Attention : vous faites des sommes avec (-1) ! qui n'est pas défini. Je pense qu'il est plus simple - et plus naturel - de faire le développement des premiers termes.
AInsi on voit que la somme sum (-1)k/(2k-1)! doit démarrer avec k=1 (car -1! n'existe pas) et ses premiers termes sont :
-1+1/3!-1/5!+...
La somme sin(1)=sum (-1)k/(2k+1)! démarre avec k=0 et ses premiers termes sont :
1-1/3!+1/5!+..
On conclut facilement
-----
