Une série...
Salut,
j'essaie d'étudier la nature de cette série mais à vrai dire je n'ai pas d'idée :
la série de terme général : (1/p(n))^p(n) tq p(n) est le nombre de chiffre de l'écriture décimale de n .
je cherche juste des indications si vous pouvez m'aider .
Merci
Combien y a t il de nombres qui ont n chiffres dans leur écriture décimale ?
c'est 10^n (n différent de 2) , mais je vois tjrs pas comment exploiter cette indication.. juste que dans un intervalle d'entiers k de longueur 10^n-1 on a p(k+1)=p(k) puis essayer l'une des régles de comparaison , mais je sais pas si ça va aboutir à qq chose ou non !
Non ce n'est pas juste, il n'y en a pas 10^n qui ont exactement n chiffres : il faut enlever tous ceux qui ont moins de n chiffres.
Une indication : tu sais qu'il y a moins d'éléments avec k chiffres que 10^k, donc ta série est majorée par la série de terme général 10^k/k^k ....
à part pour n=2 j'avoues que je ne vois pas pourquoi c'est faux !
vous pouvez me donnez un contre exemple ?
Edit: je viens de voir l'indication mais je me pose tjrs la question ...
Il y a 9 nombres à 1 chiffre (j'enlève le zéro),
puis 99 [de 1 à 99]-9[de 1 à 9] nombres à 2 chiffres,
puis 999-(99-9) nombres de 3 chiffres etc....
Euh... mal ou trop vite expliqué (999–(99–9)=909) :
En enlevant le 0,
- il y a 9 nombres de 1 à 1 chiffre
- il y a 99 nombres de 1 à 2 chiffres
- il y a 999 nombres de 1 à 3 chiffres
...
donc :
- il y a 9 nombres de 1 chiffre
- il y a 90 nombres de 2 chiffres (99–9)
- il y a 900 nombres de 3 chiffres (999–99)
...
Donc après tu peux regouper les termes de la série par paquets contenant les nombres de même longueur, dont le nombre est connu, et dont le terme à sommer est constant, et donc tu transformes ta série en une nouvelle série, dont l'indice cette fois est la longueur.
Merci bcp à vous et désolée pour le retard !
