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Resoudre : y' _ y = sinx



  1. #1
    Zigggggy

    Talking Resoudre : y' _ y = sinx


    ------

    Bonjour, pouvez vous me resoudre cette equation svp svp svp :
    y' _ y = sinx
    en faisant la demonstration pas a pas svp..
    Merci d avance

    -----

  2. #2
    ericcc

    Re : Resoudre : y' _ y = sinx

    Voici la méthode :

    Solution de l'équation homogène (sans second membre) y'-y=0 : y=K*exp(x), où K est une constante.

    Trouvons une solution de l'équation particulière, par la méthode de variation de la constante :
    Posons y(x)=K(x)*exp(x), alors en dérivant on trouve y'=K'(x)exp(x)+K(x)exp(x)

    Mézalor y'-y=K'(x)exp(x)=sin(x); donc K'(x)=sin(x)exp(-x), et il nous reste à trouver une primitive de K'.

    Pour cela plusieurs méthodes : passer par les complexes, par une intégration par partie, ou connaître ce type de primitive par coeur

    Passons par les complexes : K'(x)=Im[exp(-x)exp(ix)]=Im[exp(-1+i)x]
    Une primitive est 1/(-1+i)exp[(-1+i)x]; il faut séparer les parties réelles et imaginaires.
    Pour cela on multiplie par la quantité conjuguée, et il vient
    K(x)=Im{(-1/2-i/2)exp[(-1+i)x]}

    On prend la partie imaginaire et on trouve une primitive :
    K(x)=-1/2exp(-x)(cosx+sinx)

    La solution particulière cherchée est y(x)=K(x)exp(x)=-1/2(cosx+sinx)

    Capito ?

  3. #3
    Zigggggy

    Re : Resoudre : y' _ y = sinx


    Merci beaucoup cette fois j y suis !!
    Juste une truc que je n avais pas réalisé, c est que :
    Im[exp(ix)].exp(-x) = Im[exp(-x)exp(ix)]
    ..
    Ce qui est valable aussi (je m en rends compte maintenant..!) :
    Re[exp(ix)].exp(-x) = Re[exp(-x)exp(ix)] (equa y' _ y = cosx)

    Par contre j ai un nouveau souci pour resoudre :
    y'-2xy=sin(3x)
    Une solution de l equation homogene est :
    y=K.exp(x^2) avec K element des fonctions derivables de R sur C n est ce pas ?
    Puis je cherche une solution particuliere sous la forme :
    y=K(x).exp(x^2) en faisant varier la constante
    Je calcule y'
    Puis découle
    y'-2xy= K'(x).exp(x^2)= sin(3x)=Im(exp(i3x))
    D ou
    K'=Im[exp(i3x)].exp(-x^2)
    K'=Im[exp(i3x).exp(-x^2)]
    K'=Im[exp(i3x-x^2)]
    K'=Im[exp[x(i3-x)]
    Donc je cherche une primitive de
    exp[x(i3-x) pour ensuite déterminer son Im
    Le probleme est que je ne parviens pas à trouver une primitive de
    exp[x(i3-x)..

    J ai cherche des reponses sur le net..et il semble que je ne peux obtenir une primitive usuelle de cette fonction, faut il que je passe par le developpement en serie entiere ?

    Merci encore 1000 fois pour votre aide !!!!

    Juste pour me presenter en 2 mots, j ai 32 ans, j ai un dea en biologie, domaine dans lequel j ai travaillé 7 ans comme ingenieur d etudes dans des labos de recherche en biologie moleculaire, et etant las de ne pas trouver de travail stable, j ai decide de preparer le concours d entree a l ecole des mines pour suivre le cursus en formation continue, et devenir ingenieur en informatique..
    Mais cela faisait a peu pres 12 ans que je n avais pas fait de maths et je m y suis remis il y a un mois..et il me reste 7 mois pour preparer le concours..!!!!
    Connaissez vous des sites où je pourrais trouver des bons exercices corrigés ?

    Merci encore +++++++

  4. #4
    Zigggggy

    Resoudre y''+4y=0 ...solutions reelles ou complexes ???

    Bonjour,

    Et un grand merci a ceux qui m ont eclairé et ceux qui vont m illuminer !

    J essaie maintenant de resoudre des equa diffs lineaires du 2nd ordre homogenes a coeffs constants.

    Pour cela, j ecris l equa caracteristique correspondante puis je calcule le discriminant; ensuite :
    *si delta > 0 :
    je cherche les solutions sous la forme :
    y(x)=h.exp(r.x)+k.exp(r'.x) avec r et r' les racines de l equa caracteristique et h , k elements de C
    *si delta = 0 :
    je cherche les solutions sous la forme :
    y(x)=(h.x+k).exp(r.x) avec r la racine double de l equa caracteristique et h , k elements de C
    Je n ai aucun souci quand le discriminant de l equa caracteristique associée est positif ou nul.
    Par contre :
    *si delta < 0 :
    j etais tenté de chercher la solution sous la forme
    y(x)=h.exp(r.x)+k.exp(r'.x) avec r et r' les racines complexes de l equa caracteristique et h , k elements de C
    mais ca ne marche pas..par exemple avec :
    y''+4y=0 verifiant y(0)=0 et y'(0)=-1
    J ecris :
    X^2 + 4 =0
    delta=-16=16i^2
    d ou les racines complexes :
    r=i
    r'=-i
    d ou ma solution (qui n en est pas une d apres la correction):
    y(x)=h.exp(i.x)+k.exp(-i.x)
    et
    y'(x)=i.h.exp(i.x)-i.k.exp(-i.x)
    et avec les conditions initiales,
    y(0)=h+k=0 d ou h=-k
    y'(0)=i.h-i.k=-1 et -2ik=-1
    ik=1/2
    k=-i/2 et h=i/2
    d ou
    y(x)=i/2 .exp(i.x) -i/2.exp(-i.x)
    Mais d apres le corrigé,
    les solutions (il est precisé reelles sont de la forme :
    y(x)= h.sin2x+k.cos2x
    et l unique solution verifiant les conditions initiales est :
    y(x)= - sin(2x) / 2

    Est ce que quelqu un peut m expliquer où je me plante svp svp.. et je ne comprends pas pourquoi les solutions sont reelles alors que le delta est <0 et donc que les racines de l equation caracteristique sont complexes; je me sers de ces racines pour trouver la solution de l equa diff, qui doit alors contenir des parties imaginaires..et la solution est reelle..je crois que j ai un gros probleme de comprehension des complexes..

    Merci pour votre aide +++++++++

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ericcc

    Re : Resoudre y''+4y=0 ...solutions reelles ou complexes ???

    Les solutions sont réelles car tu cherches des fonctions REELLES qui satisfont ton équation.
    Le passage par les complexes est une méthode rapide et élégante pour trouver les solutions, mais tu pourrais aussi bien dire si le discriminant est négatif, je cherche des solutions de la forme y(x)=Acos(wx+f) où A,w et f sont des constantes à déterminer. Par convention on prend w>0, et f dans [0,pi]
    Ici tu as y"+4y=0 avec y(0)=0 et y'(0)=-1
    On y va :
    y"(x)=-w²Acos(wt+f) donc y"+y=0 nous donne w²=4 et w=2 puisque l'on veut w>0
    Donc y(x)=Acos(2x+f), y(0)=Acos(f)=0 donc f=pi/2; y'(0)=-2Asin(f)=-2A=-1
    Donc A=1/2

    La solution cherchée est donc y(x)=1/2cos(2x+pi/2)=-sin(2x)/2

  7. #6
    Zigggggy

    Re : Resoudre y''+4y=0 ...solutions reelles ou complexes ???

    Je te remercie de prendre autant de temps pour me repondre.

    Ce que je ne comprends pas, c est justement pourquoi l on cherche des fonctions reelles..alors que des fonctions complexes satisfont l equation..et que ces solutions complexes incluent des solutions reelles..donc a mon sens(et je ne sais pas où je me plante..) les solutions complexes offrent des solutions "plus larges" que lorsque l on ne considere que les reels.. il y a quelquechose qui m echappe..7
    Par exemple, si je cherche les racines cubiques de 8, en ne considerant que les reels, il n y a qu une seule solution : 2; si je considere les complexes, les solutions sont alors : 2.exp(i2kpi/3) avec k de 0 à 2 donc une solution reelle et 2 solutions complexes.. pourquoi ne pas toujours considerer les complexes et ne pas se "limiter"aux reels..? vraiment il y a un truc qui m echappe.. peux tu me conseiller des lectures stp ?
    Merci encore de m eclairer

  8. #7
    Ieremenko

    Re : Resoudre : y' _ y = sinx

    En fait tu verras en SPE (enfin je suppose que t'es en SUP ?) que pour l'équation (linéaire) homogène :
    - la dimension de l'espace des solutions est 1 si ton équation est d'ordre 1 (il suffit d'une seule solution et tu as toutes les autres en la multipliant par un scalaire)
    - dimension 2 si l'équation est d'ordre 2 (il suffit de deux solutions f et g et tu as toutes les autres qui sont de la forme Af+Bg avec A et B scalaires)

    Donc par exemple si tu as une EQDL2, et que tu trouve deux solutions, n'importe lesquelles, mais qui ne sont pas combinaison linéaire l'une de l'autre, alors tu peux former TOUTES les solutions (à l'équation homogène) que tu veux avec ses deux solutions en les multipliant par un scalaire. Donc dès que tu as tes deux solutions tu peux t'y arrêter.

    Par exemple tu veux résoudre ay''+by'+cy=0
    a,b,c constants.

    A tout hasard (c'est ce qu'on fait toujours mais on le dit jamais ^^) tu peux chercher une solution exponentielle type
    y(x) = exp(rx)
    Alors y'(x) = ry(x), y''(x)=r²y(x)
    Si c'est solution, alors en remplaçant dans l'équation puis en simplifiant par exp(rx) qui est commun à tous les termes tu obtiens l'équation caractéristique :

    ar²+br+c=0

    En resolvant tu trouve r.
    Il peut y en avoir deux (delta > 0) et là tu es content car tu as deux solutions indépendantes l'une de l'autre.
    Ou alors un seul (delta = 0) et là il te faut trouver une deuxième solution... On peut remarquer que y(x) = x*exp(r*x) est encore solution, qu'il n'est pas de la forme A*exp(r*x), donc c'est bon.

    Parfois il est complexe (delta<0), mais tu as encore deux solutions donc c'est bon. Mais cette fois-ci elles sont complexes... Or par exemple en physique au final on va souvent te demander une fonction réelle à la sortie... car les complexes c'est pas toujours très concret ^^

    Alors comme toute fonction complexe s'écrit f(x) = Re(f(x)) + i*Im(f(x)), tu peux remarquer que Re(f(x)), est solution car ton EQDL est linéaire, ainsi que Im(f(x)). Or Im(f(x)) est une fonction réelle...

    Donc par exemple e((u+iv)x) est solution. Alors e(ux)cos(vx) est solution, ainsi que e(ux)sin(vx).
    Tu as deux solutions indépendantes, donc tu as déterminé l'ensemble des solutions à valeurs réelles...



    Donc te limiter au fonction complexes ou pas, tout dépend de ton énoncé, comprend que les complexes on souvent un interêt purement calculatoire et que tôt ou tard on ve repasser en réel...

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