corps fini et racines de l'unité, preuve incomprise

invite769a1844 · 22/04/2008, 14h30

Bonjour,

j'ai du mal à saisir la démo de cette proposition.

On montre dans un premier temps que pour un corps $\text{[math]}$ ,
si la caractéristique de $\text{[math]}$ est première avec $\text{[math]}$ , alors:

i) les racines de l'unité dans $\text{[math]}$ sont des racines simples du polynôme $\text{[math]}$ ;
ii) les facteurs irréductibles dans la décomposition de $\text{[math]}$ en irréductible dans $\text{[math]}$ sont tous de multiplicité un;
iii) les racines primitives de l'unité dans $\text{[math]}$ sont les racines de $\text{[math]}$ (le polynôme cyclotomique) dans $\text{[math]}$ .

on a ensuite cette proposition:

Soit $\text{[math]}$ un corps fini à $\text{[math]}$ éléments et $\text{[math]}$ un entier premier à $\text{[math]}$ . Notons $\text{[math]}$ l'ordre de la classe de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ (i.e. le plus petit entier tel que $\text{[math]}$ ).
Alors les facteurs irréductibles dans la décomposition du polynôme cyclotomique $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ sont tous de degré $\text{[math]}$ et de multplicité un.

démonstration: Le fait que les facteurs irréductibles sont tous de multiplicité un résulte directement de la proposition précédente. Montrons qu'ils sont de degré $\text{[math]}$ :

soit $\text{[math]}$ un tel facteur et $\text{[math]}$ son degré.
Considérons le corps $\text{[math]}$ , de cardinal $\text{[math]}$ . Tout élément non nul $\text{[math]}$ vérifie $\text{[math]}$ (car le groupe $\text{[math]}$ est d'ordre $\text{[math]}$ ).
Soit $\text{[math]}$ la classe de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ : cet élément annule l'image de $\text{[math]}$ , donc l'image de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . C'est donc une racine primitive $\text{[math]}$ -ième dans $\text{[math]}$ (d'après la proposition précédente).

Puisque $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ est primitive, alors $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ , i.e. $\text{[math]}$ .
Cela montre que $\text{[math]}$ est un multiple de l'ordre de $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , et en particulier $\text{[math]}$ .

Montrons que $\text{[math]}$ : puisque $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .
Considérons l'ensemble des racines dans $\text{[math]}$ de l'équation $\text{[math]}$ : c'est un sous-corps $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ (la vérification est aisée; noter que la stabilité par addition provient du fait que l'on est en caractéristique $\text{[math]}$ ).
Comme $\text{[math]}$ contient $\text{[math]}$ , et que $\text{[math]}$ (i.e. $\text{[math]}$ est un élément primitif de l'extension $\text{[math]}$ ), on a $\text{[math]}$ .
De plus un polynôme de degré $\text{[math]}$ possède au plus $\text{[math]}$ racines distinctes dans un corps.
Donc le cardinal $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ est plus petit que $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ .

Déjà je ne comprends pas pourquoi si $\text{[math]}$ annule l'image de $\text{[math]}$ , alors il annule aussi l'image de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Merci pour votre aide.

**God's Breath** · 22/04/2008, 15h39

Envoyé par rhomuald

démonstration: Le fait que les facteurs irréductibles sont tous de multiplicité un résulte directement de la proposition précédente. Montrons qu'ils sont de degré $\text{[math]}$ :

Soit $\text{[math]}$ la classe de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ : cet élément annule l'image de $\text{[math]}$ , donc l'image de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Déjà je ne comprends pas pourquoi si $\text{[math]}$ annule l'image de $\text{[math]}$ , alors il annule aussi l'image de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Tout simplement parce que $\text{[math]}$ est un facteur de $\text{[math]}$ .

invite769a1844 · 22/04/2008, 16h05

Envoyé par God's Breath

Tout simplement parce que $\text{[math]}$ est un facteur de $\text{[math]}$ .

ah oui c'est vrai, je suis tellement perdu dans ce formalisme des corps que je sais plus lire

Merci gb

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