applications lineaires, quelques calculs

[invite26cb47bb]

Bonjour a tous

Voila je viens de commencer l'agebre et les applications lineaires et je seche sur quelques calculs.

j'ai une application lineaire f(x,y,z,t)=(x-z, -x+y-z+t, x-2y+2z-t, -x-y+2z)
la matrice est donc
1 0 -1 0
-1 1 -1 1
1 -2 2 -1
-1 -1 2 0

j'ai tout d'abord determine une base de Im(f) , j'ai trouvé qu'il s'agissait des 3 premiers vecteurs colonnes de la matrice car ceux ci sont libre mais que le derniere est combinaison lineaire des 3 premiers

J'ai maintenant besoin de trouver une base de Ker(f) et là je seche.
J'ai vu qu'on pouvait faire cela en echelonnant le systeme homogene correspondant a la matrice, mais cela ne me mene a rien.
Peut etre que ce n'est pas la bonne methode...

D'avance merci pour votre aide si quelqu'un peut m'expliquer comment faire
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[sylvainc2]

Tu peux écrire la matrice sous forme échelon réduite, ca donne:

[ 1 0 0 -1 ]
[ 0 1 0 -1 ]
[ 0 0 1 -1 ]
[ 0 0 0 0 ]

La derniere ligne est zero, ca veut dire que quand tu résouds le systeme Av = 0 tu as une seule variable libre. Si tu en avais plusieurs tu alternerais les valeurs 0 et 1 pour ces variables libres, mais ici il en a une seule, donc tu lui assigne la valeur 1. La solution est le vecteur de la derniere colonne mais avec les signes inversés, et le zéro est remplacé par ce 1 de la variable libre (qui est t selon ta notation). Donc un vecteur de la base du noyau est (1,1,1,1).

[alebot]

Bonjour,

Les trois premiers vecteurs sont libres et le quatrième est l'opposé de la somme des trois premiers, on a donc bien
dim(Im f)=3
Le théorème du rang nous indique que,
dim(Ker f)=1
Reste à trouver un vecteur X non nul tel que
MX=0
il constituera une base de Ker f

[inviteaf1870ed]

Si j'appelle e1, e2, e3, e4 les vecteurs de la base canonique de IR^4, tu as remarqué que f(e4) était l'opposé de la somme des images des autres vecteurs de la base. Ce que je peux écrire sous la forme
f(e4)=-[f(e1)+f(e2)+f(e3)] ou
f(e4)+f(e1)+f(e2)+f(e3)=0
Cela devrait te donner une indication pour le vecteur qui engendre Ker f

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite26cb47bb]

yahou

merci les gens
Sylvainc21 j'ai bien trouve la meme base que toi... c'est rassurant.
Ca me paraissait bizarre comme resultat, je sais pas pourquoi mais c'est l'impression que mon resultat me donnait... il me "semblait un peu trop simple"...


J'aurai une autre question qui tient d'un petit detail mais qui a son importance.
toujours avec la meme apps lineaire et donc la meme matrice,je cherche à calculer Mat(f, B'->B)
avec B la base canonique (que j'aime bien ^^) de R4 et
B'=(u1=(1,0,0,0),u2=(1,1,0,0), u3=(1,1,1,0),u4=(1,1,1,1)) qui est une autre base de R4

ce que j'ai fait jusqu'à maintenant:
j'ai calcule f(u1)=(1,-1,1,-1)
f(u2)=(1,0,-1,-2)
f(u3)=(0,-1,1,0)
f(u4)=(0,0,0,0)
les coordonnées de vecteurs que je viens de calculer sont les coordonnées dans la base canonique?? est ce que je dois les traduire dans la base B'?
je trouve ainsi la Mat(f,B')
maintenant je reprend f(u1)...et je prend leurs coordonnées dans la base canonique(base d'arrivée) (ca ne va pas changer les coordonnées) et j'obtient au final la mat(f,B'->B)
est ce que ma methode est correcte? est ce que dans ma question au milieu (rouge pour une question de visibilite) je doit reesprimer les vecteurs obtenues dans la base B' ?

D'avance merci
A+

[inviteaf1870ed]

Je ne sais pas ce que veut dire ta notation Mat(f,B'-->B)

Pour écrire la matrice d'une application f dans une base B, il suffit d'exprimer les coordonnées des vecteurs de la base et de les ranger verticalement.

La matrice est ainsi le tableau :

f(e1) f(e2) f(e3) ....
e1
e2
e3
.
.

[invite26cb47bb]

erf pour ce qui est de ma notation je ne saurai pas te l'expliquer tres clairement n'ayant pas non moi meme une definition tres precise.
Il s'agit de la matrice d'une apps lineaire dans des bases.
Sans etre sure a 100%, il s'agit de la matrice de l'apps f dans une base.
C'est ce que l'on note Mat(f,B) dans les cas ou f va de Rn dans Rn et ou on a B=B' 2 base identique de Rn.
Je sais pas si je t'ai aide...?!

[invite26cb47bb]

j'ai cheche un peu et voila une definition trouvee qui me semble complete si cel peut t'aider

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie n et p , respectivement. Soit f une application linéaire. Choisissons une base = (u1, u2, ... , un) de E et une base ' = (u'1, u'2, ... , u'p) de F. On appelle matrice de f dans les bases et la matrice , notée (ou parfois Mat(f, B,B') ), dont la j -ième colonne est constituée par les coordonnées du vecteur f(aj) dans la base ', 1<= j<= n. [/SIZE]

[sylvainc2]

yahou


J'aurai une autre question qui tient d'un petit detail mais qui a son importance.
toujours avec la meme apps lineaire et donc la meme matrice,je cherche à calculer Mat(f, B'->B)
avec B la base canonique (que j'aime bien ^^) de R4 et
B'=(u1=(1,0,0,0),u2=(1,1,0,0), u3=(1,1,1,0),u4=(1,1,1,1)) qui est une autre base de R4

ce que j'ai fait jusqu'à maintenant:
j'ai calcule f(u1)=(1,-1,1,-1)
f(u2)=(1,0,-1,-2)
f(u3)=(0,-1,1,0)
f(u4)=(0,0,0,0)
les coordonnées de vecteurs que je viens de calculer sont les coordonnées dans la base canonique?? est ce que je dois les traduire dans la base B'?

Oui, ce sont les coord dans la base canonique. Et oui il faut les réécrire dans la base B'. Pour ce faire il faut connaitre l'écriture des vecteurs de la base canonique dans la base B'.

Soit les vecteurs de la base canonique:
e1=(1,0,0,0), e2=(0,1,0,0), e3=(0,0,1,0), e4=(0,0,0,1).
Alors u1=(1,0,0,0) = e1
u2=(1,1,0,0) = e1 + e2
u3=(1,1,1,0) = e1 + e2 + e3
u4=(1,1,1,1)) = e1 + e2 + e3 + e4
Si on place ces vecteurs dans les colonnes d'une matrice P, cela donne la matrice de passage de la base B' à la base canonique.

On veut exprimer les vecteurs e1, e2, e3, e4 en fonction des vecteurs de B' qui sont u1,u2,u3, u4. Ici c'est assez facile:
si u1=e1 alors e1=u1 = (1,0,0,0),
e2 = u2 - u1 = (-1,1,0,0),
e3 = u3 - u2 = (0,-1,1,0),
e4 = u4 - u3 = (0,0,-1,1).

Si on place ces vecteurs dans les colonnes d'une matrice P^-1, cela donne la matrice de passage de la base canonique à la base B', et on voit que P^-1 est l'inverse de P.

Maintenant on a f(u1)=(1,-1,1,-1) = e1 - e2 + e3 - e4 dans la base canonique. Pour réécrire ce vecteur dans la base B' on fait les substitutions e1=u1, e2=u2-u1, etc...
= (u1) - (u2-u1) + (u3-u2) - (u4-u3)
= 2u1 -2u2 + 2u3 - u4 = (2,-2,2,-1)
C'est le vecteur de la 1ere colonne de la matrice de f dans la base B'.

Ensuite on fait la même chose pour f(u2), f(u3), f(u4).
On doit obtenir le même résultat que le calcul par les matrices de passage: A' = P^-1 A P