Transformée de fourier et produit de covolution

[invitedfcc3a8e]

Bonjour,
je fais un exercice et je suis bolquée pour la première et la dernière question.
Voici l'énoncé:
1) Montrer que la dérivée n-ième de la fonction est la fonction
2) Calculer la tranformée de Fourier de la fonction f(t) e^-t si t0 et f(t)=0 si t<0. En déduire les trransformée de Fourier de tf(t) et de t²f(t). Montrer qu'il existe une unique fonction y(t) continument dérivable telle sue y(t) et y'(t) appartiennent à IL¹(IR) et vérifiant l'équation différentielle:
y'(t)+y(t)=tf(t)
Déterminer cette foncton y(t).
3) Calculer (f*f)(t)(f*f*f)(t) et plus généralement la fonction (f*f*...*f)(t) où la fonction f apparait n fois. avec * le produit de covolution.

Pour la question 1,je trouve que
je n'arrive pas à retrouver la forme de l'énoncé

Pour la question 2,je trouve que



Pour l'équation différentielle, je passe aux transformées de Fourier, ce qui donne:





en utilisant le théorème d'invesion, j'obtiens:
y(t)= - t²f(t)
Pour la question 3, je suis pasée aux tranformée de Fourier

avec le théorème d'inversion
(f*f)(t)=-t f(t)

avec le théorème d'inversion
(f*f*f)(t)=t² f(t)

par analogie je pense que
(f*f*...*f)(t) = k f(t)
je ne sais pas comment déterminer k.
Pouvez vous m'aider?
Merci d'avance pour vos réponses
-----

[God's Breath]

[I]1) Montrer que la dérivée n-ième de la fonction est la fonction
2) Calculer la tranformée de Fourier de la fonction f(t) e^-t si t0 et f(t)=0 si t<0.

Pour la question 1,je trouve que
je n'arrive pas à retrouver la forme de l'énoncé

Déjà, pour la première question : la dérivée n-ième de la fonction est la fonction , je pense qu'il y a une coquille entre le signe"-" et la parenthèse, mais pas .

La dérivée première est bien , et pas ...

Pour la deuxième question : qui est la fonction qui débarque sans prévenir ?

[invitedfcc3a8e]

bonjour,
je me suis trompée en recopiant le moins n'est pas à sa place
la dérivée n-ième est

Comment puis je retrouver cette forme?
merci pour vos réponses

[God's Breath]

bonjour,
je me suis trompée en recopiant le moins n'est pas à sa place
la dérivée n-ième est

Comment puis je retrouver cette forme?
merci pour vos réponses

Bêtement par récurrence, en calculant correctement la dérivée de ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedfcc3a8e]

pour la question 1 je vais essayer le raissonnement par récurrence.
Par contre pouvez vous m'aider à trouver (f*f*...*f)?
merci pour vos réponses

[God's Breath]

pour la question 1 je vais essayer le raissonnement par récurrence.
Par contre pouvez vous m'aider à trouver (f*f*...*f)?
merci pour vos réponses

Tu dois savoir que :
Tu en déduis par récurrence et tu récupères par la formule d'inversion

[invitedfcc3a8e]

bonjour,
pour la récurence je suis d'accord j'ai fait déjà l'étape d'initialisation (avec les calculs précédents f*f et f*f*f) mais je ne sais toujours pas comment trouver f*f*...*f
j'ai vu que:

en utilisant le théorème d'inversion, j'obtiens
(f*f*...*f)(t) =
là je ne peux pas calculer l'intégrale.
Pouvez vous m'aider?
merci pour vos réponses

[God's Breath]

bonjour,
pour la récurence je suis d'accord j'ai fait déjà l'étape d'initialisation (avec les calculs précédents f*f et f*f*f) mais je ne sais toujours pas comment trouver f*f*...*f
j'ai vu que:

en utilisant le théorème d'inversion, j'obtiens
(f*f*...*f)(t) =
là je ne peux pas calculer l'intégrale.
Pouvez vous m'aider?
merci pour vos réponses

Ton énoncé est incompréhensible, parce que tes notations ne sont pas définies. Je ne sais toujours pas qui est alors que je te l'ai demandé dans mon premier message.

Par ailleurs est une dérivée n-ième, donc sa transformée de Fourier est facile à calculer.

[invitedfcc3a8e]

soit f(t) e^-t si t0
et f(t)=0 si t<0.
Je suis désolée mais je ne comprends pas ce que je dois faire.
merci pour vos réponses

[God's Breath]

soit f(t) e^-t si t0
et f(t)=0 si t<0.
Je suis désolée mais je ne comprends pas ce que je dois faire.
merci pour vos réponses

Je viens de comprendre qu'il faut lire : f(t) e^-t
en tant que: f(t) = e^-t
et que c'est la définition de f(t), alors que je voyais le produit d'une fonction inconnue par une exponentielle.

Je note .

1) On te demande de montrer que . Une récurrence suffit.

2) Tu as calculé la transformée de Fourier de et tu as trouvé , comme par hasard.

Les transformées de Fourier de et de s'expriment donc à l'aide des dérivées de calculées en 1) et tu calcules effectivement la fonction y en prenant la transformée de Fourier de l'équation différentielle, c'est du calcul fastidieux, mais facile.

3) , mais la puissance ressemble beaucoup à la dérivée .

Pour calculer par la formule d'inversion de Fourier, il te faut donc calculer la transformée de Fourier de . Si tu ne la connais pas, la question 2 devrait te permettre d'intuiter sa valeur, et de le démontrer par récurrence...

[invitedfcc3a8e]

bonjour,
merci pour ta réponse.
J 'ai réussi à faire la démonstration par récurence de la question 1, je donne les grande ligne
HYPOYHESE:" g⁽ⁿ⁾()= est la dérivée n-ième de g "
INITIALISATION
j'ai calculer g'() puis g⁽¹⁾()
j'obtiens g'()=g⁽¹⁾()
l'hypothèse est vérifiée au rang 1
HEREDITE
On considère que l'hypothèse est vraie au rang n vérifions qu'elle est vraie au rang n+1.
j'ai calculer (g⁽ⁿ⁾())' et g⁽ⁿ⁺¹⁾()
j'obtiens (g⁽ⁿ⁾())'= g⁽ⁿ⁺¹⁾()
hypothèse vérifié au rang n+1
donc l'hypothèse est vraie quelque soit n.
Cela vous parrait-il juste?
pour la question 3
avec la question précédente je peux déduire que g^(n-1)(t)= K*t^n-1f(t) avec K appartenant à IR
je vois pas ce que je dois faire après.
Pouvez vous m'aider?
merci d'avance pour vos réponses

[God's Breath]

bonjour,
merci pour ta réponse.
J 'ai réussi à faire la démonstration par récurence de la question 1, je donne les grande ligne
HYPOYHESE:" g⁽ⁿ⁾()= est la dérivée n-ième de g "
INITIALISATION
j'ai calculer g'() puis g⁽¹⁾()
j'obtiens g'()=g⁽¹⁾()
l'hypothèse est vérifiée au rang 1
HEREDITE
On considère que l'hypothèse est vraie au rang n vérifions qu'elle est vraie au rang n+1.
j'ai calculer (g⁽ⁿ⁾())' et g⁽ⁿ⁺¹⁾()
j'obtiens (g⁽ⁿ⁾())'= g⁽ⁿ⁺¹⁾()
hypothèse vérifié au rang n+1
donc l'hypothèse est vraie quelque soit n.
Cela vous parrait-il juste?
pour la question 3
avec la question précédente je peux déduire que g^(n-1)(t)= K*t^n-1f(t) avec K appartenant à IR
je vois pas ce que je dois faire après.
Pouvez vous m'aider?
merci d'avance pour vos réponses

Tout se met progressivement en place.

Il te reste à calculer en fonction de la dérivée , et à utiliser la formule d'inversion.

[invitedfcc3a8e]

merci pour ta réponse

d'après le théorème d'inversion

arrivé ici je ne vois pas quelle est la démarche à suivre.
Pouvez vous m'aider?
merci d'avance pour vos réponses

[God's Breath]

merci pour ta réponse

d'après le théorème d'inversion

arrivé ici je ne vois pas quelle est la démarche à suivre.
Pouvez vous m'aider?
merci d'avance pour vos réponses

Il me semble que c'est plutôt

et on sait de qui est la transformée de Fourier.

[invitedfcc3a8e]

est la transformée de fourier dee t^{n-1} f(t)
d'ou (f*f*...*f)(t)=
Est ce cela?
merci pour vos réponses

[God's Breath]

est la transformée de fourier dee t^{n-1} f(t)
d'ou (f*f*...*f)(t)=
Est ce cela?
merci pour vos réponses

Ben oui, c'est de la bête application des formules du cours.

Le seul "truc", c'est que peut se considérer soit comme une puissance de, soit comme une dérivée, de , ce qui induit des formules différentes par transformation de Fourier.

[invitedfcc3a8e]

merci pour ton aide et ta patience.