Quelle est cette drôle de suite ?

[Tbop]

Hier sur mon banc de musculation (et oui faut se préparer physiquement pour les concours ^^ !), je réfléchissais comme à mon habitude.

Et puis je me suis interrogé sur une suite qui m'est apparue devant mes neurones.

On considère la suite (u_n) définie par :
u₁=1 , u₂=2 , u₃=2 , u₄=3 , ... , u₆=3 , u₇=4 ,..., u₁₀=4 , u₁₁=5,...

On s'est compris.

Tout d'abord je me suis naïvement demandé si la série de terme général 1/u_n convergait. Réponse obtenue en 10 secondes en la comparant à la série harmonique...

Et puis alors j'ai commencé à tracer sa représentation dans ma tête. Et j'ai trouvé qu'elle divergeait élégamment, elle me rappelait intuitivement une courbe logarithmique. Plus elle diverge et plus elle s'étale en longueur.
Alors j'ai tenté de la considérer comme lisse et j'ai regardé par quelle droite tangente je pouvais l'approximer.
Et là...
La suite fait évidemment des paliers. Si je considère la droite passant par le début de 2 marches successives, j'ai donc une différence de hauteur de 1, et une différence en largeur de n+1 termes. Soit une suite que je peux approximer localement au n^ème palier par une tangente de coefficient directeur 1/(n+1).
Mince on commence vraiment à toucher des similitudes avec le logarithme.

Mais voilà la comparaison semble s'arrêter là et quand je demande à maple de me tracer floor(ln(n+1)) on est bien en dessous de la suite (u_n)

J'avoue que je ne comprends pas pourquoi...

Cependant je suis sûr que cette suite est connue et qu'elle a déjà été étudiée. Alors je me demande si quelqu'un pourrait m'éclairer un peu sur son petit nom et ses éventuelles propriétés remarquables.

Merci.
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[Tbop]

Tiens je viens de m'apercevoir avec enchantement que la version LateX de FSG a enfin été mise à jour

[ericcc]

voir ici : http://mathworld.wolfram.com/Self-CountingSequence.html

[Tbop]

C'est vrai que ça sentait gros la sqrt :

http://www.research.att.com/~njas/se...e?a=2024&fmt=5

Là où je ne comprends c'est comment cette suite lissée admettant apparemment des tangentes de forme 1/(n+1) n'a aucun rapport avec le log ? Mon raisonnement doit être faux alors ?

Cela dit quelqu'un sait comment on démontre les 2 relations ? Ça viendrait de la relation de récurrence non ? Des résultats sur le récursif et les équations linéaires qui échappent à mon petit cours de Spé.

[A voir en vidéo sur Futura]