Bonjour,
j'ai du mal à saisir la démo de cette proposition.
On montre dans un premier temps que pour un corps,
si la caractéristique deest première avec
, alors:
i) les racines de l'unité danssont des racines simples du polynôme
;
ii) les facteurs irréductibles dans la décomposition deen irréductible dans
sont tous de multiplicité un;
iii) les racines primitives de l'unité danssont les racines de
(le polynôme cyclotomique) dans
.
on a ensuite cette proposition:
Soitun corps fini à
éléments et
un entier premier à
. Notons
l'ordre de la classe de
dans
(i.e. le plus petit entier tel que
).
Alors les facteurs irréductibles dans la décomposition du polynôme cyclotomiquesur
sont tous de degré
et de multplicité un.
démonstration: Le fait que les facteurs irréductibles sont tous de multiplicité un résulte directement de la proposition précédente. Montrons qu'ils sont de degré:
soitun tel facteur et
son degré.
Considérons le corps, de cardinal
. Tout élément non nul
vérifie
(car le groupe
est d'ordre
).
Soitla classe de
dans
: cet élément annule l'image de
, donc l'image de
dans
. C'est donc une racine primitive
-ième dans
(d'après la proposition précédente).
Puisqueet que
est primitive, alors
divise
, i.e.
.
Cela montre queest un multiple de l'ordre de
de
dans
, et en particulier
.
Montrons que: puisque
et que
divise
, on a
donc
.
Considérons l'ensemble des racines dansde l'équation
: c'est un sous-corps
de
contenant
(la vérification est aisée; noter que la stabilité par addition provient du fait que l'on est en caractéristique
).
Commecontient
, et que
(i.e.
est un élément primitif de l'extension
), on a
.
De plus un polynôme de degrépossède au plus
racines distinctes dans un corps.
Donc le cardinalde
est plus petit que
, d'où
.
Déjà je ne comprends pas pourquoi siannule l'image de
, alors il annule aussi l'image de
dans
.
Merci pour votre aide.
-----