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corps fini et racines de l'unité, preuve incomprise



  1. #1
    rhomuald

    corps fini et racines de l'unité, preuve incomprise


    ------

    Bonjour,

    j'ai du mal à saisir la démo de cette proposition.

    On montre dans un premier temps que pour un corps ,
    si la caractéristique de est première avec , alors:

    i) les racines de l'unité dans sont des racines simples du polynôme ;
    ii) les facteurs irréductibles dans la décomposition de en irréductible dans sont tous de multiplicité un;
    iii) les racines primitives de l'unité dans sont les racines de (le polynôme cyclotomique) dans .

    on a ensuite cette proposition:

    Soit un corps fini à éléments et un entier premier à . Notons l'ordre de la classe de dans (i.e. le plus petit entier tel que ).
    Alors les facteurs irréductibles dans la décomposition du polynôme cyclotomique sur sont tous de degré et de multplicité un.

    démonstration: Le fait que les facteurs irréductibles sont tous de multiplicité un résulte directement de la proposition précédente. Montrons qu'ils sont de degré :

    soit un tel facteur et son degré.
    Considérons le corps , de cardinal . Tout élément non nul vérifie (car le groupe est d'ordre ).
    Soit la classe de dans : cet élément annule l'image de , donc l'image de dans . C'est donc une racine primitive -ième dans (d'après la proposition précédente).

    Puisque et que est primitive, alors divise , i.e. .
    Cela montre que est un multiple de l'ordre de de dans , et en particulier .

    Montrons que : puisque et que divise , on a donc .
    Considérons l'ensemble des racines dans de l'équation : c'est un sous-corps de contenant (la vérification est aisée; noter que la stabilité par addition provient du fait que l'on est en caractéristique ).
    Comme contient , et que (i.e. est un élément primitif de l'extension ), on a .
    De plus un polynôme de degré possède au plus racines distinctes dans un corps.
    Donc le cardinal de est plus petit que , d'où .


    Déjà je ne comprends pas pourquoi si annule l'image de , alors il annule aussi l'image de dans .

    Merci pour votre aide.

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : corps fini et racines de l'unité, preuve incomprise

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    démonstration: Le fait que les facteurs irréductibles sont tous de multiplicité un résulte directement de la proposition précédente. Montrons qu'ils sont de degré :

    Soit la classe de dans : cet élément annule l'image de , donc l'image de dans .


    Déjà je ne comprends pas pourquoi si annule l'image de , alors il annule aussi l'image de dans .
    Tout simplement parce que est un facteur de .

  3. #3
    rhomuald

    Re : corps fini et racines de l'unité, preuve incomprise

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Tout simplement parce que est un facteur de .
    ah oui c'est vrai, je suis tellement perdu dans ce formalisme des corps que je sais plus lire

    Merci gb

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