[Physique] Géométrie différentielle, une question basique

[Gwyddon]

Bonjour à tous

Voilà j'ai une question très bête sur les espaces tangents de la géométrie différentielle, mais si je ne la pose pas je serai encore plus bête

En fait j'aimerais savoir si j'appréhende bien d'un point de vue "physique" le concept d'espace tangent et de vecteurs de l'espace tangent.

En géométrie différentielle, on dit que les vecteurs de l'espace tangent en un point P d'une variété différentiable sont des opérateurs différentiels, agissant sur par exemple les coordonnées du point P.

Or quand on fait des dessins (exemple en lien), on dessine l'espace tangent et des vecteurs "classiques". Donc on fait un isomorphisme c'est bien ça, entre le dessin et la définition mathématique non ?

En fait c'est juste pour confirmer que l'on fait bien le même type d'isomorphisme que quand on dit qu'un vecteur dans un espace vectoriel (de dimension finie avec produit scalaire) c'est isomorphe à un opérateur via :



ie et sont isomorphes.

Est-ce que là on fait la même chose, ie on dit que les vecteurs que l'on dessine sur l'espace tangent au sens de la tangence classique dans notre dessin, sont les vecteurs de l'espace tangent au sens mathématique de la géométrie différentielle ?

Merci d'avance

G.
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[Sephi]

En géométrie différentielle, on dit que les vecteurs de l'espace tangent en un point P d'une variété différentiable sont des opérateurs différentiels, agissant sur par exemple les coordonnées du point P.

Mmm tu as la définition précise ? Car je ne vois pas à laquelle tu fais allusion.

Il y a essentiellement deux définitions classiques d'un vecteur tangent en géo. diff., une qui est assez intuitive et l'autre plutôt abstraite. (Je te donne les versions non-formelles.) Soit M une variété de dim k et un point P de M.

(1) Déf. intuitive : un vecteur tangent en P est la dérivée d'une fonction de f de lR dans M (i.e. d'une courbe dans M) évaluée en P. Lorsqu'on a une carte de coordonnées en P, f "devient" une fonction dans lR^k et sa dérivée évaluée en les coord. de P n'est qu'un simple vecteur classique de lR^k : le vecteur tangent (euclidien) à la courbe f vue dans lR^k. C'est cette définition qui motive les dessins.

(2) Déf. formelle : un vecteur tangent est une dérivation ponctuelle en P, i.e. une application linéaire qui envoie (des fonctions de M dans lR) dans lR en respectant la règle de Leibniz. L'idée ici, c'est que la donnée d'un vecteur tangent est équivalente à la donnée d'une direction pour dériver des fonctions définies sur M.

Un vecteur tangent dépend évidemment du point P où l'on se place. De plus, on peut démontrer l'équivalence entre ces deux définitions (à travers un isomorphisme entre les vecteurs tangents de (1) et les dérivation ponctuelles de (2)).

Et enfin, on montre alors que l'espace tangent est un espace vectoriel lR^k, on en trouve une base (grâce à (2)) et tout vecteur tangent s'écrit alors comme une combili à coefficients réels. On peut ne garder que ces derniers, ce qui donne pile poil un vecteur au sens usuel.

[mariposa]

Bonjour à tous

Voilà j'ai une question très bête sur les espaces tangents de la géométrie différentielle, mais si je ne la pose pas je serai encore plus bête

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Question pas bête du tout, car cela n'a rien d'évident.

En fait j'aimerais savoir si j'appréhende bien d'un point de vue "physique" le concept d'espace tangent et de vecteurs de l'espace tangent.

En géométrie différentielle, on dit que les vecteurs de l'espace tangent en un point P d'une variété différentiable sont des opérateurs différentiels, agissant sur par exemple les coordonnées du point P.

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Les opérateurs différentiels en question agissent sur les fonctions scalaires au point P.

Or quand on fait des dessins (exemple en lien), on dessine l'espace tangent et des vecteurs "classiques". Donc on fait un isomorphisme c'est bien ça, entre le dessin et la définition mathématique non ?

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Pas tout a fait. le problème de la géométrie différentielle c'est justement d'éviter ce genre de dessin.

Je donne mon point de vue de physicien.
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Le problème de la géométrie differentielle (on prendra une variété à 2 dimensions) c'est justement de décrire des propriétés sans référence à un espace de plongement.
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pour faire cela il "suffit" de:

1- créer un nombre d'opérateurs (a chaque point P) égal à la dimension de la variété.

2- Ces opérateurs ne peuvent être définis qu'a partir des systèmes de coordonnées (on ne dispose de rien d'autre!).

3- Ces opérateurs agissent sur des fonctions scalaires (quelque chose de simple).

Résultats: ce sont d/dx et d/dy qui vont définir des vecteurs contravariants.
Toutes combinaisons linéaires de ces 2 vecteurs sous-tendent un espace vectoriel qui est l'espace tangent au point P.

Voilà ce qui est pour moi la philosophie de l'espace tangent.

Remarque: La démonstration est tout à fait analogue à la construction de générateurs dans les groupes de Lie: quand on fait varier un paramètre (une translation infinitésimale) on étudie l'effet sur une fonction scalaire et l'on arrive inévitablement à introduirer pour les générateurs des dérivées qui proviennent du DL. la différence technique mineure est que dans le contexte des groupes de Lie il y a une métrique (ou quelquechose qui en tiend lieu) ce qui n'est pas nécesaire dans la géométrie différentielle pour construire un espace tangent (contrairement à la géométrie euclidienne usuelle).

[invité576543]

Bonjour,

Il y a quelques petites choses qui me gênent dans vos définitions.

Si on définit un vecteur par un opérateur différentiel , quelle est la "nature" de où est un champ scalaire?

Ensuite, j'ai toujours trouvé que parler de "vecteurs contravariants" et "vecteurs covariants" rendait la notion de "vecteur" tout court ambiguë. Perso, j'ai tendance à "penser" vecteur pour un et forme linéaire portant sur les vecteurs pour les .

Le point est surtout que j'ai du mal à démêler, dans toutes les définitions et approches proposées, lesquelles correspondent aux "vecteurs" et aux "formes" dans mon vocabulaire...

Du coup, je me jette dans la fosse, et expose ma conception...

Si on prend une fonction scalaire, on va finir par écrire termes négligeables quand dM tend vers l'identité entre M et M+dM, où représente une translation infinitésimal passant de M à un point "infinitésimalement" proche de M, l'ensemble de ces "machins" formant un espace vectoriel de dimension celle de la variété, et une forme linéaire agissant sur les "machins".

Avec une telle approche, qu'est ce que les vecteurs? Les ? Les formes (qui sont clairement le pendant d'une dérivée dans le cas de la dimension 1)? Les deux en distinguant (covariant et contravariant)?

Si on part d'une fonction dans l'autre sens (définition 1) de Sephi), on a une fonction , de R vers la variété, que l'on va chercher à linéariser localement comme où opère sur les points M pour donner un point M' voisin de M (c'est une translation infinitésimale). L'ensemble de ces opérateurs forme, dans l'approximation linéaire, un espace vectoriel de dimension la dimension de la variété, et X apparaît comme un élément de cet espace vectoriel. Sous cette forme (la définition 1 de Sephi, donc) on trouve les vecteurs , qui sont des générateurs de translations, de déplacements (opération qui à un point M associe un point voisin).

On peut joindre les deux approches (ce qui a le bon goût de symétriser complètement les deux notions de vecteur), en prenant un champ scalaire et une fonction M de R vers la variété, et étudier . f est une fonction de R vers R, qu'on suppose dérivable, et on cherche à découpler dans la dérivée (usuelle) de f la contribution de M et la contribution de . Cela donne où X(M) est un "machin" transformant une modification infinitésimale de en translation infinitésimale, et un anti-machin, transformant une translation infinitésimale en modification infinitésimale d'un réel (de ici).

De là on arrive assez facilement à la notion de classe d'équivalence entre champs M, l'équivalence correspondant à donner la même dérivée de pour tout champ donné, et réciproquement de classes d'équivalence entre fonctions M de R vers la variété, l'équivalence correspondant à donner la même dérivée de pour tout champ scalaire donné. (Je passe toutes les conditions d'existence, on suppose tout ça suffisamment lisse.) Ce sont ces classes d'équivalence qui sont les vecteurs covariants et contravariants, chaque ensemble de classes étant muni d'une structure d'espace vectoriel, et chaque espace étant assimilé au dual de l'autre. (L'opérateur différentiel apparaît alors comme l'opération associant à une fonction -un champ, resp.- la classe d'équivalence correspondante.)

Avec cette approche, on a , où , aussi noté est un vecteur, et une forme (un gradient), élément de l'espace dual de l'espace des vecteurs.

(Ouf... En espérant que je ne me suis pas trop emmêler les pinceaux avec les notation...)

Pour résumer, j'ai l'impression que parmi les différentes définitions données, certaines concernent les vecteurs à mon sens (la 1 de Sephi), d'autres les formes linéaires à mon sens (la définition de Mariposa, il me semble). Si mon analyse est correcte, ça peut être assez confusant... Ceci dit, mon approche est peut-être encore plus confusante, mais c'est celle qui me permet de comprendre les notions.

Je ne m'attend pas à des remarques positives de la part des autres intervenants (ceci dit, toute remarque constructive est la bienvenue), mais peut-être que ce petit texte aidera Gwyddon...

Cordialement,

Note: j'utilise la notation ou non pas pour référer à des composantes (ce qui sous-tendrait la définition a priori d'une base, inutile dans l'approche que je développe) mais pour désigner des "objets" particuliers, indépendamment de toute base. Le but est de distinguer les deux sortes d'objets qui nous intéressent. Le produit est l'application d'une forme sur un vecteur, dont le résultat (un nombre réel) est intrinsèque aux deux objets, indépendant de toute base et de toute métrique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

EUhhhh pause ?

Pour Sephi : oui je suis d'accord, ma définition était ta définition 1.

Bon du coup j'ai du mal, est-ce que ma vision "intuitive" des choses est correcte, ou pas ?


Pour mariposa : je sais bien que la philosophie c'est de s'abstraire du plongement, mais moi je parle juste de se représenter les choses, je veux faire le lien entre mes connaissances formelles et le dessin que j'ai fait

[invité576543]

J'ai oublié de préciser que les fonctions doivent coïncider pour définir les classes d'équivalence, correctif (y compris un certain nombre de confusions de notation...):

De là on arrive assez facilement à la notion de classe d'équivalence, définie pour un point M, entre fonctions coïncidant en M, l'équivalence correspondant à donner la même dérivée de en pour tout champ donné,

et réciproquement de classes d'équivalence entre champs , l'équivalence correspondant à donner la même dérivée de pour toute fonction donnée. (Je passe toutes les conditions d'existence, on suppose tout ça suffisamment lisse.) Ce sont ces classes d'équivalence, définie pour le point , qui sont...


Je vais relire le texte à tête reposée, pour trouver les autres confusions de notation... En espérant que l'esprit de ce qui est exposé soit compris, malgré les fautes de forme.

Cordialement,

[invité576543]

je veux faire le lien entre mes connaissances formelles et le dessin que j'ai fait

Ton dessin correspond aux directions de translations infinitésimales, ça va coller avec la définition 1) de Sephi. Mais sf erreur de ma part ça ne représente pas correctement les vecteurs duaux, qui sont ceux définis par mariposa (tj sf erreur de ma part).

Perso, je pense qu'il faut comprendre les deux à la fois, sinon on se fait une image fausse de l'une ou l'autre des notions.

La dualité est celle entre champs scalaires (dont parle mariposa) et fonctions de R vers M (dont parle Sephi): on cherche à définir une notion différentielle (linéarisation locale) aussi bien pour les uns que pour les autres.

Cordialement,

[mariposa]

Pour mariposa : je sais bien que la philosophie c'est de s'abstraire du plongement, mais moi je parle juste de se représenter les choses, je veux faire le lien entre mes connaissances formelles et le dessin que j'ai fait

Je ne comprends pas, ce que tu ne comprends pas. Le dessin que tu as fait correspond à la vision usuelle, familière, celle qui va de soi et qui ne peut être transposée à un espace courbe justement à cause du problème du plongement.
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On est arrivé avec le minimun de matériel à construire une vecteur contravariant X qui s'écrit dans une base quelconque:

X = X1.d/dx2 + X2.d/dx2 (X1 et X2 etant les composantes dans la base {d/dx1, d/dx2}

Ce vecteur X est également un opérateur tel que X.f =g expression vrai dans n'importe quelle base.

[Sephi]

Le point est surtout que j'ai du mal à démêler, dans toutes les définitions et approches proposées, lesquelles correspondent aux "vecteurs" et aux "formes" dans mon vocabulaire...

La déf. de mariposa est en fait la déf. (2) de mon 1er message. Ce sont toutes des déf. pour la notion de vecteur.

Alors mon vocabulaire :

vecteur = vecteur contravariant = tenseur (1,0) = tenseur 1x contravariant.
1-forme = covecteur = vecteur covariant = tenseur (0,1) = tenseur 1x covariant.

Pour Sephi : oui je suis d'accord, ma définition était ta définition 1.

Bon du coup j'ai du mal, est-ce que ma vision "intuitive" des choses est correcte, ou pas ?

La déf. (1) est parfaitement correcte, c'est juste que la déf. (2) est extrêmement utile aussi Il faut considérer les deux conjointement à mon avis.

[invité576543]

On peut toujours plonger les variétés qui nous intéressent ici dans un espace euclidien plus grand. A ce sens le dessin reste acceptable.

Mais c'est vrai qu'il est préférable d'atteindre une conception des espaces tangents ne faisant pas intervenir de plongement, et à ce sens le dessin est mal-guidant.

Cordialement,

[invité576543]

Alors mon vocabulaire :
- vecteur = vecteur contravariant = tenseur (1,0) = tenseur 1x contravariant
- 1-forme = covecteur = vecteur covariant = tenseur (0,1) = tenseur 1x covariant.

Bien d'accord!

La déf. de mariposa est en fait la déf. (2) de mon 1er message. Ce sont toutes des déf. pour la notion de vecteur.

Tu n'es pas d'accord que l'une des définitions porte sur les contravariants l'autre sur les covariants? Alors que
ta 1) parle de fonctions de R vers M, et que la définition de mariposa parle de champs scalaires?

Es-tu d'accord qu'il y a une relation entre vecteurs (contravariants) et différentielles de fonctions de R vers M, et une relation (similaire) entre 1-formes et gradients, i.e., différentielles de champs scalaires?
Cordialement,

[Sephi]

Il est vrai que ma déf. (1) parle de fonctions lR->M (les courbes) et que mariposa parle de fonctions M->lR (champs scalaires). Mais remarque que ma déf. (2) parle aussi de champs scalaires, c'est la même déf. De plus, mariposa parle bien des d/dx qui forment une base de l'espace tangent (s'il parlait des formes, ç'aurait été des dx tout court).

Courbes et champs scalaires sont équivalents pour définir la notion de vecteur. Une 1-forme n'est pas un champ scalaire : elle n'est pas définie sur la variété, mais sur un espace tangent. Dans le cas euclidien, espace tangent et variété se confondent d'où le fait qu'une forme est vue comme un vecteur mais bon c'est trompeur ça (mais les physiciens peuvent parfois se faire avoir ).

Genre le gradient d'une fonction scalaire, c'est pas un vecteur, c'est une forme.

[Gwyddon]

Merci à tous pour vos contributions, qui éclairent/débroussaillent ma vision

Sinon je suis d'accord avec la nomenclature de Sephi, c'est toujours comme ça que j'ai vu les vecteurs contravariants et covariants (ie vecteurs et formes)

[invité576543]

Genre le gradient d'une fonction scalaire, c'est pas un vecteur, c'est une forme.

C'est ce que j'ai écrit, non? C'est juste ou non?

Cordialement,

[invité576543]

Il est vrai que ma déf. (1) parle de fonctions lR->M (les courbes) et que mariposa parle de fonctions M->lR (champs scalaires). Mais remarque que ma déf. (2) parle aussi de champs scalaires, c'est la même déf. De plus, mariposa parle bien des d/dx qui forment une base de l'espace tangent (s'il parlait des formes, ç'aurait été des dx tout court).

Ok, une fois relu et relu, je vois.

L'un d'une difficultés (pour moi) est que les d/dx forment une base de l'espace tangent, mais que , est un élément de l'espace cotangent; et, dual, que les dx forment une base de d'espace cotangent alors que est un élément de l'espace tangent.

N'y a-t-il pas deux définitions de la notion de base (de l'espace tangent par exemple), selon qu'on la voit comme un jeu de n éléments de l'espace tangent dont on fait des combinaisons linéaires, ou comme un jeu de n éléments de l'espace cotangent, chacun donnant par application à un élément de l'espace tangent, une des coordonnées?

Cordialement,

[Sephi]

Bah oui un gradient c'est bien une forme.

N'y a-t-il pas deux définitions de la notion de base (de l'espace tangent par exemple), selon qu'on la voit comme un jeu de n éléments de l'espace tangent dont on fait des combinaisons linéaires, ou comme un jeu de n éléments de l'espace cotangent, chacun donnant par application à un élément de l'espace tangent, une des coordonnées?

Les n éléments de l'espace cotangent, c'est plutôt une base de l'espace cotangent que de l'espace tangent... C'est une base pour les formes, pas pour les vecteurs. Ce que tu donnes, c'est bien deux bases pour deux choses différentes, et non deux façons de définir la même chose.

[Sephi]

L'un d'une difficultés (pour moi) est que les d/dx forment une base de l'espace tangent, mais que , est un élément de l'espace cotangent; et, dual, que les dx forment une base de d'espace cotangent alors que est un élément de l'espace tangent.

Pour être rigoureux, le gradient de (en coordonnées) c'est la forme , les coefficients étant notés et assimilés à un n-uple et que l'on appelle abusivement "vecteur".

Un vecteur est de la forme .

Quant à ton dM j'avoue que je me suis perdu dans la lecture de ton message

[Sephi]

Arf j'ai utilisé deux fois le mot "forme", l'un au sens matheux et le second du langage courant...

[invité576543]

Quant à ton dM j'avoue que je me suis perdu dans la lecture de ton message

Si tu prends une fonction f de R vers la variété (je reprends ton "f", que je n'aime pas trop, tel qu'utilisé dans ton premier messages, à la place de mon "M"), comment notes-tu la différentielle de f?

Cordialement

[invité576543]

Pour être rigoureux, le gradient de (en coordonnées) c'est la forme , les coefficients étant notés et assimilés à un n-uple et que l'on appelle abusivement "vecteur".

Un vecteur est de la forme .

Dans cette notation, très courante, l'indice n'a pas la même signification, me semble-t-il, pour , dans le premier paragraphe, et pour , dans le dernier paragraphe. Suis-je le seul à être gêné par cela?

(Je précise est une forme, alors que , dans l'écriture proposée, est un réel. non?)

Cordialement,

[Gwyddon]

Hello,

Dans la première notation les sont les duaux des vecteurs de base de l'espace tangent non ?

Dans la deuxième notation, le au contraire sont les coordonnées de V dans la base des de l'espace tangent non ?

[Sephi]

Si tu prends une fonction f de R vers la variété (je reprends ton "f", que je n'aime pas trop, tel qu'utilisé dans ton premier messages, à la place de mon "M"), comment notes-tu la différentielle de f?

Ben je la note df. Et l'image par df de l'unique vecteur tangent de lR définit un vecteur tangent de la variété.

Mais ce qui me perturbe quand tu écris M au lieu de f, en disant que M est un point de la variété, c'est que M est juste un point tandis que f est bien une courbe. A deux courbes différentes f,g correspondent deux vecteurs différents, comment l'exprimer en utilisant M ?


Gwyddon > Tout à fait.

[invité576543]

Ben je la note df. Et l'image par df de l'unique vecteur tangent de lR définit un vecteur tangent de la variété.

Mais ce qui me perturbe quand tu écris M au lieu de f, en disant que M est un point de la variété, c'est que M est juste un point tandis que f est bien une courbe. A deux courbes différentes f,g correspondent deux vecteurs différents, comment l'exprimer en utilisant M ?

Ok, c'est juste la confusion entre P image de par M, et la courbe. Je vais faire plus attention dans mes écrits personnels pour éviter la confusion.

M désignant la courbe, dM est la même chose que ton df...

Cordialement,

[gatsu]

Bonjour,

Je fais remonter un peu ce fil parce que je suis en train de re-étudier un peu plus sérieusement les histoires d'espace tangent et tout ça.
Sur wiki il y a une def. qui me plait bien qui part de 2 courbes

où est une variété differentielle réelle (pour moi) de dimension .
D'après leur défintion, deux courbes et respectivement générée via et sont tangentes en un point de si il existe tq
et si pour une carte locale , on a :

Ils disent que cela constitue une relation d'équivalence et que la classe d'équivalence correspondante est l'espace tangent au point de la variété .
Ma question sans doute très bête est pourquoi c'est pas plutot

avec
qu'on demande pour définir deux courbes tangentes en un point ?

[G13]

Tu as raison deux courbe sont tangentes en un point si les deux "dérivées" sont colinéaires (a condition qu'elle ne soit pas nulle). Mais ici on veut définir l'espace tangent donc il ne suffit pas de donner la direction, il faut aussi le sens et la longueur.

[gatsu]

Tu as raison deux courbe sont tangentes en un point si les deux "dérivées" sont colinéaires (a condition qu'elle ne soit pas nulle). Mais ici on veut définir l'espace tangent donc il ne suffit pas de donner la direction, il faut aussi le sens et la longueur.

Ok merci !
une dernière question pour clore un peu ce sujet :

L'espace tangent en défini comme étant l'ensemble des classes d'equivalence de courbes passant par (via la relation d'equivalence précédemment citée) n'est pas le même que celui défini comme étant l'ensemble des dérivations en P (qui est la plus usuelle en physique) c'est ça ?

Mais par contre les deux espaces tangents ainsi définis sont isomorphes est ce que c'est bon ?

[G13]

Oui, Sephi l'a écrit dans le message 2.

[invité576543]

Ma question sans doute très bête est pourquoi c'est pas plutot

avec
qu'on demande pour définir deux courbes tangentes en un point ?

Bonjour,

α=0 ne pose-t-il pas un petit problème? (En particulier la symétrie de la relation d'équivalence...)

Sinon, la relation d'équivalence n'est plus la même. Il me semble qu'avec α on obtient les directions de l'espace tangent, et pas les vecteurs de l'espace tangent (donc les éléments de l'espace tangent).

On ne cherche pas à définir seulement la notion de tangence de deux courbes, mais aussi le fait que la variation par rapport à leurs paramètres respectifs "va aussi vite" au point de tangence.

Cordialement,

[gatsu]

Oui, Sephi l'a écrit dans le message 2.

Merci j'avais oublié .

α=0 ne pose-t-il pas un petit problème? (En particulier la symétrie de la relation d'équivalence...)

Sinon, la relation d'équivalence n'est plus la même. Il me semble qu'avec α on obtient les directions de l'espace tangent, et pas les vecteurs de l'espace tangent (donc les éléments de l'espace tangent).

On ne cherche pas à définir seulement la notion de tangence de deux courbes, mais aussi le fait que la variation par rapport à leurs paramètres respectifs "va aussi vite" au point de tangence.

Cordialement,

Effectivement je me suis rendu compte que ce n'est pas spécialement adapté pour établir une relation d'equivalence (disons que cela fait dépendre la relation d'equivalence d'un paramètre quelque peu inutile ).
Et tu as raison la valeut zero poserait problème a priori.

[invité576543]

Effectivement je me suis rendu compte que ce n'est pas spécialement adapté pour établir une relation d'equivalence (disons que cela fait dépendre la relation d'equivalence d'un paramètre quelque peu inutile ).

Si tu modifies ta définition, en imposant alpha différent de 0, tu obtiens quelque chose d'utile, et c'est bien une relation d'équivalence, mais ce n'est pas l'espace tangent. C'est un espace projectif, qui n'est pas composé de vecteurs ou de dérivations, mais d'autre chose, les "directions" des courbes. En gros les vecteurs unitaires de l'espace tangent.

Cordialement,