séries

[invite572ebd1a]

Bonjour,
je n'arrive pas à montrer que la série (-1)^n(1/(2n-1)!) converge et à donner sa somme.
Quelqu'un peut m'aider?
Merci
-----

[invitec053041c]

Salut.

Saurais-tu expliquer poruquoi elle converge absolument ?

[invite572ebd1a]

euh non, je ne vois pas trop ce que tu veux dire.
est-ce qu'il faut montrer la convergence absolue?

[invitec053041c]

Oui, par exemple..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite572ebd1a]

ok mais je ne vois pas très bien comment procéder: quel critère utiliser.

[invitec053041c]

D'Alembert, à tout hasard.

[invite572ebd1a]

ok quand je calcul un+1/un je trouve (-1)/((2n)(2n+1)) est-ce que c'est correcte?

[invitec053041c]

N'oublie pas quela règle de d'Alembert sert à montrer une absolue convergence. Donc on veut le rapport des valeurs absolues...

[invite572ebd1a]

ah oui don à la fin j'obtiens 1/(4n²+2n)
je peux utiliser le critère d'équivalence ici?
Si oui je dirai que c'est équivalent à 1/4n² et donc la d'après Riemann la série converge.

[invite3240c37d]

Une autre façon ... . Je te laisse voir comment tu peux majorer

[invitec053041c]

ah oui don à la fin j'obtiens 1/(4n²+2n)
je peux utiliser le critère d'équivalence ici?
Si oui je dirai que c'est équivalent à 1/4n² et donc la d'après Riemann la série converge.

Sais-tu vraiment comment on utlise la règle de d'Alembert ?

Je te conseille d'aller voir là: http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_d'Alembert

[invite572ebd1a]

Ah mince donc il suffit de dire que la limite de 1/(4n²+2n) est <1 puisqu'elle tend vers 0 et donc ça converge.
C'est bien ça?

[invitec053041c]

Ah mince donc il suffit de dire que la limite de 1/(4n²+2n) est <1 puisqu'elle tend vers 0 et donc ça converge.
C'est bien ça?

Voui, pas plus compliqué que ça .

[invite572ebd1a]

ok merci j'avais un peu oublier le critère
Sinon pour calculer la somme je ne vois pas comment procéder.

[invitec053041c]

Euh, essaye de te rappeler les séries associées à cos et sin..

[invite572ebd1a]

je pense qu'il faut utiliser sinus mais je ne vois pas très bien comment, car je pensais que pour sinus il fallait (-1)^n(1/(2n+1)!) et non (-1)^n(1/(2n-1)!)

[invitec053041c]

Tu sais que (2n-1) et (2n+1) parcourent les mêmes nombres (les impairs), ils diffèrent seulement à l'initialisation.

[invite572ebd1a]

ah oui d'accord je n'y avais pas penser
sin k= somme de k=0 à n de (-1)^k/(2k+1)!
donc ici on aurait somme de k=0 à n-1 de (-1)^k/(2k-1)!
si je comprend bien

[invite572ebd1a]

Qu'elqu'un peut m'aider?
Je n'arrive pas à calculer cette somme.

[Flyingsquirrel]

Salut

Bon, déjà donc ce qui va nous intéresser c'est .

Le problème est que l'on veut avoir (2k-1)! au dénominateur donc on va réindexer la somme en posant k'=k+1 soit k=k'-1. On vérifie bien que (2k+1)!=(2(k'-1)+1)!=(2k'-1)!. Le premier indice de la somme devient 0-1=-1 d'où .
Reste à transformer légèrement cette somme pour obtenir

[invite572ebd1a]

MErci beaucoup pour ton aide, par contre je ne vois pas trop la légère transformation qui est à faire.
Peut-on utiliser le fait que k'=k+1 soit k=k'-1, si oui je vois pas très bien comment, est-ce que il suffit de remplacer k' par k+1 dans l'expression?

[Flyingsquirrel]

Non, les indices k et k' sont muets, on peut leur donner le nom que l'on veut ça ne change absolument pas la valeur de la somme. Si j'ai introduit k' c'est uniquement pour détailler le changement d'indice mais j'aurai très bien pu écrire .

Bon, sinon, les deux sommes sont quasiment identiques, la seule différence entre les termes généraux est le qui devient . (comment passer de l'un à l'autre ?) L'indexation diffère aussi : une série commence à , l'autre à . (autrement l'une commence avant l'autre)

[invite572ebd1a]

ok est-ce que si je fait le terme en -1 + le reste de la somme en commençant donc par 0 ça marche?

[Flyingsquirrel]

Oui mais il reste le (-1)^k à gérer.

[invite572ebd1a]

ah zut je pensais qu'il ne posait plus de problèmes
je ne vois pas comment faire là

[Flyingsquirrel]

Ça n'est qu'un problème de signe : -(-1)^k-1=?

[invite572ebd1a]

-(-1)k-1=(-1)^k

mais après il n'y aura pas un problème de signe?

si je comprend bien il faut mettre le -1 dans le premier terme puis après on à la somme voulu.

cela donnerai sin 1=-(-1)²/(-4)+ la somme

[Flyingsquirrel]

C'était simplement pour te faire voir que . Ensuite il n'y a plus qu'à régler le problème du terme k=-1 qu'il y a dans l'expression de et c'est gagné.

[invite572ebd1a]

Ah oui d'accord!
merci beaucoup je ne l'avais pas vu en effet (la gourde)
Merci

[invite572ebd1a]

Désolé je vais encore t'embêter un peu en fait je n'arrive pas à règler le problème du terme k=-1.
Peux-tu encore m'ader stp?