[MPSI] Problème de limite

[invite413cbc75]

Bonjour,

J'ai un petit problème. En fait, j'ai fait dans un dm un résonnement dont le résultat me semble louche. Voici la chose :

On a f une fonction contiue sur R telle que pour tout réel x, f(x) appartient à [-1,1] et f(0)=0.
Je définis alors la suite (Vn) telle que pour tout entier n positif on a (pour x réel fixé) :

Vn = (2^n)/x * argth [ f(x / (2^n))].

Alors pour tout entier n positif on a, en posant y = f(x / (2^n)) :

Vn = (2^n)/x * 1/2 * ln [ (1+y) / (1-y) ]

= (2^(n-1))/x * ln [ (1+y) / (1-y) ]

= (2^(n-1))/x * ln (1+y) - (2^(n-1))/x * ln (1-y)

= [2^(n-1) * ln(1+y)] / x - [2^(n-1) * ln(1-y)] / x

= [ ln ((1+y)^(2^(n-1))) ] / x - [ ln ((1-y)^(2^(n-1))) ] / x

Or quand n tend vers l'infini :
x / (2^n) tend vers 0 donc y tend vers 0 (car f(0)=0 et f continue)

donc (1+y)^(2^(n-1)) tend vers 1, donc le logarithme tend vers 0.

de même on a ln ((1-y)^(2^(n-1))) tend vers 0

donc on arrive à Vn tend vers 0.


P-S : Excusez-moi pour l'écriture, je sais que c'est pas très simple à lire ...
Merci à tous les courageux qui voudront bien m'aider quand même (s'il n'y en a pas je comprendrais pourquoi ).
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[invitea3eb043e]

Juste pour guider sans être rigoureux : ton truc ressemble à
Arg th[f(u)]/u quand u tend vers zéro
On peut l'écrire :
[Argth(f)/f(u)]*f(u)/u
en espérant que f ne va pas s'annuler trop souvent !
Le crochet tend vers 1 si f tend vers 0 et le reste, c'est la dérivée de f en 0 si elle existe.

[invite9c9b9968]

Hello,

donc (1+y)^(2^(n-1)) tend vers 1, donc le logarithme tend vers 0.

Ce passage est très suspect : ton y dépend de n, ne l'oublie pas

Ton raisonnement n'est donc pas correct. Exemple :

pour n tendant vers l'infini (à x fixé).

Donc .

C'est faux, puisque en fait

[invite57a1e779]

La limite est plutôt ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Euh oui oubli de ma part

[invitec317278e]

Petit rappel (qui n'est sans doute pas un rappel, car ceci n'est pas vu en Terminale S), de manière générale : , avec 1 représentant quelque chose qui tend vers 1, est une forme indéterminée.

[invite413cbc75]

Petit rappel (qui n'est sans doute pas un rappel, car ceci n'est pas vu en Terminale S), de manière générale : , avec 1 représentant quelque chose qui tend vers 1, est une forme indéterminée.

Ah oui, alors rien que ça sa casse tout mon résonnement ^^

Merci à tous pour vos réponses, donc en clair tout mon truc est faux