Dérivée de ln

[invite955decff]

Bonjour à tous, j'ai une petite question toute bête:

Comment prouve t'on que la dérivée de la fonction logarithme népérien ln(x) est 1/x ?

Je veux dire, avec les formules du taux d'accroissement:

f'(a)=lim_x->a (f(x)-f(a))/(x-a)

ou f'(a)=lim_h->0 [f(a+h)-f(a)]/h

J'ai bien essayé:

f'(a)= lim_h->0 [ln(a+h)-ln(a)]/h= lim_h->0 ln[(a+h)/a]/h , ce que je n'arrive pas à simplifier plus...

Merci pour votre aide :/
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[CM63]

Tu risque pas de le démontrer, c'est par définition : ln x est la fonction dont la dérivée est 1/x, qui s'annule en x=1.

[invite955decff]

Ah ?

Je suis déçu...

[CM63]

On s'est apperçu que 1/x était intégrable mais on n'arrivait pas à trouver son intégrale. Par la suite on a démontré qu'il est impossible de l'exprimer en fonction des fonctions simples telles que polynômes ou rapports de polynômes. Alors on a donné un nom à cette fonction, on l'a appellée ln (logarithme), je ne sais pas d'ou vient le nom.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite955decff]

Merci bien, donc en fait je prenais un peu le problème à l'envers ^^

[CM63]

C'est cela oui. Mais tu peux t'amuser à dériver en utilisant la dérivée d'une fonction composée. On trouve que et ont même dérivée. Elles diffèrent donc d'une constante (théorème). Et à quoi est égale cette constante ?

[breukin]

En fait, on peut le démontrer, mais en partant d'autres définitions.
Il est en effet plus propre de partir de la définition de l'exponenielle complexe comme série entière convergente dans le plan complexe. On en déduit alors des propriétés de cette dernière : identique à sa dérivée, fonction réelle strictement positive croissante sur les réels, d'où l'existence d'une fonction réciproque sur les réels positifs, dont on peut calculer la dérivée.