Inégalité, analyse.

[invitec9a9f4a6]

Bonjour !

Je ne parviens pas à montrer une inégalité dans un problème d'analyse, je soumet le probleme... Si quelqun peut m'aider c'est sympa je bloque depuis un petit moment :

soit f_n une fonction définie, pour tout entier naturel n, sur [0; + [ par

f_n(x) = dt

J'ai déjà montré que f_n est continue sur [0 ; + [ et on me demande l'inégalité pour tout entier naturel non nul :

|f_n(x)|

M'expliquer comment faire me permettrait d'avancer dans la suite de l'exercice. J'ai tenté les encadrements traditionnels, le changement de variable t = npi - u, et la récurence mais sans succès
Merci d'avance et bonne journée / soirée à tous les utilisateurs du forum
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[invite3240c37d]

Pour on a et
Je te laisse continuer ..

[invitec9a9f4a6]

Merci pour la réponse
J'ai une autre question qui me taraude l'esprit :

Soit (an)n une suite quelconque ne s'annulant pas à partir d'un certain rang.
Supposons que |((an+1)*x)|/ |an| tende vers 1/R quand n tend vers l'infini (où n est en indice)

Le critère de de d'Alembert nous dit que SI x/R < 1 ALORS la série de terme général an*x^n converge.

En revanche si l'on suppose que la série entière de terme généaral an*x^n admet R >0 comme rayon de convergence on ne peut pas conlure que
|((an+A)x|/(an)| tend vers 1/R quand n tend vers l'infini ?

Merci déjà pour la première réponse, ça va me permettre de continuer mon excercice =D

[invitec9a9f4a6]

Reeeebonjour !
Désolé, j'vais un peu abuser là mais j'ai un autre probleme concernant mon exercice d'analyse...

J'ai pas eu de mal a montrer l'inégalité grâce a ce que tu m'as donné mais maintenant je ne parviens pas à montrer que la série de terme général f_n converge uniformément sur [0; +[...

Voilà ce que je pensais faire :
On peut montrer sans difficulté que cette série converge normalement, donc uniformément, sur tout segment [a;b] inclu dans [0; +[. Apres il faudrait montré qu'elle converge pour a = 0 ( ce qui déjà est pas une mince à faire ) mais je suis pas convaincu que d'un point de vu logique mon raisonnement tienne la route :/

Voilà j'ai pas mal de question, merci à ceux qui me répondent, ça permet de progresse pas a pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Je ne te donne qu'un mot comme indice : pense alterné.

Reposte si t'en veux plus.

[invitec9a9f4a6]

Je ne vois pas comment utiliser l'inégalité en utilisant les séries alternées :/

[invitec317278e]

elle permet sans doute de démontrer que f_n est décroissante tendant vers 0 en valeur absolue, puis ensuite de majorer le reste.

[invitec9a9f4a6]

Oui jusque là j'y arrive, on peut majorer f_n par l'intégrale allant de 0 à Pi de (sint*exp(-xt)/t) mais apres comment montrer que cette majoration tend vers 0 ? Et puis je ne vois pas le lien avec l'inégalité qu'ils nous demandent d'établir juste avant, je pensais qu'il aurait plutot fallu utiliser la convergence normale.

En tout cas merci pour tes pistes

[invitec317278e]

Pour utiliser les séries alternées, il faut montrer que f_n tend vers 0 en décroissant en valeur absolue.

or, l'inégalité :

|f_n(x)|
peut te permettre de montrer que f_n tend vers 0, et qu'elle décroit en valeur absolue.

Maintenant, pour montrer la convergence normale, il faut majorer le reste de la série par un truc indépendant de x qui tend vers 0...là encore l'inégalité doit pouvoir te servir.


NB : je n'ai pas regardé en détail, mais à vue d'oeil, ca doit se faire comme ça.

[invitec9a9f4a6]

En effet t'avais raison

Merci ! ! !