division euclidienne de polynomes de degré n

[inviteca9b3b96]

Bonsoir
décidement ce soir je ne cesse de demander de l'aide.
J'ai repris les notes de cours et en fait on a pas eu le temps de finir un exemple de calcul de division euclidienne.
A savoir on cherche a diviser x^n par (x-1)(x-2)(x-3)
J'ai essayé cette facon :
Pour x^n = (x-1)(x-2)(x-3)Q(x) + ax^2 + bx +c
En donnant la valeur 1, 2 et 3 à x, je me retrouve avec un systeme linéaire :
a + b +c = 1^n
4a + 2b + c = 2^n
9a + 3b + c = 3^n

Je ne vois pas bien comment résoudre ce systeme? enfin je trouve a=c=0 et b=1
merci de m aider

[invitebb921944]

Rebonjour !
Ta solution n'est pas bonne !
En remplacant dans la dernière qestion, on trouve par exemple 3=3^n, ce qui n'est pas toujours vrai
On résout ce genre de système par combinaison linéaire !
On note :

L1 : a+b+c=1
L2 : 4a+2b+c=2^n
L3 : 9a+3b+c=3^n
On commence par supprimer les c, ce qui est relativement simple.
En effet :
L2-L1 : 3a+b=2^n-1 (on la note L4)
L3-L1 : 8a+2b=3^n-1 (on la note L5)
On supprime ensuite les b :
L5-2L4 : 2a=3^n-1-2*(2^n-1)
Donc a=3^n/2-1/2-2^n+1=3^n/2-2^n+1/2

Tu remplaces ensuite a dans L4 (ou L5) et tu en déduis b, puis tu remplaces a et b dans L1 (ou L2 ou L3) et tu en déduis c !

Voilà !

[invite57a1e779]

a + b +c = 1^n
4a + 2b + c = 2^n
9a + 3b + c = 3^n

Je ne vois pas bien comment résoudre ce systeme? enfin je trouve a=c=0 et b=1

Quelle solution bizarrement fausse.

Je soustrais la première équation à chacune des suivantes, et j'obtiens


Je multiplie la deuxième équation par 2, et je soustrais le résultat à la troisième :


Le système est sous forme triangulaire, et la résolution immédiate.

[invite35452583]

Ou sans résolution de système.
xⁿ=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+a(x-1)(x-2)+b(x-1)(x-3)+c(x-2)(x-3)
On a immédiatement a=3ⁿ , b=2ⁿ c=1ⁿ=1
et a(x-1)(x-2)+b(x-1)(x-3)+c(x-2)(x-3)=(a+b+c)x²-(3a+4b+5c)x+2a+3b+6c.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Plop,

Pourquoi a-t-on immédiatement a=3^n, b=2^n et c=1 ?

J'étais partie sur les mêmes équations que God's Breath, mais les résultats ne ressemblent pas à tes coefficients de x², x et 1... Y aurait-il plusieurs possibilités ?

[invite57a1e779]

Pourquoi a-t-on immédiatement a=3^n, b=2^n et c=1 ?

Toujours la même méthode : on évalue successivement en x=3, x=2, x= 1.

homotopie fait du grand art, comme il sait que l'on va évaluer en ces points, il fait les calculs dans la base des polynômes de Lagrange au lieu de les faire dans la base canonique.

[invite1237a629]

Ah, pas bête pour le premier

Les polynômes de Lagrange ? Qu'est-ce donc ?


EDIT : ah...de l'algèbre... Bonne soirée à vous !

[inviteca9b3b96]

ha oui d'accord j'étais loin. Merci à vous tous je vais refaire l'exo et si je (re)-bloque je reviendrai poster (lol)
Merci bonne soirée à tous

[invite35452583]

Comme j'ai été vite j'ai par contre fait des erreurs de calcul.
a=3ⁿ/2 ; b=-2ⁿ ; c=1/2
car (x-1)(x-2) en x=3 vaut 2...

[invitea8961440]

if faut prendre n supèrieur à 0,et x egal à 0,la valeur en 0 de Q est c.I l faut prendre n egal à 1,2 et 3 et trouver a ,b et c.