Transformée de fourier et produit de covolution

invitedfcc3a8e · 13/01/2008, 09h29

Bonjour,
je fais un exercice et je suis bolquée pour la première et la dernière question.
Voici l'énoncé:
1) Montrer que la dérivée n-ième de la fonction $\text{[math]}$ est la fonction $\text{[math]}$
2) Calculer la tranformée de Fourier de la fonction f(t) e^-t si t $\text{[math]}$ 0 et f(t)=0 si t<0. En déduire les trransformée de Fourier de tf(t) et de t²f(t). Montrer qu'il existe une unique fonction y(t) continument dérivable telle sue y(t) et y'(t) appartiennent à IL¹(IR) et vérifiant l'équation différentielle:
y'(t)+y(t)=tf(t)
Déterminer cette foncton y(t).
3) Calculer (f*f)(t)(f*f*f)(t) et plus généralement la fonction (f*f*...*f)(t) où la fonction f apparait n fois. avec * le produit de covolution.

Pour la question 1,je trouve que $\text{[math]}$
je n'arrive pas à retrouver la forme de l'énoncé

Pour la question 2,je trouve que
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Pour l'équation différentielle, je passe aux transformées de Fourier, ce qui donne:
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
en utilisant le théorème d'invesion, j'obtiens:
y(t)= - $\text{[math]}$ t²f(t)
Pour la question 3, je suis pasée aux tranformée de Fourier
$\text{[math]}$
avec le théorème d'inversion
(f*f)(t)=-t f(t)
$\text{[math]}$
avec le théorème d'inversion
(f*f*f)(t)= $\text{[math]}$ t² f(t)
$\text{[math]}$
par analogie je pense que
(f*f*...*f)(t) = k $\text{[math]}$ f(t)
je ne sais pas comment déterminer k.
Pouvez vous m'aider?
Merci d'avance pour vos réponses

invite57a1e779 · 13/01/2008, 10h15

Envoyé par audreys18

[I]1) Montrer que la dérivée n-ième de la fonction $\text{[math]}$ est la fonction $\text{[math]}$
2) Calculer la tranformée de Fourier de la fonction f(t) e^-t si t $\text{[math]}$ 0 et f(t)=0 si t<0.

Pour la question 1,je trouve que $\text{[math]}$
je n'arrive pas à retrouver la forme de l'énoncé

Déjà, pour la première question : la dérivée n-ième de la fonction $\text{[math]}$ est la fonction $\text{[math]}$ , je pense qu'il y a une coquille entre le signe"-" et la parenthèse, mais pas $\text{[math]}$ .

La dérivée première est bien $\text{[math]}$ , et pas $\text{[math]}$ ...

Pour la deuxième question : qui est la fonction $\text{[math]}$ qui débarque sans prévenir ?

invitedfcc3a8e · 13/01/2008, 11h01

bonjour,
je me suis trompée en recopiant le moins n'est pas à sa place
la dérivée n-ième est
$\text{[math]}$
Comment puis je retrouver cette forme?
merci pour vos réponses

invite57a1e779 · 13/01/2008, 11h06

Envoyé par audreys18

bonjour,
je me suis trompée en recopiant le moins n'est pas à sa place
la dérivée n-ième est
$\text{[math]}$
Comment puis je retrouver cette forme?
merci pour vos réponses

Bêtement par récurrence, en calculant correctement la dérivée de $\text{[math]}$ ...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitedfcc3a8e · 13/01/2008, 15h43

pour la question 1 je vais essayer le raissonnement par récurrence.
Par contre pouvez vous m'aider à trouver (f*f*...*f)?
merci pour vos réponses

invite57a1e779 · 13/01/2008, 15h57

Envoyé par audreys18

pour la question 1 je vais essayer le raissonnement par récurrence.
Par contre pouvez vous m'aider à trouver (f*f*...*f)?
merci pour vos réponses

Tu dois savoir que : $\text{[math]}$
Tu en déduis $\text{[math]}$ par récurrence et tu récupères $\text{[math]}$ par la formule d'inversion

invitedfcc3a8e · 13/01/2008, 16h07

bonjour,
pour la récurence je suis d'accord j'ai fait déjà l'étape d'initialisation (avec les calculs précédents f*f et f*f*f) mais je ne sais toujours pas comment trouver f*f*...*f
j'ai vu que:
$\text{[math]}$
en utilisant le théorème d'inversion, j'obtiens
(f*f*...*f)(t) = $\text{[math]}$
là je ne peux pas calculer l'intégrale.
Pouvez vous m'aider?
merci pour vos réponses

invite57a1e779 · 13/01/2008, 16h22

Envoyé par audreys18

bonjour,
pour la récurence je suis d'accord j'ai fait déjà l'étape d'initialisation (avec les calculs précédents f*f et f*f*f) mais je ne sais toujours pas comment trouver f*f*...*f
j'ai vu que:
$\text{[math]}$
en utilisant le théorème d'inversion, j'obtiens
(f*f*...*f)(t) = $\text{[math]}$
là je ne peux pas calculer l'intégrale.
Pouvez vous m'aider?
merci pour vos réponses

Ton énoncé est incompréhensible, parce que tes notations ne sont pas définies. Je ne sais toujours pas qui est $\text{[math]}$ alors que je te l'ai demandé dans mon premier message.

Par ailleurs $\text{[math]}$ est une dérivée n-ième, donc sa transformée de Fourier est facile à calculer.

invitedfcc3a8e · 13/01/2008, 16h26

soit f(t) e^-t si t $\text{[math]}$ 0
et f(t)=0 si t<0.
Je suis désolée mais je ne comprends pas ce que je dois faire.
merci pour vos réponses

invite57a1e779 · 14/01/2008, 00h17

Envoyé par audreys18

soit f(t) e^-t si t $\text{[math]}$ 0
et f(t)=0 si t<0.
Je suis désolée mais je ne comprends pas ce que je dois faire.
merci pour vos réponses

Je viens de comprendre qu'il faut lire : f(t) e^-t
en tant que: f(t) = e^-t
et que c'est la définition de f(t), alors que je voyais le produit d'une fonction inconnue par une exponentielle.

Je note $\text{[math]}$ .

1) On te demande de montrer que $\text{[math]}$ . Une récurrence suffit.

2) Tu as calculé la transformée de Fourier de $\text{[math]}$ et tu as trouvé $\text{[math]}$ , comme par hasard.

Les transformées de Fourier de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ s'expriment donc à l'aide des dérivées de $\text{[math]}$ calculées en 1) et tu calcules effectivement la fonction y en prenant la transformée de Fourier de l'équation différentielle, c'est du calcul fastidieux, mais facile.

3) $\text{[math]}$ , mais la puissance $\text{[math]}$ ressemble beaucoup à la dérivée $\text{[math]}$ .

Pour calculer $\text{[math]}$ par la formule d'inversion de Fourier, il te faut donc calculer la transformée de Fourier de $\text{[math]}$ . Si tu ne la connais pas, la question 2 devrait te permettre d'intuiter sa valeur, et de le démontrer par récurrence...

invitedfcc3a8e · 14/01/2008, 11h28

bonjour,
merci pour ta réponse.
J 'ai réussi à faire la démonstration par récurence de la question 1, je donne les grande ligne
HYPOYHESE:" g⁽ⁿ⁾( $\text{[math]}$ )= $\text{[math]}$ est la dérivée n-ième de g $\text{[math]}$ "
INITIALISATION
j'ai calculer g'( $\text{[math]}$ ) puis g⁽¹⁾( $\text{[math]}$ )
j'obtiens g'( $\text{[math]}$ )=g⁽¹⁾( $\text{[math]}$ )
l'hypothèse est vérifiée au rang 1
HEREDITE
On considère que l'hypothèse est vraie au rang n vérifions qu'elle est vraie au rang n+1.
j'ai calculer (g⁽ⁿ⁾( $\text{[math]}$ ))' et g⁽ⁿ⁺¹⁾( $\text{[math]}$ )
j'obtiens (g⁽ⁿ⁾( $\text{[math]}$ ))'= g⁽ⁿ⁺¹⁾( $\text{[math]}$ )
hypothèse vérifié au rang n+1
donc l'hypothèse est vraie quelque soit n.
Cela vous parrait-il juste?
pour la question 3
avec la question précédente je peux déduire que g^(n-1)(t)= K*t^n-1f(t) avec K appartenant à IR
je vois pas ce que je dois faire après.
Pouvez vous m'aider?
merci d'avance pour vos réponses

invite57a1e779 · 14/01/2008, 12h32

Envoyé par audreys18

bonjour,
merci pour ta réponse.
J 'ai réussi à faire la démonstration par récurence de la question 1, je donne les grande ligne
HYPOYHESE:" g⁽ⁿ⁾( $\text{[math]}$ )= $\text{[math]}$ est la dérivée n-ième de g $\text{[math]}$ "
INITIALISATION
j'ai calculer g'( $\text{[math]}$ ) puis g⁽¹⁾( $\text{[math]}$ )
j'obtiens g'( $\text{[math]}$ )=g⁽¹⁾( $\text{[math]}$ )
l'hypothèse est vérifiée au rang 1
HEREDITE
On considère que l'hypothèse est vraie au rang n vérifions qu'elle est vraie au rang n+1.
j'ai calculer (g⁽ⁿ⁾( $\text{[math]}$ ))' et g⁽ⁿ⁺¹⁾( $\text{[math]}$ )
j'obtiens (g⁽ⁿ⁾( $\text{[math]}$ ))'= g⁽ⁿ⁺¹⁾( $\text{[math]}$ )
hypothèse vérifié au rang n+1
donc l'hypothèse est vraie quelque soit n.
Cela vous parrait-il juste?
pour la question 3
avec la question précédente je peux déduire que g^(n-1)(t)= K*t^n-1f(t) avec K appartenant à IR
je vois pas ce que je dois faire après.
Pouvez vous m'aider?
merci d'avance pour vos réponses

Tout se met progressivement en place.

Il te reste à calculer $\text{[math]}$ en fonction de la dérivée $\text{[math]}$ , et à utiliser la formule d'inversion.

invitedfcc3a8e · 14/01/2008, 13h47

merci pour ta réponse
$\text{[math]}$
d'après le théorème d'inversion
$\text{[math]}$
arrivé ici je ne vois pas quelle est la démarche à suivre.
Pouvez vous m'aider?
merci d'avance pour vos réponses

invite57a1e779 · 14/01/2008, 14h08

Envoyé par audreys18

merci pour ta réponse
$\text{[math]}$
d'après le théorème d'inversion
$\text{[math]}$
arrivé ici je ne vois pas quelle est la démarche à suivre.
Pouvez vous m'aider?
merci d'avance pour vos réponses

Il me semble que c'est plutôt $\text{[math]}$

et on sait de qui $\text{[math]}$ est la transformée de Fourier.

invitedfcc3a8e · 14/01/2008, 14h12

$\text{[math]}$ est la transformée de fourier dee t^{n-1} f(t)
d'ou (f*f*...*f)(t)= $\text{[math]}$
Est ce cela?
merci pour vos réponses

invite57a1e779 · 14/01/2008, 14h18

Envoyé par audreys18

$\text{[math]}$ est la transformée de fourier dee t^{n-1} f(t)
d'ou (f*f*...*f)(t)= $\text{[math]}$
Est ce cela?
merci pour vos réponses

Ben oui, c'est de la bête application des formules du cours.

Le seul "truc", c'est que $\text{[math]}$ peut se considérer soit comme une puissance de, soit comme une dérivée, de $\text{[math]}$ , ce qui induit des formules différentes par transformation de Fourier.

invitedfcc3a8e · 14/01/2008, 15h49

merci pour ton aide et ta patience.

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