Valeurs propres

[invite4f9b784f]

Bonjour,

Je me demande quelles sont les valeurs propres de l'endomorphisme f de l'espace vectoriel des matrices carrées complexes d'ordre n tel que :

f(X) = -X + Tr(X)*I

Tout ce que je sais c'est qu'il faut chercher Lambda telle qu'il existe un vecteur non nul X tel que :

f(X)=Lambda*X

J'aboutis à :



Et je trouves qu'évidemment (n-1) est une valeur propre, mais je ne sais pas comment faire après.

P.S. : Je n'ai pas encore étudié ce cours.

Merci de votre aide.
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[invite4f9b784f]

Ben voilà, je crois que j'ai trouvé :

En sommant de part et d'autre sur j allant de 1 à n, on aboutit à :

(n-1)*Tr(X)=Lambda*Tr(X) ;

Si Tr(X) <> 0 Alors Lambda = (n-1)

Si Tr(X) = 0 Alors f(X) = -X et Lambda = (-1).

Est-ce correct ?

[God's Breath]

Oui, ce que tu as fait est correct. Il faudrait seulement le mettre au propre...

C'est une approche calculatoire du problème.

Je t'en propose une autre :
On a si et seulement si .
En notant , on définit un endomorphisme de l'espace des matrices, et l'on peut exprimer facilement les éléments propres de en fonction de ceux de .
Comme est de rang 1, avec un noyau et une image que l'on détermine facilement, le calcul des véléments propres de en est grandement facilité.

[invite4f9b784f]

Merci pour votre réponse.

Peut être que je comprends mal là; mais je ne vois pas par exemple comment trouver les sous-espaces propres associés à ces valeurs, et comment g est de rang 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Dès que l'on définit par , il est immédiat que
– son image est la droite engendrée par la matrice unité , droite propre pour la valeur propre ;
– son noyau, espace propre pour la valeur propre 0, est l'hyperplan des matrices de traces nulles.

[invite4f9b784f]

Merci beaucoup

[God's Breath]

De rien...

[invite4f9b784f]

Bonjour,

On me demande ensuite de dire si l'endomorphisme f est diagonalisable.

On a qui est égale à la dimension de M_n(C) d'où l'endomorphisme est diagonalisable.

C'est la définition que j'ai trouvé sur Wikipédia. Cependant je ne sais pas si je dois considérer la dimension de M_n(C) = n² ou celle de L(M_n(C)) qui est alors égale à n^4.

Est-ce correct ?

Merci.