT0.
    Cette fonction F(T) possède un maximum en Tm = (R/4σ)1/3, et la valeur F(Tm) de la fonction à ce maximum est 3RTm/4.
    Selon que ce maximum est > RT0 ou non, la fonction possède deux racines ou aucune (racine double égale à Tm si égalité).

    Il serait intéressant de calculer, une fois les valeurs numériques de σ, R et T0 validées suite au problème d'unités, de calculer les valeurs Tm, F(Tm) et RT0 pour savoir si on peut estimer :
    T = T0 + t avec t<<T0
    T = Tm ± t avec t<<Tm
    puis faire des développements au premier ordre.

  14. #11
    breukin

    Re : Polynome du 4e degré ax4+bx+c

    Dans le deuxième cas, c'est un développement au second ordre :

    R(Tm+t)–σ(Tm+t)4 = RTm+RtσTm4-4σTm3t–6σTm2t2 = 3RTm/4 – 6σTm2t2

    Donc 6σTm2t2 = 3RTm/4 – RT0

  15. #12
    breukin

    Re : Polynome du 4e degré ax4+bx+c

    Dans le deuxième cas, c'est un développement au second ordre :

    R(Tm+t)–σ(Tm+t)4 = RTm+RtσTm4-4σTm3t–6σTm2t2 = 3RTm/4 – 6σTm2t2

    Donc 6σTm2t2 = 3RTm/4 – RT0

    Il faut vérifier a posteriori que l'approximation est bien vérifiée.

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  17. #13
    Gilgamesh
    Modérateur

    Re : Polynome du 4e degré ax4+bx+c

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    Il y a un problème de dimension dans les unités :
    σT4 => W.m–2
    RT => m2.K2.W–1

    Il me semble que la loi de Stefan parle de puissance en T4, donc je me demande si la bonne unité de σ est W.K–4, ce qui induirait que la bonne unité de R est W.K–1.
    De toute façon, unité(R) = unité(σ).K3.

    On peut réécrire l'équation en :
    RTσT4 = RT0.
    Cette fonction F(T) possède un maximum en Tm = (R/4σ)1/3, et la valeur F(Tm) de la fonction à ce maximum est 3RTm/4.
    Selon que ce maximum est > RT0 ou non, la fonction possède deux racines ou aucune (racine double égale à Tm si égalité).

    Il serait intéressant de calculer, une fois les valeurs numériques de σ, R et T0 validées suite au problème d'unités, de calculer les valeurs Tm, F(Tm) et RT0 pour savoir si on peut estimer :
    T = T0 + t avec t<<T0
    T = Tm ± t avec t<<Tm
    puis faire des développements au premier ordre.
    Salut,

    en fait j'aurais pas du utiliser R de cette façon, car la résistivité intègre l'aire A de la surface :


    avec A l'aire, L l'épaisseur de la parois et la conductivité du matériau en W.m-1.K-1

    Du pt de vue dimensionnel on a donc bien R en K.W-1. J'ai fabriqué un R "surfacique" en K.W-1.m2, et j'ai pris son inverse...

    Au départ on a :



    si on divise des deux côtés par A on a :



    Et on oublie R. Bon ça c'est pas encore trop gênant. Par contre, j'ai également inversé (décidément) les températures : T0 > T et pour avoir un positif il faut faire (T0 - T) ; en passant T du même côté, j'ai :



    La partie de droite est strictement croissante, cette fois ci... Donc sans maximum et je vois pas comment continuer du coup.

    a+
    Parcours Etranges

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