Proba !!!! variables aléatoires & co

[invited160314a]

Coucou !
Je viens chercher de l’aide ici puisque j’ai quelques exos à résoudre avant un DS et sur cette liste je coince sur certain.
J’espère que vous pourrez m’aider à avancer !
Exercice 1
Dans un grand magasin le nombre de client présents un certain jour suis une loi de poisson de paramètre a. D’autre part chaque client a la probabilité p de se faire voler son portefeuille et on suppose les différents tentatives de vol indépendantes. On note X la Va égale au nombre de clients fréquentant le magasin un jour donné et Y la va égale au nombre de clients qui se font voler leur portefeuille ce même jour.
1/ Déterminer pour tout k<=n la probabilité P(Y=K/X=n)
J’ai pensé à une loi binomiale ?
2/ Déterminer la loi de Y, son espérance et sa variance
3/ On note Z la va égale au nombre de clients qui ne se font pas voler leur portefeuille. Quelle est la loi de Z ?
4/ Montrer que Y et Z sont indépendantes
Exercice 2
On jette 10 fois un dé à 6 faces. On note Xi le numéro obtenu au ième jet. ON suppose Xi ind.
1/ Déterminer la loi des variables aléatoire Xi, Calculer E(Xi) et var(Xi)
2/ On pose M :=max(X1……..X10) Calculer P(M<=k)(1<=K<=6) et en déduire la loi de M. Calculer E(M)
Exercice 3
Deux joueurs A et B lancent une pièce ce monnaie équilibrée n fois chacun
1/ Calculer la probabilité qu’ils obtiennent exactement le même nombre de Pile
2/ Quelle est la probabilité que A obtienne strictement plus de pile que B ?
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[invite986312212]

salut,

pour 1) tu as raison: si le nombre de clients est fixé, le nombre de ceux d'entre eux qui se font voler leur portefeuille est binomial (indépendance et proba constante).
pour 2) tu connais la loi de X et la loi conditionnelle de Y si X. La loi de Y s'obtient en intégrant selon la loi de X: . Cette série a l'air compliquée mais un petit miracle se produit, je te laisse le découvrir.
pour 3) il suffit d'une seconde de réflexion.
le résultat 4) est très intéressant et un peu contre-intuitif puisqu'on pourrait croire que plus il y a de volés moins il y a de non volés et donc que ces variables sont négativement corrélées. Il est à rapprocher du théorème de Raikov.

qu'as-tu fait pour les autres exercices?