integrale double

[inviteed58182a]

hello jai un souci : on me demande de calculer l'aire de la surface délimitée par la boucle de la courbe : x^3+y^3-3*x*y=0 avec deux methodes : coordonnées polaires et transformation des coordonnées : u=x+y et v=x-y et jai aucune idée de comment on fait
si vous pouviez me filer un petit coup de main ça m'arrangerait pas mal
merci d'avance...
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[Calvert]

Il faut remplacer tes variables x et y par les variables r et ou u et v. Attention d'exprimer correctement le dxdy: il doit être obtenu en prenant la déterminant de la matrice Jacobienne de la transformation de coordonnées (par exemple, pour les coordonnées polaires:

[inviteed58182a]

mon probleme c'est que je sais pas entre quoi et quoi je dois integrer...

[invitebe6c366e]

Le rayon va de 0 à sqrt((3/2)^2+(3/2)^2), la boucle est symétrique par rapport à la courbe identitée et ainsi, en observant la boucle, on remarque que le rayon maximale est lorsque x=y.

Pour l'angle, il va de 0 à Pi/2.

je me trompe ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteed58182a]

C'est aussi ce que je pensais après une nuit de réflexion. Mais merci bôcoup pour la confirmation!

[invite57a1e779]

Bonjour,

on me demande de calculer l'aire de la surface délimitée par la boucle de la courbe : x^3+y^3-3*x*y=0 avec deux methodes : coordonnées polaires et transformation des coordonnées : u=x+y et v=x-y et jai aucune idée de comment on fait

En polaires, le folium de Descartes a pour équation . L'otigine est obtenue pour et ; l'aire demandée est donc
où est défini par les inégalités et .

Par changement de coordonnées, l'aire demandée est (ne pas oublier le jacobien du changement de variables), où est la boucle de la courbe d'équation soit .
En résolvant l'équation du second degré en , on voit que le domaine est défini par les équations et

[inviteed58182a]

merci, amen !